STANY NIEUSTALONE W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH
st. kpt.dr inż. Józef Szmitkowski
STAN NIEUSTALONY  POJ
CIA PODSTAWOWE
METODA KLASYCZNA
1. WPROWADZENIE
Wyobraz
my sobie dowolny liniowy obwód pasywny, na który działamy zdeterminowanym
wymuszeniem x(t) określonym dla t"(-",+"). Jeśli interesuje nas funkcja określonej wielkości fizycznej
w tym obwodzie, to możemy nazywać ją odpowiedzią r(t) obwodu na istniejące wymuszenie x(t).
x (t) r (t)
P
Dotychczas rozpatrywaliśmy obwody w stanie ustalonym - co oznaczało, że moment włączenia
z
ródła wymuszającego do obwodu był nieskończenie odległy od momentu obserwacji. Wówczas
wszystkie napięcia i prądy występujące w obwodzie miały ten sam charakter, co wymuszenie.
Jeśli w jakimś momencie czasu (tk) nastąpi dowolna
zmiana warunków pracy obwodu
zmiana sygnału wymuszającego (np. zmiana parametrów
sygnału, w tym także załączenia lub
wyłączenia)
KOMUTACA
zmiana struktury obwodu (np. odłączenie elementu, dołączenie
elementu dodatkowego)
zmiana parametrów obwodu
to nowe warunki wymuszają oczywiście inną funkcję odpowiedzi układu, czyli inny stan ustalony.
Przejście od jednego stanu ustalonego do drugiego - przejście zapoczątkowane w chwili komutacji
(tk) - trwa pewien określony czas, który nazywamy czasem trwania stanu nieustalonego (t") a stan układu,
w którym znajduje się on w przedziale czasu [tk,t"], nazywamy STANEM NIEUSTALONYM
1
r (t)
t
tk=0 t
stan
I stan II stan
nieustalony
ustalony ustalony
r (t)
tk stan t
t
II stan
I stan
nieustalony
ustalony
ustalony
Przyjmujemy założenie, że czas trwania komutacji jest równy zeru, tzn. wszystkie zmiany
odbywają się bezzwłocznie.
2. PRAWA KOMUTACJI  WARUNKI POCZ
TKOWE
Na podstawie zasady ciągłości energii w obwodzie oraz pamiętając, że wartość energii
nagromadzonej
w polu magnetycznym cewki o w polu elektrycznym kondensatora o
indukcyjności L, przez którą przepływa prąd pojemności C, naładowanego do napięcia uC
iL wynosi wynosi
1 1
WL(t)= LiL2(t) (2.1) WC(t)= C uC 2(t) (2.2)
2 2
Możemy sformułować dwa prawa komutacji:
Pierwsze prawo komutacji Drugie prawo komutacji
Prąd płynący przez cewkę nie może ulec Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się
skokowej zmianie, co oznacza, że prąd cewki skokowo, co oznacza, że napięcie na
w chwili tuż przed komutacją równa się kondensatorze w chwili tuż przed komutacją jest
prądowi tuż po komutacji równe napięciu tuż po komutacji
iL(0-)= iL(0+) uC(0-)= uC(0+)
(2.3) (2.4)
2
0
0
0
0
Warunki początkowe stanowią zbiór wartości prądów w indukcyjnościach i napięć na
pojemnościach układu w chwili początkowej. Warunki
początkowe określają całkowitą wartość energii zgromadzonej
w układzie w chwili tK=0.
Wyznaczenie warunków początkowych w obwodzie wiąże się z rozwiązaniem stanu ustalonego
obwodu przed komutacją, określeniem postaci czasowej tego rozwiązania na prądy cewek i napięcia
kondensatorów oraz wyznaczeniem rozwiązania odpowiadającego chwili czasowej komutacji. Oznacza
to, iż podstawą do ustalenia warunków początkowych obwodu są prawa komutacji.
Warunki początkowe mogą być zerowe, jeśli prądy wszystkich cewek i napięcia kondensatorów w
chwili komutacji miały wartości zerowe.
3. ANALIZA STANÓW NIEUSTALONYCH
Wyznaczenie rozwiązań obwodów w stanie nieustalonym
Metoda operatorowa
Metoda klasyczna
polegająca na bezpośrednim
wykorzystująca właściwości
rozwiązaniu równań różniczkowych
przekształcenia Laplace a.
