Podokreślone układy równań Nadokreślone układy równań Układy równań liniowych niepełnego rzędu
POD- I NADOKREÅšLONE
UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
LINIOWYCH
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Budownictwo, studia I stopnia, semestr III
rok akademicki 2010/2011
Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
Ewa Pabisek
Adam Wosatko
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE POD- I NADOKREÅšLONE UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
...
Podokreślone układy równań Nadokreślone układy równań Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Układy równań pełnego rzędu
Dotychczas zajmowaliśmy się wyłącznie takimi układami równań
A x = b, w których macierze współczynników byÅ‚y kwadratowe An×n.
n
A =
*
n
x b
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE POD- I NADOKREÅšLONE UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
...
Podokreślone układy równań Nadokreślone układy równań Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Definicja
Definicja podokreślnego układu równań
UkÅ‚ady równaÅ„ o macierzach Am×n, gdzie m < n, nazywamy podokreÅ›lonymi.
n
A =
*
m
b
x
Układ równań o macierzy podokreślonej charakteryzuje się przede wszystkim
tym, że liczba równań m jest mniejsza od liczby niewiadomych n. Zatem
jest oczywiste, że rozwiązanie w takim przypadku nie może być jednoznaczne
i należy oczekiwać, że niektóre z niewiadomych pozostaną nieokreślone tzn.,
że mogą przybierać dowolne wartości.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE POD- I NADOKREÅšLONE UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
...
Podokreślone układy równań Nadokreślone układy równań Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Sposób rozwiązania
Metoda Gaussa-Jordana
dla podokreślonych układów równań
Załóżmy, że zadanie można rozwiązać za pomocą metody
Gaussa-Jordana. Układ równań przekształcamy i doprowadzamy
do postaci:
n
I A0 =
*
m
b0
x
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE POD- I NADOKREÅšLONE UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
...
Podokreślone układy równań Nadokreślone układy równań Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Sposób rozwiązania
Metoda Gaussa-Jordana
dla podokreślonych układów równań
Przekształcony układ równań możemy zapisać w następujący sposób:
I x1 + A0 x2 = b0
xm+1
m n - m
xm+2
x1
.
x2 .
.
.
.
I . + A0 = b0
xm
m m
xn
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE POD- I NADOKREÅšLONE UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
...
Podokreślone układy równań Nadokreślone układy równań Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Postać rozwiązania
Rozwiązanie podokreślonego układu równań
Po przeniesieniu drugiego składnika lewej strony na stronę prawą
otrzymujemy poszukiwane rozwiÄ…zanie:
x1 = b0 - A0 x2
xm+1
n - m
xm+2
x1
.
x2 .
.
.
.
. = b0 - A0
xm
m
xn
Wartości niewiadomych, które tworzą wektor
x2 = {xm+1, xm+2, · · · xn}
mogą być przyjmowane dowolnie, natomiast wartości niewiadomych
x1 = {x1, x2, · · · xm}
są już jednoznacznie określone.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE POD- I NADOKREÅšLONE UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
...
Podokreślone układy równań Nadokreślone układy równań Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Postać rozwiązania
Interpretacja graficzna rozwiÄ…zania
Rozwiązaniem zadania nie jest więc jeden określony punkt x " Rn, ale

tzw. rozmaitość liniowa n - m wymiarowa Xn-m " R.
W przypadku, gdy n - m = 1 rozwiÄ…zaniem jest pewna prosta,
gdy n - m = 2 pewna płaszczyzna itd.
x3 x3
x2 x2
x1 x1
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE POD- I NADOKREÅšLONE UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
...
Podokreślone układy równań Nadokreślone układy równań Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Przykłady
Podokreślone układy równań
Przykład 1
Rozwiązać układ równań:
4 x1 + 16 x2 - 14 x3 = -8
2 x1 + 9 x2 - 8 x3 = -5

