GR A
II Zasada Dynamiki  Ruch postępowy
II zasada
Ciało, na które działają stałe siły, porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z
przyspieszeniem a, którego wartość i kierunek są określone stosunkiem siły wypadkowej F do masy
ciała m.
lub
Tempo zmiany pędu ciała jest równe sile wypadkowej działającej na to ciało.
r�
r� r�
r�
Fwyp
r� r� d(mv) dp
a =� czyli Fwyp =� ma =� =�
m dt dt
II zasadę dynamiki Newtona można zapisać za pomocą pędu następująco
r�
v�
r�
dp d r� dv r�
gdy m =� const F =� =� (mv) =� m =� ma
dt dt dt
Układy o stałej masie
r�
v�
d r� r� dm dv r� dm r�
gdy m ą� const F =� (mv) =� v +� m =� v +� ma
dt dt dt dt
Układy o zmiennej
masie,np.rakieta
2) Przyspieszenie w ruchu obrotowym
1. Energia kinetyczna w ruchu postępowym
1
Ek =� mv2
2
3)Energia kinetyczna w ruchu obrotowym
E=�I�2
4) Moment Pędu:
Ad. 2. Dynamika ruchu obrotowego
Moment pędu cząstki (ta sama rola jak pęd)
r�
r� r� r�
p =� mv a L =� Iw�
Cząstka o masie m, pędzie p w odległości r od początku układu współrzędnych 0 (rys. 4).
Moment pędu cząstki względem pkt. 0, ozn. L i definiujemy
r�
y Rys. 4
r� r�
L =� r �� p
L
L =� rpsinq�
� - kąt między r i p
r  położenie cząstki wzgl. wybranego
inercjalnego układu odniesienia
Wektor L - prostopadły do płaszczyzny x
0
r
utworzonej przez wektory r i p (definicją
p
iloczynu wektorowego) (rys. 4). z
m �
r�
r� r�
L ^� r, p
Moment pędu i moment siły są wielkościami zdefiniowanymi w podobny sposób.
5) Prawo Powszechenj Grawitacji:
Ad.2. Prawo powszechnego ciążenia
Prawo powszechnego ciążenia (stosuje się do wszystkich sił grawitacyjnych)
(Newtona)
Dwa punkty materialne o masach M i m oddziałują na siebie (przyciągają się)
wzajemnie siłą F:
M
Mm
r = |r|
F =� G
m
2
r
F
F
lub wektorowo
Rys. 2
r�
Mm r�
F =� -�G r
r3
gdzie
r - odległość punktów materialnych
G - stała grawitacji (wyznaczona przez Cavendisha)
6)Natężenie pola elektrycznego - dla kuli ( wzór, wykres E=f(r))
Całkowity strumień przechodzący przez powierzchnię S można obliczyć jako sumę
przyczynków od elementów powierzchni
f� =�
��ED�S
powierzchn
ia
Suma ta przedstawia całkę powierzchniową
f� =� E d S
��
S
Obliczmy teraz strumień dla ładunku punktowego Q w odległości r od niego.
W tym celu rysujemy kulę o promieniu r
wokół ładunku Q i liczymy strumień (liczbę
linii przechodzących przez powierzchnię).
r
E
Q
Q Q
ć�k ��(4p�r2) =� 4p�kQ =� ,
f� =� E(4p�r2) =�
�� ��
r2 e�0
Ł� ł�
1 1
k =� �� =� 4p�k
4p�e�0 e�0
Otrzymany strumień nie zależy od r, zatem strumień jest jednakowy dla wszystkich r.
Całkowita liczba linii wychodzących od ładunku jest równa
Q/e�0 i linie te biegną do nieskończoności.
7. Kontrakcja długości
l0=l0 " , l0 długość poruszającego
się ciała, l0 długość ciała w spoczynku
�=v/c
8.Masa Relatywistyczna:
gdzie:
mr  masa relatywistyczna,
p0  zerowa (czasowa) składowa czteropędu,
Er  energia relatywistyczna,
c  prędkość światła.
9.Ruch Harmoniczny Prosty:
1. Ruch harmoniczny prosty
równanie: m�d2x/dt2+kx=0,
rozwiązanie: x=Acos(�t+�)
10. Twierdzenie o pracy i energii:
Ad. 4. Energia kinetyczna i twierdzenie o pracy i energii
Zakł., że wypadkowa sił działających na przedmiot nie jest równa zeru, tzn.
przedmiot jest przyspieszany (lub działała jedna niezrównoważona siła).
Najprostszy przypadek - działanie stałej wypadkowej siły F na ciało o masie m,
która nadaje jej stałe przyspieszenie a (F = const, a = const).
Zakładamy, że ciało porusza się w kierunku osi x (x - kierunek F i a), wtedy
v -� v0
v =� v0 +� at �� a =� ,
t
v0  prędkość początkowa
at2 v0 +� v
v  prędkość końcowa
x =� v0t +� �� x =� t
2 2
Zatem praca wykonana wynosi
v -� v0 v +� v0 1 1
2
W =� F x =� max =� m �� t =� mv2 -� mv0 (*)
t 2 2 2
Energia kinetyczna Ek - jedną drugą iloczynu masy ciała przez kwadrat
jego prędkości.
