Dystrybucja grzebieniowa
Znalez
ć transformatę Fouriera ciągu równoodległych impulsów o jednostkowym natężeniu i
powtarzających się co T sekund. Jest to funkcja bardzo istotna w teorii próbkowania i dlatego
dogodnie jest oznaczyć ją przez �T (t) .
�T (t)
(1)
t
3T 4T
- T T 2T
5T
0
- 3T - 2T
�T (t) = � (t) + � (t - T ) + � (t - 2T ) +L+ � (t - nT ) +L
"
+ � (t + T ) + +� (t + 2T )L+ � (t + nT ) + L = (t - nT )
"�
n=-"
Jest to oczywiście funkcja okresowa o okresie T. Rozwiniemy najpierw tę funkcję w szereg
Fouriera
"
jn�0t
�T (t) = Xne
"
n=-"
przy czym
T / 2
1
jn�0t
Xn =
T
+"� (t)e- dt
T
-T / 2
Funkcja �T (t) w przedziale (-T / 2, + T / 2) jest po prostu funkcją � (t) . Zatem
T / 2
1
Xn = (t)e- jn�0tdt
+"�
T
-T / 2
Z właściwości próbkowania funkcji impulsowej wyrażonej w równości
" "
x(t)� (t)dt = x(0) (t)dt = x(0)
+" +"�
-" -"
równanie powyższe redukuje się do
1
Xn =
T
Dystrybucja grzebieniowa
1
A zatem Xn redukuje się do . Wynika stąd, że ciąg impulsów o okresie T zawiera składowe o
T
pulsacjach � = 0, ą �0, ą 2�0, L ą n�0L, gdzie �0 = 2Ą /T i
"
1
jn�0t
�T (t) =
"e
T
n=-"
Do znalezienia transformaty Fouriera funkcji �T (t) wykorzystamy równanie
"
F{x(t)} = 2Ą Xn� (� - n�0)
"
n=-"
definiujące transformatę Fouriera funkcji okresowej. Otrzymujemy
" " "
1 2Ą
F{�T (t)} = 2Ą � (� - n�0) =
" "� (� - n�0) = �0 "� (� - n�0) = �0�� (�)
0
T T
n=-" n=-" n=-"
Wynika stąd, że transformata Fouriera dystrybucji grzebieniowej jest również dystrybucją
grzebieniową.
�0�� (�)
0
(�0 )
- 3�0 - 2�0 -�0 0 �0 2�0 3�0 4�0 5�0 