Metody systemowe i decyzyjne w informatyce
Kolokwium nr 2  6.06.2011
Zadadanie 1 (10pkt)
Czasy oczekiwania na kolejne żądania użytkownika systemu webowego modelowane są niezależnymi realizacjami
zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z parametrem a, p(t|a) = Exp(t|a), gdzie a > 0, t > 0. Dodatkowo
znany jest rozkÅ‚ad a priori parametru a, p(a) = Exp(a|²), gdzie a > 0, ² > 0. Zaobserwowano N niezależnych cza-
sów oczekiwań t = {tn}N . Dla parametru a znalez
ć rozkład a posteriori p(a|t), a następnie wyznaczyć estymator
n=1
maksymalnego a posteriori (MAP). Wskazówka: Gęstość rozkładu wykładniczego ma postać Exp(x|) = e-x,
gdzie x > 0,  > 0.
Zadanie 2 (10pkt)
Niech zmienna losowa K " {0, 1} oznacza czy kupiony na giełdzie rower jest kradziony. Prawdopodobieństwo
zakupu kradzionego roweru wynosi p(K = 1) = 0.3. Niech zmienne losowe M " {0, 1} i N " {0, 1} oznaczajÄ…
odpowiednio czy rower został przemalowany oraz czy da się odczytać numer ramy. A
ączne prawdopodobieństwa
tych dwóch zdarzeń w przypadku roweru kradzionego wynoszą odpowiednio: p(M = 0, N = 0|K = 1) = 0.5, p(M =
0, N = 1|K = 1) = 0.2, p(M = 1, N = 0|K = 1) = 0.2. Natomiast w przypadku roweru niekradzionego wynoszÄ…:
p(M = 0, N = 0|K = 0) = 0.1, p(M = 0, N = 1|K = 0) = 0.5, p(M = 1, N = 0|K = 0) = 0.1. Zaobserwowano,
że rower, który chcemy kupić, ma widoczne numery oraz został przemalowany. Wyznaczyć prawdopodobieństwo
p(K = 1|M = 1, N = 1) i na tej podstawie podjąć decyzję czy dany rower jest kradziony.
Zadanie 3 (10pkt)
Trójkątny obszar " na płaszczyz
nie opisany jest jako przecięcie trzech półpłaszczyzn:
" = {x " R2 : Gx + h 0}, gdzie G jest macierzÄ… o wymiarach 3 × 2, h jest wektorem o wymiarach 3 × 1.
Dany jest prostÄ…kÄ…t R = {x " R2 : a d" x1 d" b, c d" x2 d" d}. Chcemy znalez
ć prostokąt R o maksymalnym polu
zawarty w obszarze ". Sformułować wypukły problem optymalizacji, przyjmując a, b, c, d jako zmienne decyzyjne.
Uzasadnić, że sformułowany problem jest wypukły.
Zadanie 4 (10pkt)
Prosta l w przestrzeni trójwymiarowej przechodząca przez początek układu współrzędnych opisana jest równaniem
l = {x " R3 : Ax = 0}, gdzie A jest macierzÄ… o wymiarach 2 × 3. Dany jest także punkt z " R3. KorzystajÄ…c z
funkcji Lagrange a wyznaczyć najbliższy punkt do punktu z leżący na prostej l.
Wskazówka: W celu uproszczenia rachunków wykorzystać następujące własności:
2
"x x - z = 2(x - z) oraz "xT Ax = AT .
2
1