4 16 -14 | -8 1 4 -3.5 | -2

2 9 -8 | -5 0 1 -1 | -1

1 0 0.5 | 2

0 1 -1 | -1
RozwiÄ…zanie:
x1 = 2.0 - 0.5 x3 x2 = -1.0 + x3
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE POD- I NADOKREÅšLONE UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
...
Podokreślone układy równań Nadokreślone układy równań Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Przykłady
Podokreślone układy równań
Przykład 1 cd.
x1 = 2.0 - 0.5x3 x2 = -1.0 + x3
Otrzymane rozwiązanie określa rozmaitość jednowymiarową czyli prostą
nie przechodzącą przez początek układu współrzędnych.
x3
(0.0, 3.0, 4.0)
4.0
x2
1.0
3.0
(1.5, 0.0, 1.0)
-1.0
1.5
2.0
(2.0, -1.0, 0.0)
x1
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE POD- I NADOKREÅšLONE UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
...
Podokreślone układy równań Nadokreślone układy równań Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Przykłady
Podokreślone układy równań
Przykład 2
Rozwiązać układ równań: 2x1 + 6x2 + 3x3 = 6

2 6 3 | 6 1 3 1.5 | 3
RozwiÄ…zanie: x1 = 3 - 3x2 - 1.5x3
Rozwiązaniem jest rozmaitość liniowa dwuwymiarowa
czyli płaszczyzna nie przechodząca przez początek układu współrzędnych.
x3
(0.0, 0.0, 2.0)
(0.0, 0.5, 1.0)
x2
(0.0, 1.0, 0.0)
(3.0, 0.0, 0.0)
x1
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE POD- I NADOKREÅšLONE UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
...
Podokreślone układy równań Nadokreślone układy równań Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Definicja
Definicja nadokreślnego układu równań
Nadokreślonym układem równań A x = b nazywamy taki układ,
którego współczynniki tworzÄ… macierz Am×n, gdzie m > n.
n
=
A
*
x
m
b
Dla takiego układu liczba m równań jest większa od liczby
n niewiadomych. W przypadku układów nadokreślonych
możliwe są dwie sytuacje:
1
układ nie ma rozwiązania  jest sprzeczny,
2
układ ma rozwiązanie  nie jest sprzeczny.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE POD- I NADOKREÅšLONE UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
...
Podokreślone układy równań Nadokreślone układy równań Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Sposób rozwiązania
Metoda Gaussa-Jordana
dla nadokreślonych układów równań
PowstajÄ… w zwiÄ…zku z tym dwa problemy:
1
jak rozstrzygnąć kwestię, czy układ ma rozwiązanie
i jak je ewentualnie znalez
ć,
2
jak potraktować przypadek, gdy układ jest sprzeczny.
Po ponownym zastosowaniu algorytmu Gaussa-Jordana przekształcony
układ równań przyjmuje postać:
n
a)
I b0
1
=
*
b)
0 b0
2
x
m
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE POD- I NADOKREÅšLONE UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
...
Podokreślone układy równań Nadokreślone układy równań Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Postać rozwiązania
Rozwiązanie nadokreślonego układu równań
Otrzymujemy dwa układy równań:
a) I x = b0
1
b) 0 = b0,
2
1
Jeżeli b0 = 0, to rozwiązanie układu istnieje i ma postać x = b0.
2 1
Spełnione są wszystkie równania.
2
Jeżeli b0 = 0, to układ równań jest sprzeczny, otrzymujemy bowiem

2
0 = b0 = 0.

2
W przypadku, gdy układ równań jest sprzeczny mamy do czynienia
z sytuacją, w której nie istnieje punkt x " Rn o współrzędnych
spełniających wszystkie równania.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE POD- I NADOKREÅšLONE UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
...
Podokreślone układy równań Nadokreślone układy równań Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Postać rozwiązania
Interpretacja graficzna rozwiÄ…zania

