A. Zaborski, Geometryczna niezmienność
GEOMETRYCZNA NIEZMIENNOŚĆ
Przykład 1
Metoda prędkości wirtualnych
3
4
ą
v4
1.5
ą
v3
�
2
O3
v2
2.5
tarcza 1
tarcza 2
1
O2 O1
v1
1 1.5 1.5 1
1. Unieruchamiamy tarczę nr 1.
2. Punkty 1, 2, 3 i 4 posiadają prędkości liniowe o kierunkach prostopadłych do promieni wodzących w ruchu
wokół chwilowych środków obrotu: O1, O2 i O3.
3. Tarcza nr 2 posiada pewną prędkość kątową w ruchu wokół środka obrotu O1. Wobec tego prędkości
punktów 1 i 2 są proporcjonalne do długości promieni wodzących. Możemy więc napisać proporcję,
wynikającą z przyjętych wymiarów:
v1 v2
= , skąd v2 = 2v1 .
2.5
2.5 2
4. Kierunki prędkości punktów 2 i 3 są identyczne, wobec tego pręt 2-3 porusza się ruchem translacyjnym,
czyli że v3 = v2 .
5. Rzuty prędkości punktów 3 i 4 na pręt 3-4 muszą być równe, skąd mamy:
2 1.5
v3 = v4 cosą = v4 , czyli v4 = 1.202v1 .
2
1.52 +1
6. Jednocześnie prędkości punktów 1 i 4 w rzucie na pręt 1-4 muszą być sobie równe, obliczamy więc:
2 Ą Ą 1.5
v1 = v4 cos � , � = -ą = - arc cos = 0.1974rd cos � = 0.9806
2 4 4
1.52 +1
czyli, że v4 = 0.7211v1
7. Ponieważ v4 nie może być jednocześnie równe 1.202 v1 i 0.7211 v1, stwierdzamy sprzeczność w planie
prędkości wirtualnych, wnioskując o geometrycznej niezmienności wewnętrznej układu.
Twierdzenie o 3 tarczach
Wprost z twierdzenia wynika, że pręty połączone  w trójkąt tworzą tarcze I i II: One z kolei wraz z tarczą III
tworzą układ 3 tarcz, połączonych parami prętów, których kierunki przecinają się odpowiednio w punktach A, B
i C (przy czym punkty B i C mogą być niewłaściwe, t.j. w nieskończoności), niewspółliniowych.
III
I II
A
B C
A. Zaborski, Geometryczna niezmienność
Twierdzenie o 2 tarczach
Pręt 1 (jako tarcza) jest połączony z prętem (tarczą) 2 przegubem, który możemy zastąpić 2 prętami o
kierunkach przecinających się w przegubie, oraz prętem a. A
ącznie więc te 2 tarcze są połączone 3 prętami, o
kierunkach nie przecinających się w jednym punkcie.
b
1 a 4
2 3
Podobne rozumowanie można zastosować do prętów (tarcz) 3 i 4 połączonych przegubem i prętem b. Niestety,
dalej nie znajdujemy już możliwości zastosowania twierdzenia o 2 tarczach. Twierdzenie to nie jest w tym
przypadku rozstrzygające o geometrycznej niezmienności układu i musimy teraz skorzystać albo z twierdzenia o
3 tarczach albo z prędkości wirtualnych.
Przykład 2
Metoda prędkości wirtualnych
v2
v1
1
2
3
Po unieruchomieniu dolnego pręta stwierdzamy, że dwa jego końce muszą być chwilowymi środkami obrotu dla
prętów 1 i 2. Wobec tego przeciwległe końce prętów 1 i 2 posiadają prędkości wirtualne prostopadłe do
promieni wodzących (a tym samym i do właściwych prętów). Wspólny koniec prętów 1 i 2 posiadałby więc
dwie różne prędkości wirtualne (różniące się co najmniej kierunkami), co jest niemożliwe. Sprzeczność
prędkości wirtualnych w tym punkcie dowodzi że jest on również unieruchomiony. Tak więc 3 pręty: dolny (3)
oraz 1 i 2 tworzą jedną tarczę. Podobne rozumowanie można przeprowadzić dla mniejszego ( wewnętrznego )
trójkąta.
Unieruchamiamy teraz tarczę tworzącą  zewnętrzny trójkąt. Rozpatrzmy ruch wirtualny 3 prętów
wychodzących z jego naroży. Naroża są dla tych prętów chwilowymi środkami obrotu (niebieskie punkty na
rysunku z prawej). Wobec tego przeciwległe końce tych prętów mają prędkości liniowe o kierunkach
prostopadłych do prętów. Stwierdzamy tym samym, że takie też będą prędkości liniowe  wewnętrznej tarczy.