(zwyczajnych, liniowych o stałych
współczynnikach)
4. METODA KLASYCZNA
Modelem matematycznym obwodu elektrycznego, o dowolnej konfiguracji, jest układ równań
różniczkowo-całkowych, wynikających z praw Kirchhoffa i definicji elementów R, L i C. W celu
wyznaczenia poszukiwanych prądów i napięć wszystkie równania należy sprowadzić do układu równań
różniczkowych o postaci ogólnej
d r1(t)= a11r1(t)+ a12r2(t)+ ... + a1nrn(t)+ x1(t)
�ł
�ł
dt
d r2(t)= a21r1(t)+ a22r2(t)+ ... + a2nrn(t)+ x2(t) �ł
�ł
�ł
(4.1)
dt
żł
�ł
M
d rn(t)= an1r1(t)+ an2r2(t)+ ... + annrn(t)+ xn(t) �ł
�ł
�ł
dt �ł
3
gdzie: r1(t) ... rn(t)  zmienne oznaczające prądy cewek lub napięcia kondensatorów (tzw. zmienne
stanu); stałe współczynniki aij stanowią kombinację wartości parametrów R, L, C; funkcje x1(t) ...
xn(t) związane są z wymuszeniami w postaci z
ródeł napięciowych i prądowych; liczba równań n
zależy od liczby reaktancji w obwodzie.
Rozwiązując układ równań z uwagi na poszukiwaną funkcję odpowiedzi r(t) przy znanym
wymuszeniu x(t) otrzymujemy równanie różniczkowe zwyczajne, liniowe o stałych współczynnikach n-
tego rzędu o postaci:
n n-1
d r(t)+ an-1 d r(t) d r(t)
an + ... + a1 + a0 r(t) = x(t)
(4.2)
dt
dtn dtn-1
Rozwiązaniem równania (4.6) określającym analityczną postać odpowiedzi r(t) jest tak zwana
całka ogólna równania niejednorodnego (C.O.R.N.)
r( t ) = C.O.R.N. (4.3)
Teoria równań różniczkowych mówi, że jest ona sumą dwóch składowych: całki ogólnej równania
jednorodnego (C.O.R.J.) i całki szczególnej równania niejednorodnego (C.S.R.N.). Zatem
r( t ) = C.O.R.N. C.O.R.J . C.S.R.N .
= + (4.4)
składowa odpowiedzi składowa odpowiedzi
niezależna od wymuszenia wywołana przez wymuszenia
oznaczana rS(t) i nazywana oznaczana rW(t) i nazywana
składową swobodną składową wymuszoną
(przejściową) odpowiedzi (ustaloną) odpowiedzi
Czyli
r( t ) rS ( t ) rW ( t )
= + (4.5)
4
 Składowa wymuszona rW(t) opisuje stan
Składowa swobodna rS(t) opisuje procesy
ustalony w obwodzie przy działającym
zachodzące w obwodzie na skutek niezerowych
wymuszeniu, może być zatem łatwo
warunków początkowych przy braku wymuszeń
wyznaczona dowolną metodą analizy
zewnętrznych. Odpowiada ona obwodowi, w
obwodów.
którym wszystkie z
ródła napięciowe zwarto a
prądowe rozwarto. Składowa przejściowa
Cechą charakterystyczną rS(t) jest jej
zależy jedynie od warunków początkowych,
zanikanie z biegiem czasu do zera
struktury obwodu i wartości parametrów tego
lim [rS ( t )]= 0 (4.6)
obwodu.
t +"
Równanie składowej swobodnej rS(t) otrzymuje się zakładając wymuszenie x(t) we wzorze (4.2)
równe zeru i zastępując zmienną r(t) poprzez jej składową swobodną rS(t)
n n-1
d rS (t)+ an-1 d rS (t) d rS (t)
an + ... + a1 + a0 rS (t) = 0
(4.7)
dt
dtn dtn-1
Rozwiązanie równania jednorodnego (4.7) uzyskuje się za pośrednictwem równania charakterystycznego,
które ma postać
an sn + an-1 sn-1 + ... + a1 s + a0 = 0
(4.8)
jeśli wielomian ten posiada tylko pierwiastki pojedyncze si (i=1,2, ... n), to
n
sit
rS ( t ) = Ai e
(4.9)
"
i=1
gdzie współczynniki Ai (i=1,2, ... n) są stałymi całkowania, których wartości wyznacza się opierając się
na znajomości warunków początkowych.