W przypadku gdy x " R2 (wektor x oznaczymy ) to możemy podać
graficzną interpretację kolejnych równań w postaci odpowiednich prostych
na płaszczyz
nie. Sprzeczność równań oznacza wtedy brak wspólnego
punktu przecięcia się reprezentujących je prostych na płaszczyz
nie.
x2 x2
x
x
x1 x1
Można jednak postawić następujące pytanie:
Jaki punkt x " R2 jest najmniej odległy od wszystkich prostych?
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE POD- I NADOKREÅšLONE UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
...
Podokreślone układy równań Nadokreślone układy równań Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Poszukiwanie pseudorozwiÄ…zania
Pojęcie pseudorozwiązania
Punkt najmniej odległy od wszystkich prostych możemy uznać
za tzw. pseudorozwiÄ…zanie czyli za rozwiÄ…zanie rozumiane
w sensie uogólnionym (szerszym od dotychczasowego).
x2 x2
x
x
x1 x1
Dotychczasowe pojęcie rozwiązania staje się przy takim podejściu
przypadkiem szczególnym pseudorozwiązania - w którym odległość
punktu x od wszystkich prostych wynosi zero.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE POD- I NADOKREÅšLONE UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
...
Podokreślone układy równań Nadokreślone układy równań Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Poszukiwanie pseudorozwiÄ…zania
Odległość punktu od prostych
Odległość ri punktu x " Rn od i-tej prostej staje się równa zeru, gdy jej
równanie zostaje spełnione przez współrzędne punktu x:
ai1x1 + ai2x2 + · · · + ainxn a" bi , i = 1, 2, . . . , m
Jako umowną odległość możemy przyjąć wielkość określoną
w następujący sposób:
ri = ai1x1 + ai2x2 + · · · + ainxn - bi, i = 1, 2, . . . , m
czyli tzw. residuum i-tego równania.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE POD- I NADOKREÅšLONE UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
...
Podokreślone układy równań Nadokreślone układy równań Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Poszukiwanie pseudorozwiÄ…zania
Residdum - odległość punktu od prostych
Umowna odległość punktu x od wszystkich prostych może być w tym
przypadku określona np. wzorem:
2 2 2
R = r1 + r2 + · · · + rm, m > n
x2 x2
R = 0 R = 0

x
x
x1 x1
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE POD- I NADOKREÅšLONE UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
...
Podokreślone układy równań Nadokreślone układy równań Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Poszukiwanie pseudorozwiÄ…zania
Przypadek dla 3 równań
Jeśli założymy m = 3 (liczba równań) oraz n = 2 (liczba niewiadomych) to:
ri = ai1x1 + ai2x2 - bi
przyjmujÄ…c i = 1, 2, 3 otrzymujemy:
r1 = a11x1 + a12x2 - b1
r2 = a21x1 + a22x2 - b2 (1)
r3 = a31x1 + a32x2 - b3
2 2 2
Funkcja R = r1 + r2 + r3 osiÄ…ga minimum gdy:
"R
= 2 (a11r1 + a21r2 + a31r3) = 0
"x1
(2)
"R
= 2 (a12r1 + a22r2 + a32r3) = 0
"x2
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE POD- I NADOKREÅšLONE UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
...
Podokreślone układy równań Nadokreślone układy równań Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Poszukiwanie pseudorozwiÄ…zania
Przypadek dla 3 równań
Po podstawieniu (1) do (2) otrzymujemy:
(a11a11 + a21a21 + a31a31) x1 + (a11a12 + a21a22 + a31a32) x2 = a11b1 + a21b2 + a31b3
(a12a11 + a22a21 + a32a31) x1 + (a12a12 + a22a22 + a32a32) x2 = a12b1 + a22b2 + a32b3
czyli ostatecznie układ 2 równań z 2 niewiadomymi:
s11x1 + s12x2 = t1
s21x1 + s22x2 = t2
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE POD- I NADOKREÅšLONE UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
...
Podokreślone układy równań Nadokreślone układy równań Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Poszukiwanie pseudorozwiÄ…zania
Uogólnienie
Dla przypadku ogólnego można otrzymać następujący układ równań:
m m

"R " "ri2 m "ri
= ( ri2) = = 2 ri =
"xk "xk i=1 i=1 "xk i=1 "xk
m

(3)
2 aik(ai1x1 + ai2x2 + · · · + ainxn) =
i=1
2 (sk1x1 + sk2x2 + · · · + sknxn - tk) = 0
w którym
m m

skj = aikaij, tk = aikbi , k, j = 1, 2, . . . , n,
i=1 i=1
lub w zapisie macierzowym:
S = AT A, t = AT b.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE POD- I NADOKREÅšLONE UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
...
Podokreślone układy równań Nadokreślone układy równań Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Poszukiwanie pseudorozwiÄ…zania
Uogólnienie
Komplet warunków (3) koniecznych istnienia ekstremum funkcji R
przybiera wiÄ™c postać zwykÅ‚ego ukÅ‚adu równaÅ„ algebraicznych (n × n):
"R
= s11x1 + s12x2 + · · · + s1nxn = t1
"x1
"R
= s21x1 + s22x2 + · · · + s2nxn = t2
"x2
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
"R
= sn1x1 + sn2x2 + · · · + snnxn = tn
"xn
lub
S x = t.
Pseudorozwiązaniem wyjściowego, nadokreślonego układu równań jest
rozwiązanie powyższego układu i będziemy nazywać go rozwiązaniem
w sensie metody najmniejszych kwadratów.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE POD- I NADOKREÅšLONE UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
...
Podokreślone układy równań Nadokreślone układy równań Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Przykłady
Nadokreślone układy równań
Przykład 1
Rozwiązać nadokreślony układ równań:
x1 + 2x2 = 3
-2x1 + 4x2 = 4
x1 + 2x2 = 5
Stosujemy algorytm Gaussa-Jordana
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 | 3 1 2 | 3 1 2 | 3
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
-2 4 | 4 0 8 | 10 0 1 | 1.25
1 2 | 5 0 0 | 2 0 0 | 2
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 | 0.5

