Przykład dydaktyczny
Zagadnienie drgań własnych układów o skończonej liczbie dynamicznych stopni swobody
1. Problemy przedstawione w przykładzie:
- wyznaczenie spektrum częstości kołowych drgań własnych i odpowiadających im postaci drgań
własnych układu ortogonalnego o skończonej liczbie stopni swobody (układ z masami skupionymi),
- sprawdzenie warunku ortogonalności drgań,
- wykorzystanie twierdzenia redukcyjnego do określenia macierzy podatności układu,
- oszacowanie wzorami przybliżonymi podstawowej częstości kołowej drgań własnych układu.
1.5M M
EJ=const
3 m
3 m
Rys.1. Schemat statyczny poddanej analizie ortogonalnej ramy z masami skupionymi
Biblioteka dydaktyczna dra Bosaka
1
3 m
D
a
k
y
e
d
t
a
o
k
i
l
t
b
y
i
c
z
n
B
a
D
a
r
k
a
a
s
B
o
2. Problem drgań własnych układu o skończonej liczbie dynamicznych stopni swobody
Model matematyczny problemu drgań własnych układu o skończonej liczbie dynamicznych stopni
swobody przedstawia równanie macierzowe:
îÅ‚DÅ"M - 1
IÅ‚Å‚ A = 0
{ } { }
ïÅ‚ûÅ‚
ðÅ‚ É2 śł
gdzie:
M- macierz mas ukÅ‚adu; D- macierz podatnoÅ›ci ukÅ‚adu; I- macierz jednostkowa, É- czÄ™stość (czÄ™stoÅ›ci)
kołowa drgań własnych; {A}- wektor współrzędnych postaci drgań własnych; {0}-wektor zerowy.
Dla układu o dwóch dynamicznych stopniach swobody powyższe równanie przyjmuje postać:
1
ëÅ‚öÅ‚
m1 Å"´1D - A1 + m2 Å"´1D Å" A2 = 0
ìÅ‚ 1 2
É2 ÷Å‚Å"
íÅ‚Å‚Å‚
1
ëÅ‚öÅ‚
DD
m1 Å"´21 Å" A1 + m2 Å"´22 - Å" A2 = 0
ìÅ‚
É2 ÷Å‚
íÅ‚Å‚Å‚
1.5M M
q1
q2
EJ=const
3 m
3 m
3 m
Rys.2. Schemat statyczny ortogonalnej ramy z masami skupionymi z zaznaczonymi stopniami swobody dynamicznej: q1 i q2.
3. Określenie macierzy mas układu
Macierz mas jest diagonalną macierzą o wymiarze równym liczbie dynamicznych stopni swobody
układu. W przypadku analizowanego układu ma postać:
m1 0 M 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
M == ; m1 = M , m2 = 15M
.
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 m2 0 1.5M
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Biblioteka dydaktyczna dra Bosaka
2
4. Wyznaczenie macierzy podatności układu
Macierz podatności jest macierzą symetryczną, której elementy stanowią przemieszczenia na
poszczególnych kierunkach swobody dynamicznej układu przy działaniach jednostkowych sił skupionych
na tychże kierunkach. Interpretacja elementów macierzy podatności analizowanego układu ramowego jest
przedstawiona na Rys.3.
D D
îÅ‚´11 ´12 Å‚Å‚
D D D D
D = ïłśł ´12 = ´21 , ´11 > 0 , ´22 > 0
D D
ïÅ‚´21 ´22 śł
ðÅ‚ûÅ‚
1
D
D
´12
´11
´21 1 D
D
´22
q1
q1
q2
q2
Rys.3. Interpretacja elementów macierzy podatności analizowanego układu ramowego
4.1. Wyznaczenie wykresów momentów zginających przy działaniach jednostkowych na
poszczególnych kierunkach swobody dynamicznej układu.
W celu obliczenia elementów macierzy podatności należy wyznaczyć wykresy momentów
zginających od działania jednostkowych sił skupionych przyłożonych na poszczególnych kierunkach
swobody dynamicznej. Ponieważ analizowany układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny
wykresy te zostaną wyznaczone metodą sił.