1
Ek =� mv2
2
Z równania (*) wynika, że
Praca wykonana przez siłę wypadkową F działającą na ciało jest równa
zmianie energii kinetycznej tego ciała.
W =� Ek -� Ek =� D�Ek
Twierdzenie o pracy i energii
0
Z twierdzenia wynika, że
Jednostki pracy i energii są takie same.
Gdy siła wypadkowa zmienia się co do wielkości (lecz ma stały kierunek)
wtedy praca wykonana przez siłę wypadkową przy przesunięciu cząstki od x0
do x wynosi
x
r�
r�
W =� Fds =�
�� ��Fdx
x0
z drugiej zasady dynamiki Newtona mamy, że F=ma, a przyspieszenie a
można zapisać jako
dv dv dx dv dv
a =� =� =� v =� v
dt dx dt dx dx
wtedy
x x v
dv 1 1
2
W =� Fdx =� mv dx =� mvdv =� mv2 -� mv0
�� �� ��
dx 2 2
x0 x0 v0
Gdy prędkość ciała jest stała (v = const), wtedy nie ma zmiany energii
kinetycznej i praca wykonana przez siłę wypadkową wynosi zero.
v =� const, W =� D�Ek =� 0
W ruchu obrotowym
Energia kinetyczna ciała obracającego się dookoła osi z prędkością kątową � wynosi
1
Ek =� Iw�2
2
gdy
M  moment siły = const
a�- obrót o pewien kąt,
s  droga, wtedy
W =� Ma� =� D�Ek =� Fs
Praca jest równa zwiększeniu energii kinetycznej obracającego się ciała na
tym odcinku drogi ruchu obrotowego.
11. Wahadło matematyczne:
Wahadło matematyczne - wyidealizowane ciało o masie punktowej m, zawieszone na cienkiej,
nierozciągliwej nici. Wytrącone z równowagi waha się w płaszczyz
nie pionowej pod wpływem siły
ciężkości.-przykład ruchu harmonicznego.
Na ciało o masie m działa siła mg i siła
napinająca nić R.
ą
Ruch wahadła powoduje siła styczna:
F =� -�mgsina�
l
l
dla bardzo małych wychyleń siną ~ ą,
czyli
R
ruch harmoniczny prosty, bo F~ą.
x = lą
m
x mg
F =� -�mg sina� � -�mga� =� -�mg =� -� x =� -�kx
mgsiną
ą l l
i
mgcosą
2
mg d x g g
mg 2
k =� , =� -� x, w� =�
2
l dt l l
Okres drgań w ruchu harmonicznym
m ml l
T =� 2p� =�2p� =� 2p�
k mg g
Okres drgań wahadła matematycznego nie zależy od masy, lecz od długości
ramienia wahającej się masy.
12.Prawo Gausa
8. Prawo Gaussa
Niech zamknięta powierzchnia obejmuje dwa ładunki Q1 i Q2 (rys.).
Całkowita liczba linii sił przecinająca powierzchnię zamkniętą wokół
ładunków Q1 i Q2 jest równa
f�calk =� =� +� E2 )dS =� dS +� dS
1 1 1
��EdS ��(E ��E ��E
S
Q1
gdzie
E1 - jest wytwarzane przez Q1, a E2 przez Q2.
Q2
Powołując się na wcześniejszy wynik otrzymujemy
f�całk = (Q1/e�0) + (Q2/e�0) = (Q1 + Q2)/e�0
Całkowita liczba linii sił jest równa całkowitemu ładunkowi podzielonemu przez e�0.
Podobnie można pokazać dla dowolnej liczby n ładunków.
13. Prawo Faradaya
14.Siła Lorentza:
2. Reguła Lenza
Prąd indukowany ma taki kierunek, że przeciwstawia się zmianie, która go
wywołała. Kierunek prądu indukowanego w pętli (rysunek) zależy od tego czy
strumień rośnie czy maleje (zbliżamy czy oddalamy magnes). Ta reguła dotyczy
prądów indukowanych.
v
Rys. 1: Magnes sztabkowy porusza się na
prawo, zwiększając strumień przechodzący
przez zamkniętą pętlę przewodu.
S N
Indukowany prąd I wytwarza pole B (pętla).
Pole to przeciwdziała wzrostowi strumienia,
I związanego z magnesem.
Rys. 2: Magnes sztabkowy (początkowo
v
nieruchomy) przesuwa się na lewo, co
zmniejsza strumień przez pętlę.
Powstanie indukowany prąd I (w pętli)
S N
przeciwdziałający zmianie, tzn. pole B
będzie starało się utrzymać początkową
I wartość strumienia przechodzącego przez
pętlę.
W przypadku (1), wypadkowa siła działająca na cewkę jest skierowana w prawo,
a w przypadku (2) w lewo.
15.Magnetyczny Moment Diplowy:
Mmagnetycznym momentem
dipolowym nazywamy pole magnetyczne działające na ramkę
z prądem momentem skracającym obracając ją.