Podstawy Konstrukcji Maszyn
Wykład 8
Przekładnie zębate część 1
Dr in\
. Jacek Czarnigowski
Klasyfikacja przekładni zębatych
1. Ze względu na miejsce zazębienia
O zazębieniu zewnętrznym O zazębieniu wewnętrznym
1
Klasyfikacja przekładni zębatych
2. Ze względu na ruchomość osi
Planetarne  przynajmniej jedna oÅ›
O osiach stałych
przemieszcza się względem korpusu
wykonujÄ…c ruch okrÄ™\
ny względem
osi centralnej
Klasyfikacja przekładni zębatych
3. Ze względu na wzajemne poło\
enie osi
Wichrowate
Równoległe Kątowe
(przekładnie
Osie obu kół
hipoidalne)
przecinajÄ… siÄ™
Osie obu kół nie
przecinajÄ… siÄ™
2
Klasyfikacja przekładni zębatych
4. Ze względu na kształt kół
Åšlimakowe
Walcowe Sto\
kowe
Klasyfikacja przekładni zębatych
4. Ze względu na kształt linii zęba
O zębach
O zębach O zębach
O zębach
Å‚ukowych
śrubowych daszkowych
prostych
3
Pojęcia podstawowe  geometria
koła walcowego o zębach prostych
Wysokość stopy zęba
Szerokość wrębu
Wysokość głowy zęba
Podziałka
Grubość zęba
Występ w kole zębatym, poprzez
który w czasie pracy przekładni
przekazywany jest napęd
Przestrzeń między dwoma
sąsiednimi zębami
Pojęcia podstawowe  geometria
koła walcowego o zębach prostych
Podziałka obwodowa p  długość łuku koła podziałowego zawarta między
jednoimiennymi sąsiednimi bokami zębów.
Ä„ Å"d = p Å" z
Liczba zębów
Średnica podziałowa
p
p
m =
d = Å" z
Ä„
Ä„
Moduł nominalny
4
Pojęcia podstawowe  geometria
koła walcowego o zębach prostych
Moduł nominalny  miara wielkości zęba wyra\
ana w [mm].
p
m =
Ä„
Moduł jest znormalizowany:
Szereg 1 (zalecany): 1; 1,25; 1,5; 2; 2,5; 3; 4; 5; 6; 8; 10 &
Szereg 2 (dopuszczalny): 1,125; 1,375; 1,75; 2,25; 2;75; 3,5; 4,5; 5,5; 7 &
Pojęcia podstawowe  zarys
odniesienia
Dzieli koło tak, \
e
szerokość wrębu jest
Wysokość głowy zęba ha równa grubości zęba
ha = y Å" m
y  współczynnik
wysokości zęba
(najczęściej =1)
Promień krzywizny krzywej
przejÅ›ciowej Át
Á
Á
Á
Á = 0,38Å" m
f
Wysokość stopy zęba hf
KÄ…t zarysu
Ä… = 15° ° °
Ä… ° ° °
Ä… °; 17,5 °; 20 °;
Ä… ° ° °
hf = (y + c*)Å" m
22,5 °; 25 °;
° °
° °
° °
Luz wierzchołkowy c
Wysokość prostoliniowego
zarysu zęba ht
c = c*Å"m
ht = 2Å" y Å" m
c* = 0,2 ÷ 0,25
5
Pojęcia podstawowe  zarys
odniesienia
Podstawowe średnice
Średnica głów
da = d + 2Å" ha = mÅ"(z + 2Å" y)
Średnica stóp
d = d - 2Å"hf = mÅ"(z - 2Å" y - 2Å"c*)
f
Średnica podziałowa
d = m Å" z
Pojęcia podstawowe  luzy
Luz wierzchołkowy c  najmniejsza odległość w
osi O1O2 między walcem stóp jednego koła a
walcem wierzchołków koła współpracującego
Luz międzyzębny jn  najkrótsza odległość
