PROGRAMOWANIE SYMULACJI
FIZYKI W RZECZYWISTYM CZASIE
BRYAA SZTYWNA
5ؓ5؊
5ؓ5؋
|5ؓ5؊ - 5ؓ5؋| - nie zmienia się w czasie
óBryła sztywna ma sześć stopni swobody:
- ruch postępowy środka masy (3 stopnie swobody)
- ruch obrotowy wokół środka masy (3 stopnie swobody)
óRuch każdego elementu bryły sztywnej możemy
złożyć z ruchu postępowego środka masy bryły
(ruch całości) oraz ruchu obrotowego tego elementu
względem środka masy
óZwykle rozważamy dwa modele bryły sztywnej:
Dyskretny bryła jest układem sztywno powiązanych
z sobą punktów materialnych
Ciągły rozkład masy opisuje pewna ciągła funkcja
gęstości masy
CAAKOWITA MASA BRYAY SZTYWNEJ:
óModel dyskretny:
N
M =
m
i
i=1
óModel ciągły:
M = r dV
V
ŚRODEK MASY BRYAY SZTYWNEJ:
N
r 1 r
rcm =
m ri
i
M
i=1
r 1 r
rcm =
r r dV
M
V
POAOŻENIE WZGLDNE
r
(OFFSET POSITION)
r r
r = rcm + R
N
r
m Ri = 0
i
P
i=1
r
r
r
r
R
r R dV = 0
V
CM
r
O
rcm
RUCH OBROTOWY PUNKTU BRYAY:
55y
5} =
5N
5} = 5N 5y
55ؕ
P
5} = 5N 5y
5y
P
CM
oś obrotu
5}
przechodząca przez
środek masy
ZAPIS MACIERZOWY:
5 -5N5؛ 5ؕ 5N5ؚ 5ؕ
55y(5ؕ)
= 5N5؛ 5ؕ 5 -5N5ؙ 5ؕ 5y(5ؕ)
55ؕ
-5N5ؚ 5ؕ 5N5ؙ 5ؕ 5
55y(5ؕ)
= 5N" 5y(5ؕ)
55ؕ
PEANY RUCH PUNKTU BRYAY :
r
r r
r = rcm + R
r
r r
r drcm dR
dr
v = = +
dt dt dt
r
r
r
r drcm
r
dR
vcm =
= w R
dt
dt
r
r
r r
v = vcm +w R
r
r
r r
r
r
r dvcm dw dR
dv
a = = + R +w
dt dt dt dt
r r
r r r
r r
a = acm + e R +w (w R)
przyspieszenie
dośrodkowe
przyspieszenie
r
r
styczne (liniowe)
e R
r
r r
w (w R)
P
r
r r
MOMENT PDU
L = r p
PUNKTU MATERIALNEGO:
óMoment pędu nie zmienia się w ruchu
jednostajnym i prostoliniowym 5ę = 5"5ؐ5Ź5"5ؕ :
r
p
r
"
p
r
"
r
r r r
p
r
r3
r = r|| + r^
r2
"
r r r r
r
r|| || p r^ ^ p
r
r1
"
r
O
r r
L = r^ p
II ZASADA DYNAMIKI NEWTONA
WYRAŻONA POPRZEZ MOMENT PDU :
5s = 5ؓ 5ę
55s 55ؓ 55ę
= 5ę + 5ؓ
55ؕ 55ؕ 55ؕ
55ؓ 55ę
= 5 %" 5ę = 5m
55ؕ 55ؕ
55s
= 5ؓ 5m
55ؕ
5s = 5ؓ 5ę
5ؓ = 5ؓ5"5؎ + 5y
5ę = 5؎ 5 = 5؎(55"5؎ + 5N 5y)
5s = 5؎ 5ؓ5"5؎ 55"5؎ + 5؎ 5ؓ5"5؎ 5N 5y
+ 5؎ 5y 55"5؎ + 5؎ 5y 5N 5y
MOMENT PDU BRYAY SZTYWNEJ:
5؎5؊ = 5t
5؊
5s = 5s5؊ = 5؎5؊ 5ؓ5"5؎ 55"5؎ +
5؊ 5؊
+ 5؎5؊ 5ؓ5"5؎ 5N 5y5؊ +
5؊
5؎5؊ 5y5؊ = 5
5؊
+ 5؎5؊ 5y5؊ 55"5؎ +
5؊
+ 5؎5؊ 5y5؊ 5N 5y5؊
5؊
MOMENT PDU BRYAY SZTYWNEJ:
5s = 5t 5ؓ5"5؎ 55"5؎ +
+ 5؎5؊ 5y5؊ 5N 5y5؊
5؊
5؎5؊ 5y5؊ 5N 5y5؊ =
5؊
= 5؎5؊ (5y55N - 5N " 5y5؊ 5y5؊)
5؊
5؊
Tensor momentu bezwładności :
2 2
(Riy + Riz) - -
m m RixRiy m RixRiz ł
i i i
ę ś
i i i
ę ś
2 2
I = - (Rix + Riz) -
ę m RixRiy m m RiyRiz ś
i i i
i i i
ę
2 2
- - (Rix + Riy)ś
ę ś
m RixRiz m RiyRiz m
i i i
i i i
Elementy diagonalne momenty bezwładności względem osi x, y, z
Elementy pozadiagonalne momenty dewiacji
Tensor momentu bezwładności :
ł
2 2
(Y + Z )rdV - XYrdV - XZrdV
ę ś
V V V
ę ś
2 2
ę
I = - XYrdV (X + Z )rdV -
YZrdV ś
ę ś
V V V
ę 2 2 ś
- XZrdV - (X +Y )rdV
YZrdV
ę ś
V V V
r
R = (X ,Y, Z)
5s = 5s5"5؎ + 5p 5N
CHARAKTERYSTYKA RUCHU OBROTOWEGO:
5Ź = 5
5N = 5N 5Ź
5N
Moment bezwładności:
55K
5N =
5p = 5Ź " 5p5Ź
55ؕ
5Ź
P
Moment siły:
5
55N
5t = 5p 5:
5: =
Moment pędu: 55ؕ
5s = 5p 5N
5: = 5: 5Ź
chwilowa oś obrotu Energia kinetyczna:
5
5l5Ś5؊5Ź = 5p 5N5
5
OBLICZANIE MOMENTU BEZWAADNOŚCI
5p = 5Ź " 5p5Ź =
=5Ź " 5F5y ( 5Ź 5y)55} =
5Ź
5}
5Ź " 5F(5y55Ź - (5y " 5Ź)5y)55}
5}
= 5F(5y5 - (5y " 5Ź)5)55} =
5}
= 5F5y5 55}
Ą"
5}
d
Twierdzenie Steinera: 5p5 = 5t55 + 5F5y5 55}
Ą"
5}
RÓWNANIA RUCHU BRYAY SZTYWNEJ:
5m5
5m5
5m5Ń
5m5Ó
5m5
RÓWNANIA RUCHU BRYAY SZTYWNEJ:
Ruch postępowy:
r r
r r r
r r
ai = acm + e Ri +w (w Ri )
r
r r r
F = m ai = m acm = Macm
i i i
i i i
RÓWNANIA RUCHU BRYAY SZTYWNEJ:
Ruch obrotowy:
5s = 5s5"5؎ + 5p 5N
r r r r
r r
r Fi = r Fi +R Fi
cm i
i i i
r r
r
dL dLcm d
= + (Ć )
Iw
dt dt dt
RÓWNANIA RUCHU BRYAY SZTYWNEJ
(RÓWNANIA NEWTONA-EULERA) :
r r
r
Macm =
F F wypadkowa
i
siła
i
r r r
r
d
(IĆw)=
R Fi M
i
wypadkowy
dt
i
moment sił
w układzie
środka masy
r
r r
dw
IĆ +w IĆw
dt
óTensor momentu bezwładności na ogół zmienia
się w trakcie ruchu bryły sztywnej
óKonieczność wyliczania tensora momentu
bezwładności wiąże się z dużym kosztem
obliczeniowym
óW celu optymalizacji kosztu obliczeniowego
używamy macierzy obrotu (macierzy orientacji
bryły sztywnej)
(0,0,1)
Układ
MACIERZ OBROTU:
referencyjny
CM
Ć
(r r r)
R = i j k
(0,1,0)
(1,0,0)
1 0
ć ć
r
Ć r Ć r
R0 = i R1 = j
0 0
k
Ł ł Ł ł
r
j
0
ć
CM
r
Ć
R0 = k
r
1
i
Ł ł
Znając macierz obrotu, możemy ustalić
orientację bryły sztywnej w przestrzeni
r
r r
r
r r
r
dk
r r
di dj
= w k
= w i = w j
dt
dt dt
r
r
chwilowa oś
r
w
di
obrotu
Ć
= w*i ,...
r
dt
k
r
Ć
dR(t)
j
Ć
Ć CM
= w*(t)R(t)
r
dt
i
RÓWNANIA RUCHU BRYAY SZTYWNEJ:
r
r
dvcm 1
=
F
i
dt M
i
r
r r
r r
dw ć
-1
= IĆ
R Fi -w IĆw
i
dt
i
Ł ł
Ć
dR
Ć
Ć
= w*R
dt
JAK SI ZMIENIA TENSOR MOMENTU
BEZWAADNOŚCI?
Ć Ć
IĆ(t) = R(t) IĆ R-1(t) =
0
Ć Ć
= R(t) IĆ RT (t)
0
-1
-1
Ć Ć
IĆ (t) = R(t) IĆ R-1(t)
0
- tensor momentu bezwładności
IĆ0
w układzie referencyjnym
Ć Ć
Ć Ć
R(t)RT (t) =1
R-1(t) = RT (t)
TRICKI W CELU OPTYMALIZACJI OBLICZEC :
IĆ0
óZawsze można wybrać układ referencyjny, taki,
że znikają pozadiagonalne elementy tensora
(czyli tzw. momenty dewiacji)
óPrzybliżenie metodą pudełka ograniczającego
(bounding box)
óPrzybliżenie metodą próbkowania (point
sampling)
óZastosowanie wzorów całkowych (twierdzenie
Stokesa, twierdzenia Greena)
BOUNDING BOX ALGORITHM
POINT SAMPLING ALGORITHM
PRZYKAAD REPREZENTACJI BRYAY
SZTYWNEJ:
5c5P5Z
5_5P5Z
5Q
5"5E
5E
5_5P5Z
=
5c5P5Z
5Q5a
59/5@
5E
5?
5@
5c5P5Z
-1 -1
Ć Ć
IĆ (t) = R(t) IĆ RT (t)
0
r
r
5?
-1
w(t) = IĆ (t) L(t)
r r r r r
F = M =
F R Fi
i i
i
i
óW symulacjach fizyki czasu rzeczywistego,
macierz obrotu optymalizuje czas obliczeń
óAle użycie macierzy obrotu stosunkowo szybko
powoduje utratę dokładności obliczeń bryły
zniekształcają się (powiększają i pochylają)
óPowiększanie i pochylanie się brył sztywnych
związane jest z utratą własności ortogonalności
macierzy obrotu
óDwa rozwiązania:
poprawiać wyliczane macierze obrotu tak, aby
utrzymywać ortogonalność (reortogonalizacja
macierzy)
użyć kwaternionów do opisu obrotów bryły
sztywnej
KWATERNIONY
óJest to struktura algebraiczna rozszerzająca ciało
liczb zespolonych (czyli nowy rodzaj liczb )
óKwaternion:
5^ = 5d + 5e 5V + 5f 5W + 5g 5X , 5T5Q5g5V5R: 5N, 5O, 5P, 5Q 5 !
5V2 = 5W2 = 5X2 = -1
5V 5W = -5W 5V = 5X
5W 5X = -5X 5W = 5V
5X 5V = -5V 5X = 5W
5^ = 5d, 5e, 5f, 5g = 5d, 5c 5c = (5e, 5f, 5g)
DODAWANIE KWATERNIONÓW
5^1 = 5d1 + 5e1 5V + 5f1 5W + 5g1 5X = (5d1, 5c1)
5^2 = 5d2 + 5e2 5V + 5f2 5W + 5g2 5X = (5d2, 5c2)
5^1 + 5^2 =
= (5d1+5d2) + (5e1+5e2) 5V + (5f1+5f2) 5W + (5g1+5g2) 5X
= 5d1 + 5d2, 5c1 + 5c2
MNOŻENIE KWATERNIONÓW
5^1 = 5d1 + 5e1 5V + 5f1 5W + 5g1 5X = (5d1, 5c1)
5^2 = 5d2 + 5e2 5V + 5f2 5W + 5g2 5X = (5d2, 5c2)
5^15^2 = (5d15d2 - 5e15e2 - 5f15f2 - 5g15g2) +
+ (5d15e2 + 5d25e1 + 5f15g2 - 5f25g1) 5V +
+ (5d15f2 + 5d25f1 - 5e15g2 + 5e25g1) 5W +
+ (5d15g2 + 5d25g1 + 5e15f2 - 5e25f1) 5X
= (5d15d2 - 5c1 " 5c2 , 5d15c2 + 5d25c1 + 5c1 5c2)
Mnożenie jest łączne:
(5^15^2) 5^3 = 5^1(5^25^3)
ale nie jest przemienne:
5^15^2 `" 5^25^1
MNOŻENIE KWATERNIONÓW PRZEZ LICZBY I WEKTORY
5^1 = (5d1, 5c1) 5^2 = (5d2, 5c2)
5^15^2 = (5d15d2 - 5c1 " 5c2 , 5d15c2 + 5d25c1 + 5c1 5c2)
5^ = 5d, 5c
Mnożenie przez liczbę 5 5 ! :
5 5^ = 5, 0 5d, 5c = 5d, 55c = 5^ 5
Mnożenie przez wektor 5] 5 !3 :
5] 5^ = 0, 5] 5d, 5c = (-5] " 5c, 5d 5] + 5] 5c)
5^ 5] = 5d, 5c 0, 5] = (-5] " 5c, 5d 5] - 5] 5c)
KWATERNION SPRZŻONY :
5^ = 5d + 5e 5V + 5f 5W + 5g 5X = 5d, 5c
5^" = 5d - 5e 5V - 5f 5W - 5g 5X = 5d, -5c
5^ 5^" = 5d 5d - 5c " -5c , 5d5c + 5d -5c + 5c -5c
= (5d2 + 5c2 , 0 )
Powyższe wyrażenie jest kwadratem normy
kwaternionu:
5^ = 5d2 + 5c2
Kwaternion odwrotny:
5^" 5d -5c
5^-1 = = ,
|5^|2 5d2 + 5c2 5d2 + 5c2
KWATERNION JEDNOSTKOWY :
Kwaternion o normie równej jeden:
5^ = 1
5^ = 5d, 5c , 5d2 + 5c2 = 1
Kwaternion jednostkowy można przedstawić jako :
5 5
5^ = cos , sin 5T5Q5g5V5R: 5[ = 1
5[ ,
2 2
5 = 25N5_5P cos 5d
5c
5[ =
5
sin(2)
CHARAKTERYSTYKA OBROTU:
5Ź = 5
oś obrotu
Kwaternion :
5Ź
5ؙ
5 5
5
5^ = cos , sin
5[
kąt obrotu
2 2
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Stacjonarne wykład3BO II stacjonarne wykład nr 10BO II stacjonarne wykład nr 01BO II stacjonarne wykład nr 02BO II stacjonarne wykład nr 11BO II stacjonarne wykład nr 09BO II stacjonarne wykład nr 04BO II stacjonarne wykład nr 07Psychologia marketingu 11 stacjonarne wyklad 1 UzytecznoscBO II stacjonarne wykład nr 03BO II stacjonarne wykład nr 08BO II stacjonarne wykład nr 08wykład 13 i 14 stacjonarnePsychologia ekonomiczna stacjonarne 10 wyklad Posiadanie i szczesciewykład 2 stacjonarnewykład 6 stacjonarneMiBM wykłady stacjonarnePPA wykład 1 stacjonarnewięcej podobnych podstron