Aproksymacja funkcji szeregami Fouriera
Postać ogólna szeregu Fouriera
H" + cos + sin
1
= f t d
2
= cos 1, "
2
= sin 1, "
2
=
Postać zwarta szeregu Fouriera
H" + �" cos +
=
= + 1, "
= -
Postać zespolona szeregu Fouriera
=

- +
= = =
2 2
1
=
�" = �" cos +
Formuły dla wybranych całek nieoznaczonych
sin �" cos
�" sin = -
2 2
�" sin = sin + - �" cos
3 6 6
�" sin = - �" sin + - �" cos
asin -
sin bx dx = �"
+
cos �" sin
�" cos = +
2 2
�" cos = cos - - �" sin
3 6 6
�" cos = - �" cos + - �" sin
acos +
cos bx dx = �"
+
=
1
= -
2 2
= - +
PRZYKA
ADOWE ZADANIA Z PEA
NYM ROZWI
ZANIEM
Zad1. Dla funkcji przedstawionej poniżej oblicz współczynniki , , . W przypadku, gdy
wszystkie współczynniki są niezerowe, wybierz jeden i oblicz jego wartość dla dowolnego , należy
obliczyć w każdym przypadku. W przypadku, gdy jakikolwiek współczynnik będzie się zerował
wyjaśnij dlaczego  bez jego obliczania.
= �" +
- ,
Rozwiązanie
2
= 2 , = =
1 1 1
= f t d = �" + d = �" d + d =
2 2
1 - 1
= �" �" + 2 = �" 2 =
2 2 2
2 2
= cos = �" + cos =
2
1
= cos + cos =
1
= cos + cos =
1
= cos + cos =
Pierwsza całka zeruje się ponieważ mamy iloczyn funkcji parzystej i nieparzystej a przedział
całkowania jest symetryczny.
1 2 2 sin 2
= cos = cos = �" = �" 0 - 0 = 0
Zgodnie z oczekiwaniami druga całka też się wyzerowała ponieważ całkujemy w przedziale, który jest
okresem funkcji cos .
2 2
= sin = �" + sin =
2
1
= �" + sin =
1
= sin + sin =
1
= sin + sin =
Druga całka będzie się zerowała ponieważ całkujemy w przedziale, który jest okresem funkcji
sin .
sin �" cos
-
= sin = �" =
2 2
= - �" �" cos - - �" cos - = - �" cos = �" -1
Zad2. Dla funkcji przedstawionej poniżej oblicz współczynniki , , . W przypadku, gdy
wszystkie współczynniki są niezerowe, wybierz jeden i oblicz jego wartość dla dowolnego , należy
obliczyć w każdym przypadku. W przypadku, gdy jakikolwiek współczynnik będzie się zerował
wyjaśnij dlaczego  bez jego obliczania.
= �" +
- ,
Rozwiązanie
2
= 2 , = =
2
Zgodnie z przewidywaniami wysuniętymi na podstawie poprzedniego zadania:
" Obliczam wartość
" Obliczam wartość ponieważ funkcja jest nieparzysta. Pomijam wartość stałej.
1 1
= f t d = �" + d =
2
2 2 1
�" d + d = �" + = �" �" + = +
2 2 3 3 3
2 2
= sin = �" + �" sin =
2
1
= �" sin = 0
Wartość całki jest zerowa ponieważ funkcja podcałkowa jest funkcją nieparzystą a przedział
całkowania jest symetryczny.
2 2
= cos = �" + �" cos =
2
2 2 2
cos - 2 - �" sin =
= �" cos = �"
2 2
cos = 8 �" cos
= �"
Zad3. Dla funkcji przedstawionej poniżej oblicz współczynniki , , . W przypadku, gdy
wszystkie współczynniki są niezerowe, wybierz jeden i oblicz jego wartość dla dowolnego , należy
obliczyć w każdym przypadku. W przypadku, gdy jakikolwiek współczynnik będzie się zerował
wyjaśnij dlaczego  bez jego obliczania.
= �" +
0,
Rozwiązanie
2
= , =
1 1 1
= f t d = �" + d = �" d + d =
1 1
= �" d + d = �" - 1 +
!
2 2 2
= cos = �" + �" cos =
2 2
= �" + �" cos =
Tym razem całkujemy ponownie w przedziale będącym okresem funkcji cos zatem całka z
cosinusa się wyzeruje.
2 2 2
2 2 2 hcos +
= �" cos = �" �" =
2
! +
2
�" hcos 2 + 2 2 =
=
2
�" ! +
2h �" cos 2 = 2h
= �" - 1 =
2 2
�" ! + �" ! +
2 2 2
= sin = �" + �" sin =
2 2
= �" + �" sin =
Tym razem całkujemy ponownie w przedziale będącym okresem funkcji sin zatem całka z
sinusa się wyzeruje.
2 2 2
2 2 2 hsin -
= �" cos = �" �" =
2
! +
2
�" hsin 2 - 2 2 =
=
2
�" ! +
2 2
2 2
- cos 2 = -
= - 1 =
2 2
�" ! + �" ! +
4 4
= - - 1 = - - 1
! + 4
2
�" ! +
Zad4. Wyznaczyć współczynniki oraz dla postaci wykładniczej szeregu Fouriera, dla funkcji
przedstawionej poniżej.
= +
,
Rozwiązanie
2
= - , =
1 1 1

