Modelowanie układów mechatronicznych w środowiskach obliczeniowych WYKA
AD
Opracowali z notatek
Piotr Zamorski
Piotr Papaj
WYKA
AD 1
Modelowanie ma na celu przeprowadzenie symulacji na układach dynamicznych.
Układy dynamiczne  są układami w których wielkości opisujące te układy ulegają chwilowym
zmianom. Wielkość jest cechą , którą można wyrazić jednostkowo i wyznaczyć ilościowo.
Symulacja  eksperyment numeryczny prowadzony na pewnego rodzaju modelu  matematycznym ,
informatycznym, lub rzeczywistym, celem określenia znaczenia zmian wartości parametrów lub
wartości zmiennych objaśniających dla wartości zmian prognozowanych.
Do przeprowadzenia symulacji zazwyczaj konieczne jest zbudowanie modelu matematycznego
symulowanego obiektu . Symulacja zastępuje wykonanie eksperymentu na badanym obiekcie.
Model
 Taki dający się pomyśleć lub materialnie zrealizować układ, który odzwierciedlając lub
odtwarzając przedmiot badania zdolny jest zastępować go tak, że jego badanie dostarcza nam nowej
wiedzy o przedmiocie.
Model to zatem teoretyczny opis badania obiektów , który charakteryzuje się cechami
- jest pewnym uproszczeniem , idealizacją rzeczywistości
- jest w sensie pewnego kryterium zbieżny z rzeczywistością
- jest na tyle prosty, że możliwa jest jego analiza dostępnymi metodami obliczeniowymi
- jego analiza dostarcza nam nowej informacji o obiekcie badań
Modelowanie zjawisk i procesów dynamicznych może posłużyć :
- próbie zrozumienia istoty procesu w celu predykcji jego przebiegu w wyniku zmiennych warunków
przy różnych wartościach parametrów.
- umożliwia badanie cech jakościowych procesu np. stabilności , sterowalności , obserwowalności ,
które mają ogromne znaczenie przy rozpatrywaniu go w dłuższym przedziale czasu .
- umożliwienie sztywnego sterowania procesem poprzez wpływanie w określony sposób na jego
parametry wewnętrzne .
- zastosowanie modelu w systemie adaptacyjnym zamkniętym wnoszącym zmianę procesu w
kierunku pożądanym przez użytkownika.
Schemat badania własności dynamicznych układu rzeczywistego:
UKA
AD RZECZYWISTY
Modelowanie fizyczne
Przygotowanie danych do
MODEL FIZYCZNY
programu komputerowego
Modelowanie dyskretne
MODEL DYSKRETNY
Modelowanie matematyczne
MODEL MATEMATYCZNY
DANE DO OBLICZEC

Programowanie
PROGRAM KOMPUTEROWY
Wykonanie obliczeń
WYNIKI OBLICZEC

Najczęściej stosowane założenia upraszczające polegają na :
- uproszczeniu kształtu geometrycznego rozpatrywanego układu
- założeniu jednorodności materiału poszczególnych elementów rozpatrywanego układu
- przyjęcie pewnych elementów rozpatrywanego modelu jako brył idealnie sztywnych
- przyjęciu pewnych elementów modelu jako nieważkie
- założeniu liniowych charakterystyk właściwości fizycznych modelu
- założeniu że wielkość parametrów fizycznych układu rzeczywistego są niezmienne w czasie
- pominięcie mało istotnych oddziaływań zewnętrznych między rozpatrywanym układem a
otoczeniem
- pominięcie mało istotnych oddziaływań wewnętrznych między poszczególnymi elementami układu
- zastąpieniu procesów stochastycznych jakie zachodzą w układzie rzeczywistym procesami
zdeterminowanymi.
