3. Analiza regresji.
a) Gęstośd prawdopodobieostwa
A
ączny rozkład gęstości prawdopodobieostwa :
P[x <� X Ł� x +� D�x, y Ł� Y Ł� y +� D�y]
P(x, y) =� lim
D�x��0;
D�x �� D�y
D�y��0
Definiujemy również rozkłady brzegowe
Ą�
p(x) =� p(x, y)dy
��
-�Ą�
Ą�
p(y) =� p(x, y)dx
��
-�Ą�
oraz
p(x, y) =� p(x, y)dxdy =�1
����
-�Ą�
Zmienne X i Y są niezależne tylko wtedy gdy
p(x, y) =� p(x) �� p(y)
Wartośd średnia rozkładu dwuwymiarowego wartości x i y
Ą� Ą�
m�x =� x �� p(x, y)dxdy
�� ��
-�Ą�-�Ą�
Ą� Ą�
m�y =� y �� p(x, y)dxdy
�� ��
-�Ą�-�Ą�
Wartośd wariancji rozkładu dwuwymiarowego wartości x i y
Ą� Ą�
2
s� =� -� m�x )2 �� p(x, y)dxdy
x
�� ��(x
-�Ą�-�Ą�
Ą� Ą�
2
s� =� -� m� )2 �� p(x, y)dxdy
y y
�� ��(y
-�Ą�-�Ą�
Wartośd kowariancji  zależności liniowej między X i Y
Ą� Ą�
Cx , y =�
y
�� ��(x -� m�x ) �� (y -� m� ) �� p(x, y)dxdy -- nie jestem pewien czy ma byd całka podwójna
-�Ą� -�Ą�
Rozkład normalny 2 zmiennych losowych- funkcja gęstości
x -� m�x x -� m�x y -� m� y y -� m� y
-�1
exp{[ ] ��[( )2 -� 2r�xy �� ( ) �� ( ) +� ( )2 ]}
s� s� s� s�
2(1 -� r�xy 2 )
x x y y
p(x, y) =�
2 �� p� ��s� s� �� 1 -� r�xy 2
x y
Cxy
Gdzie r� =� - współczynnik korelacji.
xy
s� s�
x y
Jeżeli r�xy =� 0, to znaczy że zmienne są nieskorelowane (są niezależne od siebie),
wtedy wzór na gęstośd prawdopodobieostwa przyjmuje postad
p(x, y) =� p(x) �� p(y)
Współczynnik korelacji r�xy ,
Cxy
r� =�
xy
s� s�
x y
W celu wyznaczenia korelacji można posłużyd się testem statystycznym (sprawdza czy
istnieje korelacja)
Definiujemy
1 +�
xy
w =� 0.5ln( )
-�
xy
Przy czym
N
-� x) �� (yi -� y)
��(xi
i=�1
=�
xy
N N
-� x)2 �� -� y)2
��(xi ��(yi
i=�1 i=�1
Zmienna losowa w ma rozkład normalny przy czym
1 +� r�
xy
m�w =� 0.5ln( )
1 -� r�
xy
1
s� =� N- liczba pomiarów
w
N -� 3
Sprawdzamy czy
1 +�
N -� 3
xy
-� ZC <� �� ln( ) <� ZC Z-odczytujemy z tablic dla podanego poziomu istotności
2 -�
xy
Jeżeli ten warunek jest spełniony to korelacja wynosi 0