5
5. PRZYKA
ADY OBWODÓW ILUSTRUJ
CYCH METOD

KLASYCZN
ANALIZY STANÓW NIEUSTALONYCH.
5.1 Włączenie gałęzi R,L na napięcie stałe
Rys. 5.1. Schemat gałęzi szeregowej R,L włączonej na napięcie stałe
Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa bilans napięć w obwodzie po zamknięciu wyłącznika W ma postać
di
E = R �" i + L
(5.1)
dt
Składowa wymuszona prądu równa jest prądowi płynącemu w obwodzie w stanie ustalonym
E
i =
w
(5.2)
R
Składową swobodną obliczamy z równania jednorodnego
dis
R �"is + L = 0
(5.3)
dt
Zgodnie z zależnością (4.9) rozwiązanie równania (5.3) ma postać
1
is = Aes t
(5.4)
przy czym równanie charakterystyczne wyraża się zależnością
L�" s + R = 0
(5.5)
a pierwiastek tego równania
R
s1 = -
(5.6)
L
6
Zatem prąd w obwodzie w stanie nieustalonym
R
- t
E
L
i = iw + is = + A �" e
(5.7)
R
Zakładając, że w chwili t = 0, i = 0 oraz uwzględniając prawo komutacji i(0-)=i(0+) otrzymamy
E
E
A = -
0 = + A
a więc (5.8)
R R
Ostatecznie przebieg prądu wyraża się wzorem:
R R
- t �ł - t �ł
E E E
L
�ł1- e L �ł
i = - �" e =
�ł �ł
(5.9)
R R R
�ł łł
a wykres prądu i jego składowych przedstawiono na rys. 5.2
Rys. 5.2 Wykres prądu i jego składowych w stanie nieustalonym
Dla obwodu szeregowego R, L wprowadza się pojęcie stałej czasowej �. Stała czasowa jest to czas, po
upływie którego wartość bezwzględna składowej swobodnej maleje e razy.
L
� =
Na rys. 5.2 podano sposób graficzny wyznaczania stałej czasowej
R
7
5.2 Włączenie gałęzi R, L na napięcie sinusoidalnie zmienne
Rys. 5.3 Schemat gałęzi szeregowej R, L włączonej na napięcie sinusoidalnie zmienne
Bilans napięć w obwodzie po zamknięciu wyłącznika W ma postać:
di
e = R �" i + L
(5.10)
dt
Napięcie zasilające wyraża się wzorem
e = Em sin(�t +� )
(5.11)
Składowa wymuszona prądu równa jest prądowi płynącemu w stanie ustalonym
Em
iw = sin(�t +� -�)
(5.12)
2
R2 + (�L)
�L
� = ar tg
gdzie:
R
Składową swobodną wyznaczamy z równania jednorodnego
dis
R �"is + L = 0
(5.13)
dt
którego rozwiązanie ma postać
1
is = A �" es t
(5.14)
a pierwiastek równania charakterystycznego wynosi
R
s1 = -
(5.15)
L
8
Zatem prąd w obwodzie w stanie nieustalonym:
R
- t
Em
L
i = iw + is = sin(�t +� -�)+ A�" e
2
(5.16)
R2 + (�L)
Zakładając warunek początkowy zerowy t = 0, i = 0 oraz korzystając z prawa komutacji i(0-) = i(0+)
otrzymamy:
Em
0 = sin(� - �)+ A
(5.17)
2
R2 + (�L)
stąd
Em
A = - sin(� -�)
(5.18)
2
R2 + (�L)
Ostatecznie przebieg prądu w stanie nieustalonym przyjmie postać:
R
�ł - t
Em
i = iw + is = (�t
�łsin +� - �)- e L sin(� - �)łł
śł
2 (5.19)
R2 + (�L)
�ł �ł
a wykres prądu z uwzględnieniem jego składowych przedstawiono na rys.5.4
Rys. 5.4 Wykres prądu i jego składowych w stanie nieustalonym
9
Z rys. 5.4 oraz ze wzoru (5.19) wynika, że prąd i w gałęzi szeregowej RL zasilanej napięciem
sinusoidalnie zmiennym jest funkcja fazy początkowej � i czasu t.
i = f (t,� )
(5.20)
Analiza tej funkcji wykazuje, że osiąga ona wartość maksymalną dla � = 0 lub  oraz po czasie t, który
można wyznaczyć z zależności:
R
- t
R
L
cos(�t -�) = e
(5.21)
2
R2 + (�L)
na przykład metodą graficzną.