między niepracującymi bokami zęba przy istnieniu
kontaktu boków pracujących
jt  luz obwodowy
Luz obwodowy jt  długość łuku tocznego o który
mo\
na obrócić koło, aby doprowadzić boki
niepracujÄ…ce do styku
6
Pojęcia podstawowe  odległość osi
Zerowa odległość osi  taka w
której stykają się okręgi podziałowe
d1 + d2 z1 + z2
a = = Å" m
2 2
Rzeczywista odległość osi  taka
jt  luz obwodowy
w której stykają się okręgi toczne
(walce zastępujące koła pracujące
jak przekładnia cierna o stałym
przeło\
eniu bez poślizgu)
dw1 + dw2
aw =
2
Pojęcia podstawowe  odległość osi
Odległość osi jest znormalizowana
PN-76/M-88525
Szereg 1 (zalecany): 40; 50; 63; 80;
100; 125; 160; 200; 250 &
jt  luz obwodowy
Szereg 2 (dopuszczalny): 71; 90;
112; 140; 180; 224 &
7
Podstawowe prawo zazębienia
Określa ono warunki jakie muszą spełniać zarysy zębów,
aby zapewnić stałość przeło\
enia kinematycznego kół
współpracujących
Podstawowe prawo zazębienia
É1 O1
É
É
É
Dwa koła obracają się z
prędkościami odpowiednio:
T
É É
É É
É É
rw1 É1 i É2
N
Zarys zębów styka się w punkcie B
 punkt przyporu
C
Przez punkt B prowadzimy proste:
B NN - normalną do styku zębów
TT  styczną do styku zębów
N
Określamy punkt C na przecięciu
prostych NN i O1O2
rw2
T
Punkt C jest biegunem zazębienia a
więc punktem podziału linii O1O2 na
koła toczne o promieniach rw1 i rw2
É2
É
É
É
O2
8
Podstawowe prawo zazębienia
É1 O1
É
É
É
Wyznaczamy proste prostopadłe do
prostej NN wychodzÄ…ce odpowiednio
T
z punktów O1 i O2
Ä… rb1 rw1
Ä…
Ä…
Ä…
Tworząc na przecięciu punkty G1 i G2
N
r1
Å‚1 G1
Å‚
Å‚
Å‚
Odległości OG stanowią promień
koła zasadniczego rb
C
B
SÄ… one odchylone od osi O1O2 o kÄ…t
G2
przyporu Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
r2
N
Å‚2
Å‚
Å‚
Å‚
rw2
ą Punkt B oddalony jest od środków
Ä…
Ä…
Ä…
obrotu kół o promień odpowiednio
T
r1 i r2
rb2
É2
É
É
É
Promienie te sÄ… odchylone od
O2
prostych OG o kÄ…ty odpowiednio
Å‚1 i Å‚2
Å‚ Å‚
Å‚ Å‚
Å‚ Å‚
Podstawowe prawo zazębienia
É1 O1
É
É
É
Zakładając, \
e zęby są w stałym
kontakcie oraz, \
e sÄ…
T
nieodkształcalne to prędkości
Ä… rb1 rw1
Ä…
Ä…
Ä…
punktów styku wynoszą:
N
r1
Prędkości są prostopadłe do
Å‚
Å‚
Å‚
W1 Å‚1 G1
promieni r
V1
Dla koła 1:
W2 C
V1 = É1 Å" r1
V2 G2 B
Dla koła 2:
Vn1=Vn2 Å‚2r2
N
V2 = É2 Å"r2
Å‚
Å‚
Å‚
rw2
ą Rozkładając te prędkości na proste
Ä…
Ä…
Ä…
NN i TT otrzymujemy odpowiednio
T
prędkość normalną Vn i prędkość
rb2
stycznÄ… W
É2
É
É
É
O2
9
Podstawowe prawo zazębienia
É1 O1
É
É
É
Zało\
enie mówiące, \
e zęby są w
stałym kontakcie oraz, \
e sÄ…
T
nieodkształcalne to prędkości
Ä… rb1 rw1
Ä…