Symulacja układów dynamicznych
1) Wyprowadzenie równań dynamiki dla utworzonego modelu fizycznego , implementacja
numeryczna i przeprowadzenie symulacji
2) Budowa modelu układu rzeczywistego w postaci reprezentacji symbolicznej np. Working
model, SimMechanics (Matlab)
3) Przeprowadzenie symulacji układu na podstawie modeli 2D, 3D utworzonego w specjalnym
programie np. Inventor, ADAMS
Postać równań ruchu stosowanych podczas badania dynamiki układów:
- układy o stałej konfiguracji  symulacja drgań + + =
- układy o zmiennej konfiguracji  symulacja ruchu =
= = , , + ,
, = 0
Stopnie swobody modeli układów dyskretnych:
lasyfikacja więzów:
- więzy skleronomiczne
- więzy reonomiczne
- więzy holonomiczne  więzy skleronomiczne + reonomiczne
- więzy nieholonomiczne
Wykład 2
Równanie ruchu zmiennych zależnych
Sformułowanie polega na rozbiciu układu będącego układem nieswobodnym na układ składający się z
członów swobodnych: Dla którego równania ruchu mają postać:
=A(p)v
M(p) + h(p,v) = f(p, v, t) Są zmiennymi stanu ruchu układu
Współrzędne położenia: p = [ p1, & , pn]T Składowe prędkości: v = [v1, & , vn]T
Nałożenie na układ swobodny więzów w miejscu występowania par kinematycznych członów,
powoduje że zmienne stają się zależne, a równanie ruchu układu swobodnego uwzględnia reakcje
więzów w formie mnożników Lagrange a  = [1, & , r]T i zapisuje się w postaci równania ruchu
nieswobodnego:
M(p) + h(p, v) = f(p, v, t) + CT (p, t)
Równanie to uzupełnia się o równanie więzów, odpowiadające liczbie mnożników Lagrange a
m jako ograniczenia nałożone na prędkości układu:
x (p, t) = 0
CNH (p, t)v  �NH (p, t) = 0
Ostatecznie równanie ma postać:
=A(p)v
M(p) + h(p, v) = f(p, v, t) + CT (p, t)
x (p, t) = 0
CNH (p, t)v  �NH (p, t) = 0
Ze względu ma komplikację polegające na wyznaczeniu wartości początkowych dla mnożników
Lagrange a równania więzów zastępuje się ich różniczką względem czasu, czyli więzami
kinematycznymi II rzędu, wyróżniających m ograniczej nakładanych na przyspieszenie układu.
Równanie ruchu będące równaniami różniczkowymi-algebraicznymi przyjmują wówczas postać:
=A(p)v
M(p) + h(p, v) = f(p, v, t) + CT (p, t)
C(p, t = �(p, v, t)
*przy czym p i v realizują warunki równań więzów niższych rzędów
x (p0, t0) = 0
C(p0, t0)v0 - � (p0, t0) = 0
Eliminacja jawna
Po wyliczeniu kilku przekształceń otrzymamy równanie ruchu w postaci:
 =A(p)v
M + h = f + CT (CM-1 CT)-1 [� - CM-1 (f - h)]
Uwagi - Wynikiem stosowania jawnej eliminacji mianowników(?) Lagrange a otrzymujemy 2n równań
różniczkowych zwyczajnych względem zmiennych p i v.
Metoda ta jest rzadko wykorzystywana ze względu na skomplikowane działania macierzowe i
problemy podczas wyznaczania mnożników Lagrange a układów składających się z dużej liczby
członów.
Eliminacja niejawna
Macierzowa reprezentacja równania ruchu:
=A(p) (*)
- = - !
�
0 
Przekształcając równanie powyższe do postaci:
= G-1
g = g (p, v, t) (**)

Równania (*) i n pierwszych równań (**) odpowiadać będzie Zn równań różniczkowych zwyczajnych I
stopnia względem p i v a pozostałe m równań (**) mnożnikom  w zależności od aktualnych
zmiennych stanu ruchu.
Uwagi
Metoda ta jest powszechnie stosowana ze względu na łatwość formułowania równań ruchu i
możliwość automatyzacji tego procesu.
Eliminacja rzutowa
Metoda przedstawiająca geometryczne równania ruchu układu nieswobodnego. Układ nieswobodny,
sprowadza się do punktu materialnego znajdującego się w n-wymiarowej przestrzeni układu, a
dynamicznie równania ruchu układu nieswobodnego przedstawia się wektorowo.
Równanie ruchu układu nieswobodnego, przedstawione w postaci wektorowej:
M(p)v + h(p, v) = f(p, v, t) + CT (p, t)
�!

b = f + r
b (b = M v +h)

f (f) i r (r = CT )
Siła dynamiczna zrównoważona na & . równa się sile czynnej i reakcji więzów jest adekwatna z
ograniczeniami nałożonymi przez więzy b = fc + r
Jeżeli siła dynamiczna zrzutowana będzie na kierunek styczny to odpowiadać będzie dynamicznemu
równaniu ruchu. Oswobodzenie więzów od reakcji , równań ruchu ma postać =
Podsumowanie :
- Przedstawione metody modelowania układów wieloczłonowych różnią się sposobem otrzymywania
równań ruchu.
- Modelowanie w zmiennych zależnych cechuje się prostotą formułowania równań ruchu a proces
ten można zautomatyzować. Jednakże wynikiem tego są duże wymiary generowanych równań ruchu
w postaci równań różniczkowo algebraicznych co znacząco obniża dokładność z powodu dużego
wymiaru równań. Mogą także wystąpić nałożenia więzów, co powoduje zastosowanie dodatkowych
algorytmów w celu ich niwelowania. Ostatecznie po wybraniu odpowiedniej metody eliminacji
mnożników, wynikiem modelowania w zmiennych zależnych są równania w postaci równań
różniczkowych zwyczajnych.
- Modelowanie w zmiennych niezależnych jest z założenia uwolnione od reakcji więzów a
otrzymywane równania mają minimalny wymiar. Rozwiązywanie otrzymanych równań ruchu jest
bardziej wydajnie i dokładne niż w przypadku zmiennych zależnych. Jednakże większy wkład pracy
potrzebny jest na etapie modelowania dla każdego układu.
( przykład pominięty ze względu na 3 strony samych popierdolonych wzorów)
WYKA
AD 3
Modelowania układu elektromechanicznego.
M (t) + (Cv + Cg) (t) + Kq(t) = Q układ mechaniczny
Li + Ri = U Mel = iT Li układ elektryczny
Gdzie: M, Cv, K, Cg, macierze bezwładności, tłumienia, sztywności i efektu żyroskopowego, Mel 
moment elektromagnetyczny.�1-prędkośc kątowa wirnika.
Postać równań ruchu opisują zjawiska dynamicznego układu
Układy o stałej konfiguracji  symulacja drgań
M + C + kq = Q
Układy o zmiennej konfiguracji  symulacja ruchu =
= = , , + ,
, = 0
Metody układania dynamicznych równań ruchu:
- metody sił: równanie Newtona, równanie d Alamberta, prawa Kirchoffa,
- metody energetyczne: równania Lagrange a II rodzaju, analogie elektromechaniczne
Równanie drgań elektrycznych szeregowego obwodu LRC
Równanie drgań elektrycznych równoległego obwodu LRC
Podobieństwa i analogie
Układ mechaniczny I elektryczny układ analogii II elektryczny układ analogii
Siła P Napięcie U(t) Prąd I(t)
Przemieszczenie x A
adunek q Strumień �
Prędkość v Prąd I Napięcie U
Masa m Indukcyjność L Pojemność C
Współ. tłumienia c Oporność R Przewodność 1/R
Sztywność k Odwro. pojemności 1/C Odwro. Indukcyjności 1/L
Układ mechaniczny
Ek = mv2 = m 2 Ep = V = kx2 Ed = D = cu2 = c 2
I układ analogii elektrycznych
Ek = E1e = LI2 = L 2 = Wm Ep = V1e = q2 = We Ed = D1e = RI2 = R 2
II układ analogii elektrycznych
Ek = E2e = CU2 = C 2 = We Ep = V2e = �2 = Wm Ed = D2e = U2 = 2
Czujnik sejsmiczny
Model matematyczny
Dynamika układów wieloczłonowych z zastosowaniem w badaniach w biomechanice i dynamice
pojazdów.
a) rodzaje współrzędnych - współrzędne kartezjańskie
- współrzędne naturalne
- współrzędne względne
Współrzędne względne  położenie ciała jest określone przez podanie współrzędnej kartezjańskeij
qi = [rTpT]Ti = [x y z e0 e1 e2 e3] Ti
Współrzędne zastosowane do opisu układu są zależne od współrzędnej kartezjańskiej
Zalety  mała liczba współczynników i równań więzów
-równania ruchu są równaniami różniczkowymi
Wady  złożone obliczenia
-nieliniowy układ
Współrzędne kartezjańskie  położenie każdego ciała jest określone przez współrzędne kartezjańskie
względem globalnego układu odniesienia
qi = [rTpT]Ti = [x y z e0 e1 e2 e3] Ti
Zalety  łatwe wykonywanie obliczeń z wykorzystaniem komputera
- równania ze średnim stopniem złożoności
Wady  duża liczba równań różniczkowych
-duża liczba współrzędnych
Współrzędne naturalne  położenie pojedynczego ciała jest określone przez współrzędną naturalne
będące globalnymi współrzędnymi kartezjańskimi układu punktów oraz wersorów bazowych ciała
Zalety  prosta forma równań
- brak niewygodnych w opisie ruchów obrotowych współrzędnych kątowych
Wady  bardzo duża liczba współrzędnych (?)
- duża liczba ..()
"
Moment siły względem środka masy : 
siły względem środka masy :
"
- wersor momentu siły
ersor momentu siły
 moment siły � względem środka masy
względem środka masy
Układy wielu ciał
Co trzeba umieć ! - kąty Eulera, macierz transformacji, kąty bryant, parametry Eulera, przypadki
kąty Eulera, macierz transformacji, kąty bryant, parametry Eulera, przypadki
kąty Eulera, macierz transformacji, kąty bryant, parametry Eulera, przypadki
osobliwości współrzędnych obrotowych, -> siła tłumiąca, rozpoznawanie kształtu, model Hertza,
osobliwości współrzędnych obrotowych, > siła tłumiąca, rozpoznawanie kształtu, model Hertza,
element tłumiący
Siły działające na układ
- siły skupione
- momenty skupione
-siły generowane przez elementy sprężysto tłumiące
siły generowane przez elementy sprężysto tłumiące
Dla każdej przyłożonej siły niezbędne jest aby zweryfikować  idealne współrzędne przyłożonej siły&
niezbędne jest aby zweryfikować idealne współrzędne przyłożonej siły&
WYKA
AD OSTATNI
Poprzez system mechaniczny rozumiemy układ ciał ( ogniw) z których część z nich lub wszy
rozumiemy układ ciał ( ogniw) z których część z nich lub wszy
rozumiemy układ ciał ( ogniw) z których część z nich lub wszystkie
mogą się przemieszczać względem siebie
mogą się przemieszczać względem siebie
Poszczególne systemy mechaniczne mogą znacznie od siebie odbiegać. Przykładem najprostszych z
nich może być zwykłe wahadło , powszechnie wykorzystywany mechanizm czworoboku
przegubowego bądz
mechanizm korbowo wodzikowy .
Układ ciał połączonych ruchowo stanowi łańcuch kinematyczny
A
ańcuch kinematyczny jest zbiorem członów i par kinematycznych
Wyróżniamy łańcuchy kinematyczne otwarte i zamknięte
Para kinematyczna jest to połączenie ruchowe dwóch członów
Para kinetyczna odbiera część stopni swobody członu przez nią związanych
Pary kinetyczne dzieli się na klasy w zależności od liczby stopni swobody oraz w zależności od tego
jakie rodzaje ruchu.
