TWIERDZENIE de l HOSPITALA
Obliczyć granice funkcji.
ln x x6 1 x10 1024 3x2
1. lim 2. lim 3. lim 4. lim
x 1 1 cos x
x2 x2 4
x x 1 x 2 x 0
1
cos x 1 x2
2
1 1 1
5. lim0 x4 6. lim(sin x 1) 7. lim0 ln x tgx 8. lim( )
x x 1 ln x
x x x 1
x 0
x x
tgx 1
1 x2 e0,1x
9. lim 10. lim 11. lim 12. lim0 e4 7e
sin x cos x ln x sin x
x3
x x 1 x x
4
1
1 x 1 x
2 x
13. lim 14. lim0 sin 5x sin 3x 15. lim0 ctgx(1 e2 x ) 16. lxim0 sin x x3 cos x
sin x
x2
x
x 0 x
1
x x
ln(1 x) x x2
2 x
2 1 cos3x
17. lxim0 e x esin x 18. lim 19. lxim0 1 cos4x 20. lim x2 ln x
x3
x 0 x 0
1 cos x
cos x sin x 1
21. lim(1 ex1 1) 22. lim 23. lim xex 24. lim
sin 2x cos x x
x
x
x 0 x x 0
2
3x 1 e3 x 3x 1
3 x 3 x
x
25. lim 26. lim( x)tg 27. lim 28. lim
2
5x 2 x
sin 5x
x 0 x x 0 x 0
1
x
1
1
x 5
29. lim( )tgx 30. lim(1 sin x)ctgx 31. lim(x 4) 32. lim e2x x
x2
x 0 x 0 x 5 x 0
8
sin(2x3 )
1 2ln x
33. lim x 34. lim
arctg(5x3)
x 0 x 0
Odpowiedzi.
1
1. 0 2. 6 3. 1280 4. 6 5. 6. 0 7. 0
24
1 3 1
8. 9. 2 10. 11. 12. 13. 14. 2
2
2 7 8
1 1 9 1
15. 16. 17. 2 18. 19. 20. 0 21.
2
3 3 16 2
1 ln 3 9 1
22. 1 23. 0 24. 25. 26. 2 27. 28.
2 5 50
3
2
29. 1 30. e 31. e 32. e3 33. e4 34.
5
WYKRES FUNKCJI
Narysować wykres funkcji spełniającej warunki:
1. lim f (x) , lim f (x) , lim f (x) 1, lim f (x) 5
x x 0 x 0 x
2. lim f (x) 4, lim1 f (x) , lim f (x) 4
x x x
3. lim f (x) , lim( f (x) x) 1, f (x) jest parzysta
x 0 x
4. f '(x) 0 dla x 2 , f '(2)
5. f '(x) 0 dla x 3, f '(3) 0
6. f '(x) 0 dla x R , lim f (x) 2
x
7. f '(x) 0 dla x 1, f '(x) 0 dla x 1, f '(1) nie istnieje
8. f '(x) 0 dla x 2, f '( 2) 0
Odpowiedzi na odwrocie (przykładowe).
WYKRES FUNKCJI
1. 2.
5
4
1 -1
-4
3. 4.
y x 1
y x 1
2
5. 6.
3
2
7. 8.
1
-2