ðÅ‚ ûÅ‚
0 1 | 1.25 x1 = 0.5, x2 = 1.25, 0 = 2(!!)
0 0 | 2
Układ równań jest sprzeczny (0 = 2) tzn. że obliczone niewiadome

nie spełniają wszystkich równań. W związku z tym szukamy
pseudorozwiązania w sensie metody najmniejszych kwadratów.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE POD- I NADOKREÅšLONE UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
...
Podokreślone układy równań Nadokreślone układy równań Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Przykłady
Nadokreślone układy równań
Przykład 1 cd.
îÅ‚ Å‚Å‚

1 2
1 -2 1 6 -4
ðÅ‚ ûÅ‚
S = AT A = -2 4 =
2 4 2 -4 24
1 2
îÅ‚ Å‚Å‚

3
1 -2 1 0
ðÅ‚ ûÅ‚
t = AT b = 4 =
2 4 2 32
5



x1 = 1.0
6 -4 x1 0
S x = t =

-4 24 x2 32
x2 = 1.5
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE POD- I NADOKREÅšLONE UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
...
Podokreślone układy równań Nadokreślone układy równań Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Przykłady
Nadokreślone układy równań
Przykład 1 cd.



x1 = 1.0
6 -4 x1 0
S x = t =

-4 24 x2 32
x2 = 1.5
x2
2.5
1.5
x
1.0
x1
-2.0
1.0 3.0 5.0
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE POD- I NADOKREÅšLONE UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
...
Podokreślone układy równań Nadokreślone układy równań Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Przykłady
Nadokreślone układy równań
Przykład 2
Rozwiązać nadokreślony układ równań:
x1 + 2x2 = 3
-2x1 + 4x2 = 4
x1 + 2x2 = 3
Stosujemy algorytm Gaussa-Jordana:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 | 3 1 2 | 3 1 2 | 3
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
-2 4 | 4 0 8 | 10 0 1 | 1.25
1 2 | 3 0 0 | 0 0 0 | 0
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 | 0.5

ðÅ‚ ûÅ‚
0 1 | 1.25 x1 = 0.5, x2 = 1.25, 0 = 0(!!)
0 0 | 0
Układ równań nie jest sprzeczny tzn. że obliczone niewiadome
spełniają wszystkie równania.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE POD- I NADOKREÅšLONE UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
...
Podokreślone układy równań Nadokreślone układy równań Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Przykłady
Nadokreślone układy równań
Przykład 2 cd.
Poszukajmy jednak pseudorozwiÄ…zania:
îÅ‚ Å‚Å‚

1 2
1 -2 1 6 -4
ðÅ‚ ûÅ‚
S = AT A = -2 4 =
2 4 2 -4 24
1 2
îÅ‚ Å‚Å‚

3
1 -2 1 -2
ðÅ‚ ûÅ‚
t = AT b = 4 =
2 4 2 28
3



x1 = 0.5
6 -4 x1 -2
S x = t =

-4 24 x2 28
x2 = 1.25
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE POD- I NADOKREÅšLONE UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
...
Podokreślone układy równań Nadokreślone układy równań Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Przykłady
Nadokreślone układy równań
Przykład 2 cd.



