Semestr1 MECHANIKA BUDOWLI - Temat 1 /3.X.2010/
Linie wpływu w układach statycznie wyznaczalnych
Definicja linii wpływu
Linia wpływu wielkości statycznej to wykres, którego odcięte określają położenie ruchomej jednostkowej siły P =1, a
rzędne określają wartości tej wielkości.
Sporządzić wykres można dwoma sposobami:
1. poprzez napisanie równania linii wpływu i na tej podstawie sporządzenia wykresu
2. przewidując, że linia wpływu jest prostą wystarczy znalez
ć jej wartości w dwóch wybranych położeniach siły
jednostkowej (przy czym ważne jest, aby te wybrane punkty należały do przedziału ważności tej linii wpływu)
uwaga: linia przerywana oznacza tor jezdny i tylko dla toru jezdnego na konstrukcji kreślimy linie wpływu
Zadanie powyższe rozwiążemy sposobem pierwszym.
W tym celu należy obrać układ współrzędnych, w którym zapiszemy równania linii wpływu. Dobór może być dowolny i
od odpowiednirgo doboru zależy tylko łatwość zapisu równania linii wpływu. Sam wykres w sposób oczywisty nie
może zależeć od wyboru układu współrzędnych.
Dla reakcji podporowych zazwyczaj zależności funkcyjne obowiązują w całym zakresie zmienności x  położenia
ruchomej siły.
Zapisujemy równanie równowagi dla całej belki względem punktu B
( )( )
"M B = 0 Ò!-VA Å" 2 +1 2 - x = 0
2
( - x
)
lwVA x = dla x" -0.8, 2.4
( )
( )
2
2 - x 2 - x
-1=
"Y = 0 Ò! RB + ( ) 0 RB = - ( ) +1 = x
2 22
x
lwRB x = dla x" -0.8, 2.4
( )
( )
2
X = 0 Ò! H = 0
" A
lwH x = 0 dla x " -0.8, 2.4
( )
( )
A
W celu określenia linii wpływu w punkcie L należy przeciąć konstrukcję w tym punkcie na dwie rozdzielne części i
rozważyć równowagę dowolnej części (tej która jest łatwiejsza). W obu przypadkach rozważymy równowagę części
pierwszej. Przy tym należy rozważyc dwa przedziały zmienności x odpowiadające położeniu ruchomej siły:
x " -0.8, -0.4 ruchoma siła nad częścią pierwszą x " -0.4, 2.4 ruchoma siła nad częścią drugą
() ( )
W pierwszym przypadku wybieramy część I jako łatwiejszą do analizy i zapisujemy równania równowagi dla tej części
( )(-x lwM x = -0.4 + x dla x " -0.8, -0.4
) ( )
( )
"M L = 0 Ò! ML +1 + 0.4 = 0 L
Wartości momentów dla końców przedziału M 0 = -0.4 M 0.4 = 0
( ) ( )
L L
lwQL x = -1.0 dla x " -0.8, -0.4
( )
( )
"Y = 0 Ò! QL +1= 0
Wartości siły poprzecznej dla końców przedziału QL 0 = -1 QL 0.4 = -1
( ) ( )
Jeśli równanie momentów jest kłopotliwe w zadanym układzie współrzędnych, to korzystamy ze sposobu drugiego ,
czyli wyznaczenia dwóch punktów prostej.