Kierunki prostopadłe do prędkości liniowych wskazują na położenie chwilowego środka obrotu. Ponieważ
kierunki przecinają się w 3 różnych punktach (zaznaczonych na rysunku na czerwono), stwierdzamy, że istnieją
3 różne chwilowe środki obrotu dla wewnętrznej tarczy, co jest niemożliwe. I znowu sprzeczność prędkości
wirtualnych dowodzi, że tarcza wewnętrzna jest unieruchomiona względem tarczy zewnętrznej.
Wykazaliśmy więc, że układ stanowi jedną sztywną tarczę.
A. Zaborski, Geometryczna niezmienność
Twierdzenie o 3 tarczach
Wybieramy 3 tarcze, jak na rysunku. Widać, że są połączone każda z każdą 2 prętami, których kierunki
przecinają się w punktach zaznaczonych na niebiesko (jeden z nich niewłaściwy). Punkty nie są współliniowe a
więc WKW twierdzenia został spełniony: układ stanowi jedną sztywną tarczę.
Twierdzenie o 2 tarczach
Wykazanie niezmienności połączenia 3 prętów w trójkąt jest już teraz dla nas operacją banalną. Stwierdzamy
więc, że zarówno trójkąt  zewnętrzny jak i  wewnętrzny , każdy z osobna, stanowią sztywne tarcze. Te 2
tarcze są połączone ze sobą 3 prętami (zaznaczonymi na czerwono), których kierunki przecinają się w punktach
zaznaczonych na niebiesko. Wnioskujemy więc że spełniony jest WKW geometrycznie niezmiennego
połączenia 2 tarcz.
Przykład
Układ jest geometrycznie niezmienny wewnętrznie  1 tarcza. Niezmienność zewnętrzna: 2 tarcze (wewnętrzna
tarcza i ostoja) połączone 3 prętami, ale kierunki tych prętów przecinają się w 1 punkcie, będącym chwilowym
środkiem obrotu. UKA
AD GEOMETRYCZNIE ZMIENNY.
Przykład
C
I
C
II
A B
Układ geometrycznie zmienny wewnętrznie - 2 tarcze (I oraz II) połączone jedynie 2 prętami; geometrycznie
niezmienny zewnętrznie - 3 tarcze (I, II oraz ostoja): każda z nich połączona z dwiema innymi 2 prętami,
kierunki par prętów łączących przecinają się w punktach niewspółliniowych (A, B oraz C, jest to WKW
geometrycznie niezmiennego połączenia 3 tarcz). UKA
AD GEOMETRYCZNIE NIEZMIENNY
(TRÓJPRZEGUBOWY).
A. Zaborski, Geometryczna niezmienność
Przykład
Układ geometrycznie zmienny wewnętrznie - 3 tarcze połączone prętami, których kierunki przecinają się w
punktach leżących na jednej prostej (rys. a); geometrycznie zmienny zewnętrznie - więzy odbierają co najwyżej
3 s.s. układowi tarcz, który posiada 3+1 = 4 s.s.
To samo metodą prędkości wirtualnych, rys. b, geometryczna niezmienność wewnętrzna: Tarczę I
unieruchamiamy, punkty O1 i O2 są chwilowymi środkami obrotów, stąd w sąsiadujących z nimi węzłach znane
są kierunki prędkości wirtualnych: punkty O3 i O4 są chwilowymi środkami obrotu prętów p1 i p2. Wynika stąd,
że translacja pręta p3 jest możliwa: uzyskuje się niesprzeczny plan prędkości. Rys. c, geometryczna
niezmienność zewnętrzna: Z więzów wynika, że punkt O1 jest chwilowym środkiem obrotu, stąd w węz
le O2
uzyskujemy prędkość wirtualną v1, sprzeczną z prędkością możliwą v2, wynikającą z działania podpory
przesuwnej w tym miejscu. Stąd wnioskujemy, że więzy unieruchamiają pręt O1O2. Ale unieruchomienie jedynie
tego pręta, jak wynika z analizy geometrycznej niezmienności wewnętrznej, rys. b, jest niewystarczające.
UKA
AD GEOMETRYCZNIE ZMIENNY.
a) b) c)
v2
v1
O2
O3 p1
II O2
I
p3
O1
III
p2
O1
O4