Procedura wyznaczenia tych wykresów jest następująca:
1.OkreÅ›lenie stopnia statycznej niewyznaczalnoÅ›ci ramy: SSN = 5 - 3 -1+ 3Å"0 = 1
2.Przyjęcie układu podstawowego metody sił (UPMS)
3 m
x1
3 m
3 m
Biblioteka dydaktyczna dra Bosaka
3
3. Wykres stanu jednostkowego x1=1
3.0 3.0
3.0
3 m
M
1
x1=1
3 m
3 m
4. Wykresy dwóch stanów P związanych z działaniem siły jednostkowej na pierwszym i drugim kierunku
swobody dynamicznej
3.0
1
1
q1
q2
3.0
3 m
3 m
6.0
3.0 2
M
M1
p
p
3 m
3 m
3 m
3 m
5. Obliczenie wymaganych elementów równań metody sił:
1 1
- równanie przy dziaÅ‚aniu siÅ‚y na pierwszym dynamicznym stopniu swobody- ´11 Å" x1 + "1p = 0
2
- równanie przy dziaÅ‚aniu siÅ‚y na drugim dynamicznym stopniu swobody- ´11 Å" x1 + "12p = 0
- elementy poszczególnych równań metody sił
M Å" M 11 36
1 1 ëÅ‚öÅ‚
´11 = ds =
"
+"
ìÅ‚3Å"3Å"3 + 3 Å"3Å"3Å"3÷Å‚ =
EJ EJ EJ
íÅ‚Å‚Å‚
2
M Å" M1 1 ëÅ‚ 6 + 3 1 öÅ‚ -49.5 M Å" M
1 1
1 1 13.5
p p ëÅ‚öÅ‚
1
"1p = ds = - 3Å"3 - Å"3Å"3Å"3÷Å‚ = "12p = ds = Å"3Å"3Å"3÷Å‚ =
" "
+" +"
ìÅ‚ ìÅ‚
EJ EJ 2 3Å‚Å‚ EJ EJ EJ 2 EJ
íÅ‚ íÅ‚Å‚Å‚
- otrzymanie wartości sił hiperstatycznych w wyniku rozwiązania równań metody sił w przypadkach
działania siły jednostkowej na poszczególnych kierunkach swobody dynamicznej,
1 1 2
´11 Å" x1 + "1p = 0 ´11 Å" x1 + "12p = 0
1 2
x1 = 1375 x1 =-0375
. .
11 22 2
Most = M Å" x1 + M1 Most = M Å" x1 + M
1 1
p p
1.875
1
1.125
1
q1
q2
1.125
3 m
3 m
1 2
1.875 Most Most
3.0
3 m
3 m 3 m
3 m
Biblioteka dydaktyczna dra Bosaka
4
4.2. Zastosowanie twierdzenia redukcyjnego (TR) do obliczenia elementów macierzy podatności
W celu uproszczenia obliczeń elementów macierzy podatności zastosowano twierdzenie
redukcyjne. W układzie wyjściowym usunięto jedną więz
(dodano przegub w węz
le) otrzymując układ
statycznie wyznaczalny. Dla tego układu narysowano wykresy momentów zginających przy działaniu
skupionej siły jednostkowej na pierwszym i drugim kierunku swobody dynamicznej. Tak otrzymane
wykresy zastosowano do obliczenia elementów macierzy podatności zgodnie z poniższymi formułami.
3.0
1
1
q1
q2
3 m
3.0
2
3 m
Mw
3.0
M1
w
3 m
3 m
3 m
3 m
1 1 1
Most Å" Most Twierdzenie Redukcyjne M1 Å" Most
D w
´11 = ds çÅ‚çÅ‚çÅ‚çÅ‚çÅ‚çÅ‚çÅ‚çÅ‚ ds
=
""
+"+"
EJ EJ
2 2 2 2
Most Å" Most Mw Å" Most
D
´22 = çÅ‚= ds
ds çÅ‚TRçÅ‚
""
+"+"
EJ EJ
1 2 2 1 2
Most Å" Most M1 Å" Most Most Å" Mw
D D w
´12 = ´21 = ds çÅ‚TRçÅ‚ ds çÅ‚TRçÅ‚ ds
çÅ‚= çÅ‚
"" "
+"+" +"
EJ EJ EJ
1
M1 Å" Most 21.938
D w
´11 = ds =
"
+"
EJ EJ
2 2
Mw Å" Most 39375
.