= = + d = �" + =
1 1 1 1
= �" - + �" = �" - + �" =
1
= �" - 1 + �" = - 1 +
1 1
= = + =
1
= + =
1
= + =
1 1

= + =
- + -
1 1

= + =
- + -
1 1
= - + - =
- + -
1
= - 1 + - 1 =
- + -
1
= - 1 + - 1 =
- + -
1
= - 1 + - 1 =
- + -
= = - =
2 2
= cos - = cos -
= - 1 =
- +
Zauważmy, że zeruje się część związana z wartością stałą .
- 1 - 1 1
= = =
- + - +
1 1 +
�" �" = �" �" �" =
- + - + +
 +
= �" �" = �" �" +
+
Gdzie
- 1
=
=
+
2 2
= �" cos - + =
2 2 2 2
�" �" cos + �" + �" cos -
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWI
ZANIA
1. Obliczyć współczynniki , trygonometrycznego szeregu Fouriera dla następujących
funkcji , założyć " :
ID Funkcja, wynik Zakres
= + 1
2 �" -1
-1,1
= 1, = 0, =
| |
=
2 cos - 1 sin
- , ,
= , = �" + , = 0
2
=
4cos
-2,2
= 0, = 0, = -
= 4 -
8 16
-2,2
= , = - cos , = 0
3
2. Wyznaczyć współczynniki oraz dla postaci zespolonej szeregu Fouriera.
ID Funkcja, wynik Zakres
, < 0

=
, e" 0
1
= �" 1 - ,
-2,2
2
1 1 1
= �" 1 - + 1 -
4
1 - 1 +
2 2
3. Znając współczynnik w postaci podanej poniżej wyznaczyć współczynniki: ,
ID Funkcja, wynik
1
= �" 1 -
+
= 2 �" 1 - , = 2 �" 1 -
+ +
PROBLEMY DO SMAODZIELNEGO ROZWI
ZANIA
1. Przedstaw wszystkie możliwe uproszczenia jakie można zastosować przy obliczaniu
współczynników , postaci ogólnej szeregu Fouriera. Pokaż na przykładzie.
2. Wyjaśnij dlaczego nie jest konieczne uwzględnianie stałej występującej w równaniu
funkcji przy obliczaniu współczynników .
3. Jak pozbyć się liczby urojonej z mianownika w następującym wyrażeniu?
=
+ !
4. Jakie wartości może przyjmować zmienna ? Wskaż wartości parametru , dla których
przyjmuje te wartości.
a) = sin
b) = cos
5. Patrząc na definicję postaci zespolonej szeregu Fouriera widzimy że występuje w niej
jawnie liczba urojona. Jak powinno wyglądać końcowe sprawdzenie wyniku obliczeń dla
postaci zespolonej? Czy występowanie liczby urojonej w członie musi
świadczyć o błędzie?