x1 = 0.5
6 -4 x1 -2
S x = t =

-4 24 x2 28
x2 = 1.25
x2
1.5
1.25
x
1.0
x1
-2.0 0.5 3.0
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE POD- I NADOKREÅšLONE UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
...
Podokreślone układy równań Nadokreślone układy równań Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Rozważane dotychczas układy równań miały tę wspólną cechę,
że macierze ich współczynników Am×n byÅ‚y peÅ‚nego rzÄ™du.
Własność ta charakteryzuje taką strukturę macierzy, dzięki której zawsze
istnieje conajmniej jeden jej niezerowy minor (podwyznacznik) stopnia
k = min(n, m).
W tym przypadku wszystkie wiersze macierzy podokreślonej (k = m),
lub wszystkie kolumny macierzy nadokreśloej (k = n), były liniowo
niezależne.
Ta wÅ‚asność macierzy Am×n pozwoliÅ‚a na dokonanie przeksztaÅ‚ceÅ„
za pomocÄ… algorytmu Gaussa-Jordana.
Analizowanie i rozwiązywanie układów równań niepełnego rzędu wymaga,
w przypadku ogólnym, stosowania metody Gaussa-Jordana z pełnym
wyborem elementów podstawowych (przestawianie wierszy i kolumn
macierzy A).
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE POD- I NADOKREÅšLONE UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
...
Podokreślone układy równań Nadokreślone układy równań Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Przykłady
Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Przykład 1
Dany jest układ równań:
x1 + 2x2 = 4
x1 + 2x2 = 6
x1 + 2x2 = 8
Stosujemy algorytm Gaussa-Jordana:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 | 4 1 2 | 4
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1 2 | 6 0 0 | 2 .
1 2 | 8 0 0 | 4
Skąd wynika, że macierz A jest niepełnego rzędu: rz = 1, k = 2,
a układ równań jest sprzeczny: 0=2, 0=4.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE POD- I NADOKREÅšLONE UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
...
Podokreślone układy równań Nadokreślone układy równań Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Przykłady
Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Przykład 1 cd.
Celem znalezienia pseudorozwiÄ…zania obliczamy:
îÅ‚ Å‚Å‚

1 2
1 1 1 3 6
ðÅ‚ ûÅ‚
S = ATA = 1 2 = ,
2 2 2 6 12
1 2
îÅ‚ Å‚Å‚

4
1 1 1 18
ðÅ‚ ûÅ‚
t = AT b = 6 =
2 2 2 36
8



x1 = 6.0 - 2x2
3 6 x1 18
S x = t =

6 12 x2 36
x2 = 0.0
Otrzymane rozwiązanie jest rozmaitością jednowymiarową:

x1
x = , x1 = 6 - 2x2.
x2
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE POD- I NADOKREÅšLONE UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
...
Podokreślone układy równań Nadokreślone układy równań Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Przykłady
Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Przykład 1 cd.
Otrzymane rozwiązanie jest rozmaitością jednowymiarową:

x1
x = , x1 = 6 - 2x2.
x2
x2
4.0 x
1
3.0
2.0
x1
4.0 6.0 8.0
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE POD- I NADOKREÅšLONE UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
...
Podokreślone układy równań Nadokreślone układy równań Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Przykłady
Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Przykład 2
Rozważmy układ równań:
x1 + 2x2 + 3x3 = 1
x1 + 2x2 + 3x3 = 2
Stosujemy algorytm Gaussa-Jordana:

1 2 3 | 1 1 2 3 | 1
.
1 2 3 | 2 0 0 0 | 1
Również i tym razem macierz A jest niepełnego rzędu,
rz = 1, k = 2, a układ jest sprzeczny: 0=1.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE POD- I NADOKREÅšLONE UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
...
Podokreślone układy równań Nadokreślone układy równań Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Przykłady
Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Przykład 2 cd.
Wyznaczmy pseudorozwiÄ…zanie:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚

1 1 2 4 6
1 2 3
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
S = ATA = 2 2 = 4 8 12 ,
1 2 3
3 3 6 12 18
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚

1 1 3
1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
t = AT b = 2 2 = 6 .
2
3 3 9
Å„Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚

ôÅ‚ + 2x2 + 3x3 = 1.5,
2 4 6 x1 3
òÅ‚x1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
S x = t 4 8 12 x2 ûÅ‚ = 6 0 = 0
ôÅ‚
ół0 = 0
6 12 18 x3 9
stÄ…d:

x1 = 1.5 - 2x2 - 3x3
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE POD- I NADOKREÅšLONE UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
...
Podokreślone układy równań Nadokreślone układy równań Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Przykłady
Układy równań liniowych niepełnego rzędu
Przykład 2 cd.

x1 = 1.5 - 2x2 - 3x3
x3
x
1
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111 x2
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
x1
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE POD- I NADOKREÅšLONE UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
...