Ä…
Ä…
punktów powoduje, \
e:
N
r1
Å‚
Å‚
Å‚
W1 Å‚1 G1 Vn1 = Vn2
V1
W2 C
Zatem:
Vn1 = V1 Å"cosÅ‚1
V2 G2 B
Vn2 = V2 Å"cosÅ‚
Vn1=Vn2 Å‚2r2 2
N
Å‚
Å‚
Å‚
StÄ…d:
rw2
Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
É1 Å" r1 Å"cosÅ‚1 = É2 Å" r2 Å"cosÅ‚
2
T
rb2
É2
É
É
É
O2
Podstawowe prawo zazębienia
É1 O1
É
É
É
Z rysunku wynika:
rb1
T
Ä… rb1 rw1
ą cosł1 =
Ä…
Ä…
r1
N
r1
rb2
Å‚
Å‚
Å‚
W1 Å‚1 G1
cosł =
V1 2
r2
W2 C
Zatem:
V2 G2 B
É1 Å" rb1 = É2 Å"rb2
Vn1=Vn2 Å‚2r2
N
Å‚
Å‚
Å‚
Poniewa\
:
rw2
Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
rb1 = rw1 Å"cosÄ…
T
rb2
rb2 = rw2 Å"cosÄ…
É2
É
É
É
O2
10
Podstawowe prawo zazębienia
É1 O1
É
É
É
Otrzymujemy:
T
Ä… rb1 rw1
Ä…
Ä…
Ä…
É1 = rb2 = rw2
N
r1 É2 rb1 rw1
Å‚
Å‚
Å‚
W1 Å‚1 G1
V1
W2 C
Przeło\
enie kinematyczne
V2 G2 B
É1 rw2
Vn1=Vn2 Å‚2r2
N
Å‚ i = =
Å‚
Å‚
É2 rw1
rw2
Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
T
rb2
É2
É
É
É
O2
Podstawowe prawo zazębienia
É1 rw2
i = =
É2 rw1
Podstawowe prawo zazębienie  prawo Willisa
W celu zapewnienia stałego przeło\
enia kinematycznego (i=const)
zarysy zębów powinny być takie, aby prosta normalna NN w
dowolnym punkcie styku B dzieliła odcinek O1O2 w stałym
stosunku (aby punkt C był zawsze w tym samym miejscu)
Zarysy zębów spełniające ten warunek nazywamy zarysami sprzę\
onymi
11
Poślizg względny
É1 O1
É
É
É
W odró\
nieniu od prędkości
normalnych gdzie:
T
Ä… rb1 rw1
Ä…
Ä…
Ä…
Vn1 = Vn2
N
r1
Å‚
ł Prędkości styczne dwóch zębów są
Å‚
W1 Å‚1 G1
V1
ró\
ne, a ró\
nica ich jest prędkością
poślizgu:
W2 C
Vs = W2 -W1
V2 G2 B e
Wprowadzając odległość punktu B od
Vn1=Vn2 Å‚2r2
N
Å‚
Å‚ punktu C mo\
emy określić:
Å‚
rw2
Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
Vs = e Å"(É1 + É2)
T
rb2
É2
É
É
É
O2
Poślizg względny
Zatem względny poślizg wynosi:
ëÅ‚ öÅ‚
Vs e Å"(É1 + É2) e É1 ÷Å‚ e
ìÅ‚
= = Å"ìÅ‚ +1÷Å‚ = Å"(i +1)
V rw2 Å"É2 rw2 íÅ‚ É2 Å‚Å‚ rw2
Wnioski:
Prędkość poślizgu wzrasta wraz z odległością punktu przyporu B od punktu zazębienia C
Prędkość poślizgu wzrasta wraz z przeło\
eniem
Zęby zu\
ywać się będą u wierzchołka i w dolnej części podstawy zęba gdzie
prędkość poślizgu przy zazębieniu jest największa
12
Zarysy zębów
Zarys zębów powinien być sprzę\
ony
(spełniać prawo Willisa)
Dodatkowe cechy:
- wytrzymałość
- technologiczność
- niewra\
liwość na błędy odległości osi
- odporność na zu\
ycie
- stałość kierunku sił międzyzębnych
Zarysy zębów
Stosowane zarysy zębów
Liniowe
Pierwsze zarysy stosowane na
koła zębate  obecnie
Kołowe
całkowicie wycofane
Ortocylkoidy ( krzywa kreślona przez punkt
koła toczącego się po prostej)
Wyparły zarysy liniowe i
kołowe a następnie zostały
Epicykloidy (krzywa kreślona przez punkt
wyparte przez zarys
ewolwentowy. Obecnie
koła toczącego się na zewnątrz innego
stosowane w mechanizmach
koła)
zegarkowych. Zaleta:
mo\
liwość stosowania du\
ych
Hipocykloidy (krzywa kreślona przez
przeło\
eń
punkt koła toczącego się na wewnątrz
innego koła)
Podstawowy obecnie
Ewolwenta
stosowany zarys koła
Najnowszy zarys. Charakteryzuje się małymi naciskami
Kołowo-łukowe
między zębami. Wadę stanowi konieczność produkcji kół
jako par (brak uniwersalności i trudności obróbkowe)
13
Zarys ewolwentowy
Ewolwenta  linia będąca torem dowolnego punktu związanego z
prostą toczącą się po okręgu bez poślizgu.
Okrąg po którym toczy się prosta nazywany jest okręgiem
zasadniczym.
Zarys ewolwentowy
Geometria ewolwenty
Prosta toczy się po okręgu
zasadniczym a punkt na niej siÄ™
znajdujący wykreśla ewolwentę
P
O
OkrÄ…g zasadniczy
14
Zarys ewolwentowy
Geometria ewolwenty
N
Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
T Dla wybranego poło\
enia prostej
tworzÄ…cej mamy:
Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
Prosta tworzÄ…ca jest normalna do zarysu
M
w punkcie M  punkt przyporu
P
Prosta TT styczna do ewolwenty w
N1
Å‚ r
Å‚
Å‚
Å‚
punkcie M
Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
rb
T
Promień r  łączący punkt O z M
jest odchylony od osi OP o kÄ…t Å‚
Å‚
Å‚
Å‚
O
N
Prosta tworząca styka się z okręgiem
zasadniczym w punkcie N1
Okrąg zasadniczy Kąt pomiędzy prostą NN a normalną do
promienia r (OM) jest KÄ…tem zarysu
ewolwenty
Zarys ewolwentowy
Geometria ewolwenty
N
Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
T Ze sposobu powstawania ewolwenty
wynika, \
e długość łuku PN1 jest równa
ą odległości punków MN1
Ä…
Ä…
Ä…
M
Poniewa\
:
P PN1 = rb Å"(Å‚ +Ä…)
N1
Å‚ r
Å‚
Å‚
Å‚
Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
MN1 = rb Å"tgÄ…
rb
T
Zatem:
O
rb Å"(Å‚ +Ä… )= rb Å"tgÄ…
N
Å‚ = tgÄ… -Ä…
OkrÄ…g zasadniczy
KÄ…t Å‚ jest funkcjÄ… ewolwentowÄ… zwanÄ…
Å‚
Å‚
Å‚
tak\
e involutÄ…
invÄ… = tgÄ… -Ä…
15
Inwoluta
Inwoluta = funkcja ewolwentowa
invÄ… = tgÄ… -Ä…
KÄ…t podawany w [radianach]
Wartość inwoluty jest tak\
e podawana w tabelach.
UWAGA! Wartość inwoluty nale\
y podawać
minimum do 5 miejsca po przecinku np. 0,02389.
Zarys ewolwentowy  zalety i wady
Zalety:
Jest zarysem sprzÄ™\
onym. Zachowuje tÄ™ cechÄ™ tak\
e przy zmianie
odległości osi
Jest łatwy do wykonania. Uniwersalność narzędzi obróbkowych do
wielu kół. Mo\
liwość uzyskania du\
ych dokładności i małej
chropowatości powierzchni styku.
Siła międzyzębna zachowuje stały kierunek w czasie współpracy
zębów
Uniwersalność kół. Praca kół o ró\
nych ilościach zębów i tych
samych cechach geometrycznych.
16
Zarys ewolwentowy  zalety i wady
Wady:
Mała powierzchnia styku (stykają się dwie powierzchnie wypukłe)
Du\
e naciski są przyczyną zmniejszenia trwałości
Du\
e prędkości poślizgów przy zazębianiu i wyzębianiu się kół.
Zwiększone zu\
ycie głów i podstaw zębów.
Zazębienie ewolwentowe
Dwa koła współpracujące mają
wspólną linię normalną do
punktów przyporu przecinającą
liniÄ™ O1O2 w punkcie C. Linia ta
jest styczna do kół
zasadniczych.
P Na linii tej występuje styk par
C zębów odpowiednio w
P
punktach P i P
Linia ta zawiera wszystkie
punkty przyporu zachodzÄ…ce
podczas współpracy obu kół.
Nosi ona nazwÄ™ Linii Przyporu
17
Zazębienie ewolwentowe
Poniewa\
zarysy zębów są od
góry ograniczone okręgiem
wierzchołków zatem styk
między kołami mo\
e zachodzić
tylko na pewnym odcinku linii
przyporu.
E2
SÄ… to odpowiednio punkty
P
E1 i E2
C
P
E1
Część linii przyporu
ograniczona tymi
punktami nosi nazwÄ™
odcinka przyporu
Zazębienie ewolwentowe
Kąt zawarty między linią
przyporu a liniÄ… normalnÄ… do
osi O1O2 w punkcie C nazywany
jest tocznym kÄ…tem przyporu
N1
E2
Ä…w Linia przyporu styka siÄ™ z
Ä…
Ä…
Ä…
P okręgami zasadniczymi w
C punktach N1 i N2
P
N2 E1
18
Liczba przyporu
O1
Liczba przyporu jest
wskaz
nikiem zazębienia,
N1
mówiącym ile par zębów
E2
jest jednocześnie we
współpracy (średnio dla
całego obrotu kół)
C
N2 E1
Mo\
na ją obliczyć jako
stosunek długości odcinka
przyporu do podziałki p
E1E2
µ =
p
O2
Liczba przyporu
O1
AnalizujÄ…c rysunek mo\
na
zauwa\
yć, \
e:
rb1
Ä…w
Ä…
Ä…
Ä…
E1E2 = N1E1 + N2E2 - N1N2
Ä…a1 N1
Ä…
Ä…
Ä…
ra1 E2
WprowadzajÄ…c odpowiednie kÄ…ty
i promienie
C
Gdzie ąa  kąt głów
Ä…
Ä…
Ä…
N2 E1
rb1 d1
Ä…a2
Ä…
Ä…
Ä…
cosÄ…a1 = = Å"cosÄ…w
ra1 da1
ra2
Ä…
rb2 Ä…w
Ä…
Ä…
rb2 d2
cosÄ…a2 = = Å"cosÄ…w
ra2 da2
O2
19
Liczba przyporu
O1
Otrzymujemy:
N1E1 = rb1 Å"tgÄ…a1
rb1
Ä…w
Ä…
Ä…
Ä…
N2E2 = rb2 Å"tgÄ…a2
Ä…a1 N1
Ä…
Ä…
Ä…
ra1 E2
N1N2 = (rb1 + rb2)Å"tgÄ…w
StÄ…d:
C
N2 E1 E1E2 = rb1 Å"tgÄ…a1 + rb2 Å"tgÄ…a2 -(rb1 + rb2)Å"tgÄ…w
Ä…a2
Ä…
Ä…
Ä…
E1E2 = rb1 Å"(tgÄ…a1 - tgÄ…w)+ rb2(tgÄ…a2 - tgÄ…w)
ra2
Ä…
rb2 Ä…w
Ä…
Ä…
Podziałka wynosi:
Ä„ Å" db 2Å"Ä„ Å"rb
p = =
z z
O2
Liczba przyporu
O1
rb1
Po przekształceniach
Ä…w
Ä…
Ä…
Ä…
otrzymujemy liczbÄ™ przyporu:
Ä…a1 N1
Ä…
Ä…
Ä…
ra1 E2
1
C µ = [z1 Å"(tgÄ…a1 - tgÄ…w)+ z2 Å"(tgÄ…a2 - tgÄ…w)]
2Å"Ä„
N2 E1
Dla zapewnienia ciągłości zazębienia
Ä…a2
Ä…
Ä…
Ä…
liczba przyporu powinna być większa od 1.
ra2
Ze względu na niedokładności
Ä…
rb2 Ä…w
Ä…
Ä…
wykonania przyjmuje siÄ™:
µ e" 1,15 ÷1,25
O2
20
Zazębienie ewolwentowe
Analizując zazębienie mo\
na określić, \
e rzeczywista odległość osi wynosi:
rb1 rb2
aw = +
cosÄ…w cosÄ…w
Zatem:
aw Å"cosÄ…w = rb1 + rb2
Jednocześnie z własności ewolwenty wynika:
rb1 = r1 Å"cosÄ…
rb2 = r2 Å"cosÄ…
Zazębienie ewolwentowe
Jednocześnie wiemy, \
e zerowa odległość osi to:
a = r1 + r2
Zatem:
aw Å"cosÄ…w = a Å"cosÄ…
21
Metody obróbki kół zębatych
Stosowane sÄ… dwie podstawowe metody
obróbki kół zębatych:
Metoda kształtowa Metoda obwiedniowa
Metody obróbki kół zębatych
Metoda kształtowa
Polega na zastosowaniu narzędzia, którego część skrawająca na kształt wrębu
obrabianego koła.
Mo\
na zastosować:
Frezowanie krÄ…\
kowe, palcowe, dłutowanie, przeciąganie
22
Metody obróbki kół zębatych
Metoda kształtowa
Ze względu na to, \
e wymiary wrębu koła zale\
ą od modułu oraz ilości zębów,
narzędzia są specjalizowane do danego koła.
Dopuszczalne jest zastosowanie jednego narzędzia do kilku kół ale w ten sposób
wprowadza się błędy w zarys kół.
Metoda stosowana rzadko. Głównie do kół o małym znaczeniu lub bardzo du\
ych.
Metody obróbki kół zębatych
Metoda obwiedniowa
Polega na wykorzystaniu prostego narzędzia współpracującego z nacinanym
kołem. Zarys powstaje poprzez zazębienie się koła z narzędziem.
Narzędzie mo\
e mieć postać:
- listwy zębatej,
- koła zębatego
- ślimaka
23
Metody obróbki kół zębatych
Metoda obwiedniowa Maaga
Narzędzie ma postać listwy zębatej.
Narzędzie wykonuje ruch roboczy
(postępowo-zwrotny).
Koło wykonuje ruch obrotowy i
postępowy.
Metody obróbki kół zębatych
Metoda obwiedniowa Sunderlanda
Narzędzie ma postać listwy zębatej.
Narzędzie wykonuje ruch roboczy
(postępowo-zwrotny) oraz
pomocniczy (postępowy).
Koło wykonuje ruch obrotowy.
24
Metody obróbki kół zębatych
Metoda obwiedniowa Fellowsa
Narzędzie ma postać koła zębatego.
Narzędzie wykonuje ruch roboczy
(postępowo-zwrotny) oraz
pomocniczy (obrotowy).
Koło wykonuje ruch obrotowy.
Narzędzie i koło współpracują ze
sobÄ….
Metody obróbki kół zębatych
Metoda obwiedniowa Gleasona
Narzędzie ma postać ślimaka z wyciętymi
rowkami wzdłu\
osi narzędzia. Ślimak ma
w przekroju kształt zębatki.
Narzędzie wykonuje ruch roboczy
(obrotowy).
Koło wykonuje ruch obrotowy oraz
postępowy (zbli\
a się do ślimaka).
Narzędzie i koło współpracują ze
sobÄ….
25