Miary dynamiki zjawisk  indeksy statystyczne
Dynamikę zjawisk, czyli ich rozwój w czasie, można mierzyć za pomocą indeksów statystycznych.
Dla ustalenia notacji, niech xt oznacza wielkość zjawiska x w momencie czasu t.
Indeksy dzielimy na:
1. przyrosty absolutne
a. jednopodstawowe
Przyrosty lub indeksy jednopodstawowe mówią o ile (lub w jakim stosunku) zmieniła się
wartość zjawiska w analizowanym okresie, wobec jego wartości z jednego, ustalonego
okresu.
Przyrosty absolutne jednopodstawowe mówią o ile jednostek wzrosła/spadła wielkość
zjawiska w analizowanym okresie, w stosunku do okresu bazowego (ustalonego).
"xn = xn - xj , gdzie j jest okresem bazowym.
j
b. łańcuchowe
Przyrosty lub indeksy łańcuchowe mówią o ile (lub w jakim stosunku) zmieniła się
wartość zjawiska w analizowanym okresie, wobec jego wartości z okresu poprzedniego.
Przyrosty absolutne łańcuchowe mówią o ile jednostek wzrosła/spadła wielkość zjawiska
w analizowanym okresie, w stosunku do okresu poprzedniego.
"xn = xn - xn-1
n-1
2. przyrosty względne
Mówią o ile procent zmieniło się zjawisko w analizowanym okresie, w stosunku do bazowego
(jednopodstawowe) lub poprzedniego (łańcuchowe).
a. jednopodstawowe
xn - xj
"'xn =
j
xj
b. łańcuchowe
xn - xn-1
"'xn =
n-1
xn-1
3. indeksy (wskaz
niki) dynamiki (indeksy indywidualne)
W zasadzie są to przyrosty względne powiększone o 1, czyli również informują o procentowej
zmianie analizowanego zjawiska.
a. jednopodstawowe
xn
xn =
j
xj
b. łańcuchowe
xn
xn =
n-1
xn-1
Przekształcenia indeksów:
1. zmiana podstawy w indeksach jednopodstawowych
Dajmy na to, że dysponujemy indeksami jednopodstawowymi o podstawie j. Zależy nam jednak
na indeksie o podstawie k:
xn xn
xn xj xn
j j
xn =
xk (rzeczywiÅ›cie: xk = xj Å" xk = xk = xn k )
k
j j
2. zmiana indeksów jednopodstawowych w łańcuchowe
Dajmy na to, że dysponujemy indeksami jednopodstawowymi o podstawie j. Zależy nam jednak
na indeksach łańcuchowych:
xn xn
xn xj xn
j j
xn =
xn-1 (rzeczywiÅ›cie: xn-1 = xj Å" xn-1 = xn-1 = xn n-1 )
n-1
j j
3. zmiana indeksów łańcuchowych w jednopodstawowe
Dajmy na to, że mamy indeksy łańcuchowe i chcemy z nich odtworzyć indeksy jednopodstawowe
o podstawie j. Mogą tu wystąpić dwa przypadki:
a. n > j :
n n
xj+1 xj+2 xn xn
xn = xi , rzeczywiÅ›cie: x = Å" Å"...Å" = = xn
" " i
j i-1 i-1 j
xj xj+1 xn-1 xj
i= j+1 i= j+1
b. m < j
1 1 1
1
xm = , rzeczywiście: = =
j j
xj = xm j
j
xm+1 xm+2 xj
xi xi
Å" Å"...Å"
" "
i-1 i-1 xm
xm xm+1 xj-1
i=m+1 i=m+1
Åšredniookresowe tempo zmian:
Mówi ono o ile średnio procent zmieniało się zjawisko z okresu na okres.
n
n
T = -1
"xi
i-1
i=1
Proszę zwrócić uwagę, że wzór ten ma sens, jeśli pierwszy z okresów oznaczamy  0 (wtedy x0 to
wartość zjawiska w pierwszym okresie). Jeśli ktoś przyjmie, że pierwszy okres to  1 , to pierwszy
wyraz pod znakiem iloczynu powinien być dla i = 2 , zaś stopień pierwiastka powinien wynosić n -1
(stopień pierwiastka równy jest ilości mnożonych elementów pod znakiem iloczynu).
Indeksy agregatowe (wskaz
niki dynamiki zjawisk złożonych)
Czasem zachodzi potrzeba analizy dynamiki nie tyle jednego zjawiska, ile agregatu zjawisk.
Przykładowo, producent kilku towarów chce poznać dynamikę ogólnej wartości swojej sprzedaży. Na
ogólną wartość sprzedaży w danym okresie wpływa ilość sprzedaży poszczególnych towarów oraz
ich cena w tym okresie  dynamika ogólnej wartości może więc zależeć od dynamiki ilości
sprzedawanych towarów lub od dynamiki cen tych towarów lub od obu tych czynników. W tym
sensie jest to dynamika zjawiska złożonego i potrzeba do niej trochę zmodyfikowanych narzędzi.
1. agregatowy indeks wartości
a a
"w "q p1i
W1 i=1 1i i=1 1i q11 p11 + q12 p12 + ... + q1a p1a
w1 = = = = ,
a
0
W0 a
"w "q p0i q01 p01 + q02 p02 + ... + q0a p0a
0i 0i
i=1 i=1
gdzie a oznacza ilość towarów wchodzących w skład indeksu, qcd to ilość towaru d w okresie c,
zaÅ› pcd to cena towaru d w okresie c.
2. agregatowe indeksy cen
Badają one, jaka jest dynamika cen. Z uwagi na to, przyjmują stałe ilości:
a
"q p1i
ci
i=1
P1 = , gdzie c  ustalony okres.
a
0
"q p0i
ci
i=1
Ponieważ ustalone ilości można przyjąć z okresu  0 lub z okresu  1 , obliczane są odpowiednio
indeksy Laspeyersa i Paaschego. Obliczany póz
niej indeks Fishera stanowi wypadkowÄ… tych
dwóch.
a. Laspeyersa
Ilości z okresu  0 :
a
"q p1i
0i
i=1
P1L =
a
0
"q p0i
0i
i=1
b. Paaschego
Ilości z okresu  1 :
a
"q p1i
1i
i=1
P1P =
a
0
"q p0i
1i
i=1
c. Fishera: P1F = P1L Å" P1P
0 0 0
3. agregatowe indeksy ilości
Badają one, jaka jest dynamika ilości. Z uwagi na to, przyjmują stałe ceny:
a
"q pci
1i
i=1
Q1 = , gdzie c  ustalony okres.
a
0
"q pci
0i
i=1
Ponieważ ustalone ceny można przyjąć z okresu  0 lub z okresu  1 , podobnie, jak w poprzednim
przypadku, obliczane są odpowiednio indeksy Laspeyersa i Paaschego, a póz
niej indeks Fishera.
a. Laspeyersa
Ceny z okresu  0 :
a
"q p0i
1i
L i=1
Q1 =
a
0
"q p0i
0i
i=1
b. Paaschego
Ceny z okresu  1 :
a
"q p1i
1i
P i=1
Q1 =
a
0
"q p1i
0i
i=1
F L P
c. Fishera: Q1 = Q1 Å"Q1
0 0 0
Indeksy Fishera cen i ilości pokazują jaki jest udział tych dwóch czynników w dynamice wartości
sprzedaży.