W tym celu analizujemy dwa skrajne położenia siły P=1
pierwsze drugie
( ) ( ) ( ) ( )
"M L = 0 Ò! M +1Å" 0.4 = 0 M 0 = -0.4 "M L = 0 Ò! M = 0 ML 0.4 = 0
L L L
( ) ( )
"Y = 0 Ò! QL +1= 0 QL 0 = -1 "Y = 0 Ò! QL +1= 0 QL 0.4 = -1
W drugim przypadku wybieramy również część I jako łatwiejszą do analizy i zapisujemy równania równowagi dla tej
części
( )
"M (L) = 0 Ò! M = 0 lwML (x) = 0 dla x " -0.4, 2.4
L
Wartości momentów dla końców przedziału ML
(-0.4 = 0 ML 2.4 = 0
) ( )
lwQL x = -1.0 dla x " -0.4, 2.4
( )
( )
"Y = 0 Ò! QL +1 = 0
Wartości siły poprzecznej dla końców przedziału QL
(-0.4 = 0 QL 2.4 = 0
) ( )
W celu określenia linii wpływu w punkcie K należy przeciąć konstrukcję w tym punkcie na dwie rozdzielne części i
rozważyć równowagę dowolnej części (tej która jest łatwiejsza). Należy rozważyć dwa przedziały zmienności x
odpowiadające położeniu ruchomej siły:
x " -0.8, 0.6 ruchoma siła nad częścią pierwszą x " 0.6, 2.4 ruchoma siła nad częścią drugą
() ()
II II
W pierwszym przypadku wybieramy część II jako łatwiejszą do analizy i zapisujemy równania równowagi dla tej
części
1.4 Å" x
x =1.4 Å"lwRB = dla x " -0.8, 0.6
( )
( )
"M (K ) = 0 Ò! M -1.4 Å" RB = 0 lwM K
K
2
Wartości momentów dla końców przedziału M M 0.6 = 4.2
(-0.8 =-5.6
) ( )
K L
x
( )
()
"Y = 0 Ò! QK + RB = 0 lwQK x = -lwRB = - dla x " -0.8, 0.6
2
Wartości siły poprzecznej dla końców przedziału QL QL 0.6 = -0.3
(-0.8 = 0.4
) ( )
W drugim przypadku wybieramy również część II jako łatwiejszą do analizy i zapisujemy równania równowagi dla tej
części
II
( )
"M (K ) = 0 Ò! M +1(x - 0.6) -1.4 Å" RB = 0 lwMK (x) =1.4 Å" RB -1Å"(x - 0.6) dla x " 0.6, 2.4
K
0.6
WartoÅ›ci momentów dla koÅ„ców przedziaÅ‚u M 0.6 =1.4 Å" = 4.2 M 2.4 =1.4 Å" 2.4 -1Å" 2.2 =1.16
( ) ( )
K K
2
x
dla x " 0.6, 2.4
( )
( )
"Y = 0 Ò! QK + RB -1 = 0 lwQK x = -lwRB +1 = - +1
2
Wartości siły poprzecznej dla końców przedziału QK 0.6 = 0.7 QK 2.4 = -0.2
( ) ( )
WYKRESY
Reakcja jest dodatnia, gdy jest zgodna z zaznaczonym na rysunku zwrotem
 lwVA
Rzędna na wykresie oznacza wartość reakcji dla siły jednostkowej ustawionej dokładnie w tym punkcie
lwRB
Moment jest dodatni gdy rozciąga włókna dolne i wtedy narysowany jest po stronie włókien dolnych.
Ujemny rozciąga włókna górne i jest rysowany po stronie włókien górnych.
lwML
Linia wpływu momentów jest ciągła
lwQL
Linia wpływu siły poprzecznej ma skok jednostkowy nad punktem w którym badamy siłę poprzeczną
lwMK
lwQK
Zadania na kartkówkę:
Szukane: wykres lwMK , lwQK .
Szukane: wykres lwMK , lwQK , lwRA , lwVB .
OBWIEDNIA M - PROJEKT
Po belce porusza się dany zestaw sił:
Tworzymy wykresy linii wpływowych M dla każdego punktu zaznaczonego na belce. Dla ułatwienia punkty
rozmieszczone sÄ… co 1m.
Pamiętamy , że z definicji każda linia wpływowa jest określona dla ruchomej siły jednostkowej .
Na danym wykresie nanosimy zestaw sił w taki sposób aby wywołać ekstremalne momenty.
M1+ = 0
M1- = 0
+
M2 = 0
-
M2 =-80 Å"1 =- 80kNm
+
M3 = 0
-
M3 =-80 Å" 2 =-160kNm
+
M4 = 0
-
M4 =-80 Å"3 -10 Å"1 =-250kNm
+
M5 = 80 Å" 0.8 +10 Å" 0.4 = 68kNm
-
M5 =-80 Å" 2.4 -10 Å" 0.8 =-200kNm
+
M6 = 80 Å"1.2 +10 Å" 0.4 =100kNm
-
M6 =-80 Å"1.6 -10 Å" 0.6 =-134kNm
+
M7 = 80 Å"1.2 +10 Å" 0.4 =100kNm
-
M7 =-80 Å"1.2 -10 Å" 0.4 =-100kNm
+
M8 = 80 Å" 0.8 +10 Å" 0.4 = 68kNm
-
M8 =-80 Å" 0.8 =-64kNm
+
M9 = 0
-
M9 =-80 Å"1.0 =-80kNm
+
M10 = 0
-
M10 = 0
OBWIEDNIA MOMENTÓW
kNm
Projekt nr 1
Sporządzić obwiednię momentów dla belki prostej
Sporządzić linie wpływu dla ramy (wybrać przykład 152-157ze swoimi wymiarami)
Sporządzić linie wpływu dla kratownicy (165-169 ze swoimi wymiarami)
Dla ćwiczenia podane są zadania z odpowiedziami
Uwaga:
ODPOWIEDZI: