Metody systemowe i decyzyjne w informatyce
Kolokwium nr 1  4.04.2011
Systemy dynamiczne  równania różniczkowe  równanie stanu
Zadadanie 1 (10pkt)
Na polu bitwy spotkały się dwie armie  Polan, o liczności P0, i German, o liczności G0. Przez
P (t) oraz G(t) oznaczmy wielkość armii w chwili t Polan i German, odpowiednio. Prędkość zmiany
liczności armii Polan jest proporcjonalna do wielkości armii German z dokładnością do parametru
G ze znakiem minus. Podobnie, prędkość zmiany liczności armii German jest proporocjonalna do
wielkości armii Polan z dokładnością do parametru P ze znakiem minus. Oba parametry G i P
odpowiadają za efektywność obu armii. a) (2pkt) Zapisać równanie stanu oraz podać warunki po-
czÄ…tkowe (tj. P (0), G(0), V (0),
(0)). b) (4pkt) Przekształcić równanie stanu do postaci równania
różniczkowego drugiego rzędu dla P (t). c) (4pkt) Wyznaczyć transformatę Laplace a dla P (t).
RozwiÄ…zanie:
a)
dP (t)
= -GG(t)
dt
dG(t)
= -P P (t)
dt
oraz warunki poczÄ…tkowe:
P (0) = P0
G(0) = G0
V (0) = -GG0

(0) = -P P0
b) BiorÄ…c:
1 dP (t)
G(t) = -
G dt
i wstawiając do drugiego równania mamy
1 d2P (t)
- = -P P (t).
G dt2
PorzÄ…dkujÄ…c ostatecznie otrzymujemy
d2P (t)
- P GP (t) = 0.
dt2
1
Analogicznie:
d2G(t)
- P GG(t) = 0.
dt2
c) LiczÄ…c transformatÄ™ Laplace a mamy
dP (0)
s2P (s) - sP (0) - - P GP (s) = 0
dt
i porzÄ…dkujÄ…c
P (s)(s2 - P G) - sP0 + GG0 = 0
sP0 GG0
P (s) = - .
s2 - P G s2 - P G
Zadanie 2 (10pkt)
W sztywnym przewodzie hydraulicznym o kształcie walca i promieniu r pomiędzy dwoma zbior-
nikami przepływa ściśliwy płyn doskonały. Przewód taki modelujemy jako sumę spadku ciśnienia
związanego z masą, tzn. mh dI(t), oraz spadku ciśnienia związanego ze ściśliwością płynu, tzn.
dt
V (t) F (t)
. Suma spadków równa jest sile tłoczącej płyn działającej na przekrój przewodu, tzn. .
Ch Ä„r2
dV (t)
Zależność natężenia przepływu od objętości przepływu wyraża się wzorem I(t) = . a) (2pkt)
dt
Sformułować równanie różniczkowe drugiego rzędu dla V (t). b) (3pkt) Wyznaczyć transmitan-
cję układu. c) (5pkt) Korzystając z tranformaty Laplace a wyznaczyć odpowiedz
układu na siłę
tłoczącą F (t) = mh1(t). Przyjąć zerowe warunki początkowe.
RozwiÄ…zanie:
a)
d2V (t) V F (t)
mh + =
dt2 Ch Ä„r2
b) LiczÄ…c transformatÄ™ Laplace a
1 1
mhs2V (s) + V (s) = F (s)
Ch Ä„r2
i porzÄ…dkujÄ…c otrzymujemy
1 1
V (s)(s2 + ) = F (s).
mhCh mhĄr2
Ostatecznie transmitancja układu wynosi
1
V (s)
mhĄr2
= K(s) = .
1
F (s) s2 +
mhCh
c) Licząc transformatę Laplace a wejścia mamy
1
F (s) = mh
s
2
i wstawiajÄ…c jÄ… do transmitancji otrzymujemy
1
Ä„r2
V (s) = K(s)F (s) = .
1
s(s2 + )
mhCh
Dalej rozbijamy na ułamki proste
1
A Bs + C
Ä„r2
= + ,
1 1
s(s2 + ) s s2 +
mhCh mhCh
mhCh
h
gdzie A = , B = -m Ch, C = 0. Zatem
Ä„r2 Ä„r2
mhCh 1 mhCh s
V (s) = - .
1
Ä„r2 s Ä„r2 s2 +
mhCh
Ostatecznie, stosujÄ…c transformatÄ™ odwrotnÄ…, mamy
mhCh mhCh 1
V (t) = 1(t) - cos t .
Ä„r2 Ä„r2 mhCh
Liniowe zadanie najmniejszych kwadratów
Zadanie 3 (10pkt)
Dany jest model
y = Ć(u)T a,
T T
gdzie a = a0 a1 . . . aM-1 jest wektorem parametrów, a Ć(u) = Ć0(u) Ć1(u) . . . ĆM-1(u) jest
T
wektorem funkcji bazowych. Dysponujemy następującymi obserwacjami y = y1 y2 . . . yN oraz
U = [u1 u2 . . . uN]. Oznaczmy przez Ś = [Ć(u1) Ć(u2) . . . Ć(uN)]T . Ponadto dane są diagonalne
macierze W i V o wymiarach N × N oraz M × M odpowiednio. ZakÅ‚adamy, że wartoÅ›ci na
diagonaliach macierzy W i V sÄ… dodatnie, tj. wnn > 0 i vmm > 0 dla n = 1, . . . , N i m =
0, . . . , M - 1. Zakładając, że rząd r(Ś) = M, wyznaczyć a minimalizujące następujące kryterium
jakości:
1 1 1
2
2
Q(a) = W (y - Åša) + aT Va.
2
2 2
1 "
2
Macierz W oznacza macierz diagonalnÄ… o wyrazach wnn na diagonali, dla n = 1, . . . , N.
RozwiÄ…zanie:
Liczymy gradient z kryterium jakości Q i przyrównujemy do zera:
"aQ(a) = -ÅšT W(y - Åša) + Va = 0,
3
dalej przekształcając otrzymujemy postać:
(ÅšTWÅš + V)a = ÅšT Wy,
i ostatecznie wyznaczamy wartość a:
a = (ÅšT WÅš + V)-1ÅšT Wy.
Zadanie 4
Dla następujących punktów z płaszczyzny XY :
x -1 0 1
y 0 2 1
dopasować elipsę (wyznaczyć wektor parametrów a) o następującym równaniu:
y2 = a1x2 + a0,
korzystając z kwadratowego kryterium jakości. Wskazać wektor funkcji bazowych Ć(x).
RozwiÄ…zanie:
T
Wektor funkcji bazowych Ć(x) = 1 x2 macierz danych wejściowych i wektor wyjściowych
mają postać:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚1 0śł , y = ïÅ‚4śł
Åš = .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1 1 1
Następnie wyznaczamy następujące macierze:
1 1 1 3 2
ÅšT = , ÅšT Åš = ,
1 0 1 2 2
1 -1 0 1 0
(ÅšT Åš)-1 = , (ÅšT Åš)-1ÅšT = .
3 1 1
-1 -1
2 2 2
Ostatecznie wyznaczamy parametry elipsy:
4
a = (ÅšT Åš)-1ÅšT y =
-7
2
Elipsa ma zatem równanie:
7
y2 = - x2 + 4,
2
które możemy przekształcić do bardziej naturalnej postaci:
7 1
x2 + y2 = 1.
8 4
4