Przez klasę pary kinetycznej  i (i=1,2& 5) rozumie się liczbę odebranych stopni swobody jednemu
członowi przez współpracujący z nim drugi człon
- klasę pary kinematycznej określamy z zależności i = 6-s gdzie liczba podstawowych stopni swobody
W celu określenia klasy pary kinetycznej należy unieruchomić myślowo jeden z członów tworzących
parę i odliczyć pozostałe drugiemu członowi stopnie swobody.
Jeżeli człony stykają się powierzchniowo ( na rys płaskim wzdłuż linii lub punktowo) to taką parę
nazywamy niższą
Jeżeli stykają się liniowo lub punktowo ( na rys płaskich tylko punktowo lub taką parę nazywamy
wyższą.
Kinetyka łańcuchów otwartych - Współrzędne Hantenbarga Denavita
Zakładamy że z każdą parą obrotową & ..o numerze i wiąże się lokalny układ współrzędnych xi,yi,zi
Oś xi przecina prostopadle oś zi+i związaną z następną parą
Oś yi stanowi dopełnienie osi xi , xi do prawoskrętnego układu współrzędnych.
Układ nieruchomy związany z ostoją oznaczamy xoyozo
Przejście do układu xi+1 , yi+1 , zi+1 do układu xi,yizi związane jest wtedy zawsze z czterema
przekształceniami elementarnymi wykonywanymi w określonej kolejności
1) Obrót wokół osi zi+1 o kąt Ń tak aby oś xi+1 ..
2) Przesunięcie równoległe wzdłuż osi zi+1 o odległość d tak aby os xi+1 pokryła się z osią xi
3) Przesunięcie równoległe wzdłuż osi xi+1 (xi) o odległość l tak aby pokryły się ze sobą początki
obu układów współrzędnych
4) 4) obrót wokół osi xi+1 (xi) o kąt ą tak aby oś zi+1 pokryła się z osią zi a oś yi+1 pokryła się z osią
yi
4 współrzędne : Ń, d, l i ą nazywa się współrzędnymi Hanterberga Denavita ( współrzędnymi HD)
Tworzenie macierzy przejścia i macierzy orientacji
Zgodnie z wzorem Ź
= Ź
ek& Ź
e2 Ź
e1 macierz przejścia, biorąc pod uwagę 4 opisane wcześniej
przekształcenia będą miały następującą postać : Ź
=Rx(ą)T(l,0,d)Rz)Ń)
Wyznaczając zaś cały otwarty łańcuch kinetyczny współrzędnymi HD& ..
Dla każdych dwóch kolejnych par kinetycznych można zbudować macierz przejścia z układu xp yp zp
związanego z ostatnią parą kinetyczną (ostatnią w danej gałęzi drzewa) do nieruchomego układu.
Przesunięcie równoległe układu współrzędnych
P[x y ]=T(" , " )p[x,y]- warunek przesunięcia równoległego układu.
Trzy liczby tzn. dwie współrzędne oraz jedynkę zastępowane są współrzędnymi jednorodnymi
(homogenicznymi)
Wyprowadzenie współrzędnych jednorodnych , wymaga aby macierz obrotu R została rozszerzona:
0
= - 0
0 1
W celu uogólnienia powyższych zagadnień na przypadek przestrzenny należy zastosować 4
współrzędne jednorodne x,y,z i 1
Macierz przestrzennego przesunięcia równoległego układu :
1 0 0 -"
" , " , " = 0 1 0 -"
0 0 1 -"
0 0 0 1
Przesunięcie równoległe układu współrzędnych oraz obroty wokół 3 osi układu nazwiemy
przekształceniami elementarnymi
Przekształcenia elementarne można składać Ź
= Ź
ek�& � Ź
e2 � Ź
e1
Gdzie Ź
oznacza przekształcenie będące wynikiem złożenia k przekształceń elementarnych
p[x ,y ,z ] = Ź
p[x,y,z] gdzie Ź
= Ź
ek & Ź
e2 , Ź
e1 jest macierzą przejścia , będącą iloczynem ( w kolejności
 od tyłu ) macierzy przekształceń elementarnych.