D
´22 = ds =
"
+"
EJ EJ
2
M1 Å" Most -3.9375
D D w
´12 = ´21 = ds =
"
+"
EJ EJ
Macierz podatności analizowanego układu przyjmuje postać:
21.938 -3.9375
îÅ‚ Å‚Å‚
D D
îÅ‚´11 ´12 Å‚Å‚ ïÅ‚ śł
EJ EJ
D= ïłśł ïÅ‚ śł
=
D D
-3.9375 3.9375
ïÅ‚´21 ´22 śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ûÅ‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ EJ EJ ûÅ‚
Biblioteka dydaktyczna dra Bosaka
5
5. Obliczenie spektrum częstości kołowych drgań własnych
Z warunku istnienia niezerowego rozwiązania układu równań drgań własnych:
1
ëÅ‚öÅ‚
m1 Å"´1D - Å" A1 + m2 Å"´1D Å" A2 = 0
1
ìÅ‚÷Å‚ 2
É2
íÅ‚Å‚Å‚
1
ëÅ‚öÅ‚
DD
m1 Å"´21 Å" A1 + m2 Å"´22 - Å" A2 = 0
ìÅ‚
É2 ÷Å‚
íÅ‚Å‚Å‚
tj. zerowania się wyznacznika macierzy współczynników powyższego układu,
1 21.938 1 -3.9375
îÅ‚Å‚Å‚ îÅ‚Å‚Å‚
- m2 Å"´1D śł .
1
ïÅ‚m1 Å"´1D 2 ïÅ‚M Å" - 15M Å" śł
EJ EJ
É2 É2
ïłśł ïłśł
det = 0 det = 0
1
ïłśł ïÅ‚ -3.9375 3.9375 1
śł
DD
m1 Å"´21 m2 Å"´22 - M Å" .
ïÅ‚ûÅ‚ 15M Å" -
ïÅ‚ûÅ‚
EJ EJ
ðÅ‚ É2 śł ðÅ‚ É2 śł
postępując zgodnie z poniższymi procedurami,
2
M 1 M 1 M
ëÅ‚öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
21.938 - Å"ìÅ‚5.90625 - - 23.256ìÅ‚ ÷Å‚ = 0
ìÅ‚÷Å‚ ÷Å‚
EJ EJ EJ
É2 É2
íÅ‚Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
1 M 1 M M
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
- 27.84425Å" Å" +106.315Å"ìÅ‚ ÷Å‚ = 0 / :
ìÅ‚ ÷Å‚
EJ EJ EJ
É4 É2 íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
EJ 1 1 EJ
Niech x = Å" stÄ…d É = Å"
M M
É2 x
x2 - 27.84425Å" x +106.315 = 0
" = b2 - 4ac = 350.042 " = 18.7094
-b Ä… "
x12 = x1 = 23.277,x2 = 4.567
,
2a
otrzymano spektrum częstości kołowych drgań własnych tzn. uporządkowany zbiór częstości kołowych
drgań własnych od wartości najmniejszej po największą:
EJ EJ
É1 = 0.207 < É2 = 0468
.
M M
6. Wyznaczenie postaci drgań własnych
Każdej częstości kołowej drgań własnych odpowiada postać (forma) drgań własnych.
Współrzędne pierwszej postaci drgań własnych wyznaczono na podstawie pierwszego równania układu
zakładając, że wartość współrzędnej na pierwszym kierunku A1I =+10 . Druga jest wyliczana na podstawie
.
równania.
EJ
I postać drgaÅ„ wÅ‚asnych odpowiadajÄ…ca É1 = 0.207
M
I
1.5M
A1I = 10
.
A2 =-0.227
Niech A1I =+10
.
ëÅ‚öÅ‚
M
1
I
m1 Å"´1D ÷Å‚ Å" A1I + m2 Å"´1D Å" A2 = 0
ìÅ‚ - ÷Å‚
1 2
2
ìÅ‚
q2
É1 Å‚Å‚
íÅ‚
21.938 M -3.9375
ëÅ‚öÅ‚I
M Å" - 23.277 A1I +1.5M Å" Å" A2 = 0
ìÅ‚÷Å‚Å"
EJ EJ EJ
íÅ‚Å‚Å‚
I
stÄ…d otrzymujemy: A2 =-0.227
Podobnie postąpiono przy wyznaczaniu współrzędnych drugiej postaci drgań, ale tym razem założono, że
II
A2 =+1.0 . Przyjęcie wartości jednostkowych na tych kierunkach zapewnia unormowanie wartości
współrzędnych postaci drgań do 1 (żadna z wartości postaci drgań, co do wartości bezwzględnej, nie jest
większa niż 1.0).
Biblioteka dydaktyczna dra Bosaka
6
EJ
II postać drgaÅ„ wÅ‚asnych odpowiadajÄ…ca É2 = 0.468
A1II =+034
.
M
II
II
Niech A2 =+1.0
A2 = +10
.
q1
M
ëÅ‚öÅ‚
1
I
1.5M
m1 Å"´1D ÷Å‚ Å" A1I + m2 Å"´1D Å" A2I = 0
ìÅ‚ - ÷Å‚2 I
1 q2
2
ìÅ‚
É2 Å‚Å‚
íÅ‚
21.938 M -3.9375
ëÅ‚öÅ‚
II
M Å" - 4.567 Å" A1II +1.5M Å" Å" A2 = 0
ìÅ‚÷Å‚
EJ EJ EJ
íÅ‚Å‚Å‚
.
stÄ…d otrzymujemy: A1II =+034
7. Sprawdzenie warunku ortogonalności postaci drgań własnych
Współrzędne postaci drgań spełniają warunek ortogonalności:
LDSS
mi Å" Aik Å" Ail = 0 k `" l
"
i=1
W przypadku układu o dwóch dynamicznych stopniach swobody ma on postać:
I I
m1 Å" A1I Å" A1II + m2 Å" A2 Å" A2I = 0
W analizowanym przypadku:
M Å"10Å"034 +1.5M Å"
. .
(-0.227 Å"1.0 = -5Å"10-4 E" 0
)
8. Oszacowanie podstawowej częstości drgań własnych na bazie wzorów przybliżonych
Oszacowanie od dołu podstawowej częstości kołowej drgań własnych dokonano wykorzystując wzór
Dunkerleya:
1
É1D =
LDSS
mi Å"´ii
"
i=1
Podstawiając odpowiednie wartości otrzymano:
11 EJ
É1D == = 019
.
D
M
m1 Å"´1D + m2 Å"´22 M Å" 21.938 +15M Å" 3.9375
1
.
EJ EJ
Z góry oszacowanie wartości podstawowej dokonano wykorzystując wzór Rayleigha:
LDSS
Pi Å" yi
"
i=1
É1R =
LDSS
mi Å" yi2
"
i=1
gdzie:
- mi- masa drgajÄ…ca na i-tym dynamicznym stopniu swobody;
- Pi- siła działająca na i-tym dynamicznym stopniu swobody, o zwrocie zgodnym z współrzędnymi
pierwszej postaci drgań własnych i o wartości proporcjonalnej do mi,
- yi- wartość przemieszczenia na i-tym dynamicznym stopniu swobody od działaniu układu sił Pi.
Biblioteka dydaktyczna dra Bosaka
7
Charakterystykę poszczególnych wartości w analizowanym przypadku przedstawiono na Rys.4:
P1=+1.0
y2
P2=-1.5
1.5M q1
M
q2
y1
Rys.4. Pierwsza postać drgań własnych z zaznaczonymi wielkościami, które wykorzystano we wzorze Rayleigha.
Przemieszczenia od układu sił Pi obliczono wykorzystując macierz podatności układu zgodnie z
poniższymi formułami:
21.938 -3.9375 27.84425
y1 = P1 Å"´1D + P2 Å"´1D = 1Å" -1.5Å" =
1 2
EJ EJ EJ
-3.9375 3.9375 -9.84375
D D
y2 = P1 Å"´21 + P2 Å"´22 = 1Å" -1.5Å" =
EJ EJ EJ
Następnie podstawiono do wzoru otrzymując:
27.84425 -9.84375
1Å"-1.5Å"
P1 Å" y1 + P2 Å" y2 EJ
EJ
É1R ==2 EJ = 0215
.
2 2 2
M
m1 Å" y1 + m2 Å" y2 27.84425 öÅ‚ -9.84375 öÅ‚
M Å"ëÅ‚÷Å‚ìÅ‚÷Å‚
+15M Å"ëÅ‚
.
ìÅ‚
EJ EJ
íÅ‚Å‚Å‚íÅ‚Å‚Å‚
W ten sposób wyznaczono przedział wartości, w którym zawiera się podstawowa częstość kołowa drgań
własnych, czyli dokonano jej oszacowania:
EJ EJ EJ
É1D = 0.19 < É1 = 0.207 < É1R = 0.215
M MM
Biblioteka dydaktyczna dra Bosaka
8