Translacja wektora
Rozpatrzmy wektor, który zaczepiony jest w początku układu xyz, a jego koniec leży w punkcie p.
Aby znalez
ć odpowiedni wzór transformujący współrzędne wektorów należy utworzyć macierz
podobną do macierzy przejścia, ale mnożąc ją jedynie macierzą obrotów i pomijając macierz
translacji. & ..
Układy dwuwymiarowe  współrzędne uogólnione q=[ $]
$1
Współrzędne bezwzględne q=
$2
$3
Współrzędne kartezjańskie q=[x1,y1$1, x2,y2$2, x3,y3$3]
Współrzędne Współrzędne Współrzędne
uogólnione bezwzględne kartezjańskie
Ilość współrzędnych Minimum średnia duża
Ilość wzajemnych zależności brak Średnia Duża
brak Duża
algebraicznych
Otrzymane równania ruchu trudne Średnia trudność A
atwe
trudne A
atwe
Otrzymanie pochodnych trudne Średnia trudność A
atwe
trudne A
atwe
równań ruchu
Stopień nieliniowości brak Średni niski
brak niski
Wydajność numeryczna Wydajna Wydajna Średnio wydajna
Wydajna Średnio wydajna
Komputerowa synteza trudna Relatywnie trudna łatwa
trudna łatwa
równań
Zadanie programowania liniowego ZPL  jest to zadanie w którym definiowane się funkcje celi i
Zadanie programowania liniowego ZPL jest to zadanie w którym definiowane się funkcje celi i
ograniczenia są funkcjami liniowymi. W przeciwnym przypadku jest to zadanie programowania
ograniczenia są funkcjami liniowymi. W przeciwnym przypadku jest to zadanie programowania
ograniczenia są funkcjami liniowymi. W przeciwnym przypadku jest to zadanie programowania
nieliniowego.
- jeżeli funkcje ograniczeń są liniowe a funkcja celu
jeżeli funkcje ograniczeń są liniowe a funkcja celu
Metody numeryczne są w stanie znalez
ć miejsca zerowe funkcji $ . Jednak w zależności od
Metody numeryczne są w stanie znalez
ć miejsca zerowe funkcji x 0. Jednak w zależności od
metody charakteryzują & ..
Szczegółowa analiza badanego układu jest wstępem do właściwej analizy kinetycznej czy dynamicznej
Szczegółowa analiza badanego układu jest wstępem do właściwej analizy kinetycznej czy dynamicznej
systemu. Znajomość stopni swobody mechanizmu może być przydatne w procesie formułowania
systemu. Znajomość stopni swobody mechanizmu może być przydatne w procesie formułowania
systemu. Znajomość stopni swobody mechanizmu może być przydatne w procesie formułowania
równań ruchu.
Często zdarza się, że obrazowe przedstawienie mechanizmu może być mylące. Kilkoro węzłów może
Często zdarza się, że obrazowe przedstawienie mechanizmu może być mylące. Kilkoro węzłów może
Często zdarza się, że obrazowe przedstawienie mechanizmu może być mylące. Kilkoro węzłów może
ograniczać układ.
Stopnie swobody układu
- liczba el * 3 stopnie swobody = 15 niewiadomych = 12 niewiadomych
= 12 niewiadomych
- liczba par obrotowych * 2 równania = 12 =8
liczba par obrotowych * 2 równania
- liczba przesuwnych =0 =0
- liczba el Uz * 3 równania = 3  > 15 równań = 3 ->11 równań
>11 równań
Brak rozwiązania 1 stopień swobody
1 stopień swobody