Maksymalna wartość prądu nazywa się prądem udarowym iu, a stosunek tego prądu do amplitudy
napięcia zasilającego
iu
ku =
(5.22)
Im
nazywamy współczynnikiem udaru, którego wartości zawierają się w przedziale 15.3 Włączenie gałęzi R, C na napięcie stałe
Rys. 5.5 Schemat gałęzi RC włączonej na napięcie stałe
Bilans napięć w obwodzie po zamknięciu wyłącznika W ma postać
E = R �"i +UC
(5.23)
10
Zależność prądu od napięcia na kondensatorze
dUC
i = C
(5.24)
dt
stąd
dUC
E + RC +UC
(5.25)
dt
Składowa wymuszona napięcia na kondensatorze równa jest napięciu na kondensatorze w stanie
ustalonym.
uCw = E
(5.26)
natomiast składową swobodną obliczamy z równania:
duCs
RC + uCs = 0
(5.27)
dt
którego rozwiązanie ma postać
1
uCs = A �" es t
(5.28)
a równanie charakterystyczne wyraża się zależnością
R �"C �" s +1 = 0
(5.29)
pierwiastek tego równania równy jest
1
s1 = -
(5.30)
RC
11
Zatem napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym
1
- t
RC
uC = uCw + uCs = E + A �" e
(5.31)
Zakładając warunek początkowy zerowy t = 0, UC=0 oraz uwzględniając prawo komutacji UC(0-) =
UC(0+) otrzymamy:
0 = E + A
A = -E
a więc (5.32)
Ostatecznie przebieg napięcia na kondensatorze wyrazi się wzorem
1 t
- t �ł - �ł
RC RC
�ł
UC = E - E �" e = E�ł1- e
�ł �ł
(5.33)
�ł łł
a wykres napięcia i jego składowych przedstawiono na rys. 5.6
Rys. 5.6 Wykres napięcia i jego składowych w stanie nieustalonym.
Podobnie jak dla obwodu szeregowego R, L wprowadzamy pojęcie stałej czasowej � = RC dla obwodu
szeregowego RC, a sposób graficzny jej wyznaczania przedstawiono na rys. 5.6.
12
5.4 Włączenie gałęzi RC na napięcie sinusoidalnie zmienne
Rys.5.7 Schemat gałęzi szeregowej RC włączonej na napięcie sinusoidalnie zmienne
Zakładamy funkcję napięcia wymuszającego
e = Em sin(�t +� )
(5.34)
Po zamknięciu wyłącznika W bilans napięć w obwodzie możemy przedstawić:
e = R �"i + uc
(5.35)
natomiast prąd
duc
i = C
(5.36)
dt
Z zależności (5.35) i (5.36) otrzymamy:
duc
e = RC + uc
(5.37)
dt
Składowa wymuszona napięcia na kondensatorze równa jest napięciu na kondensatorze w stanie
ustalonym i wynosi:
Em
uCw = - cos(�t +� -�)
2
(5.38)
1+ (R�C)
gdzie:
-1
� = ar tg
�CR
13
Składową swobodną wyznaczamy z równania jednorodnego
duCs
RC + uCs = 0
(5.39)
dt
które ma postać
1
uCs = A �" eS t
(5.40)
a pierwiastek równania charakterystycznego wynosi
1
s1 = -
RC (5.41)
Zatem napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym
t
-
Em
RC
UC = UCw +UCs = cos(�t +� -�)+ A�"e
2
(5.42)
1+ (R�C)
Zakładając warunek początkowy zerowy: t =0, UC=0 oraz uwzględniając prawo komutacji UC(0-) =
UC(0+) otrzymamy:
Em
0 = - cos(� - �)+ A
2
(5.43)
1+ (R�C)
stąd
Em
A = cos(� - �)
2 (5.44)
1+ (R�C)
Ostatecznie przebieg napięcia na kondensatorze w stanie nieustalonym przyjmie postać
t
�ł -
Em
UC = UCw +UCs =
�ł- cos(�t +� -�)+ e RC cos(� -�)łł
śł
2
1+ (R�C)
�ł �ł
(5.45)
14
a wykres napięcia na kondensatorze z uwzględnieniem jego składowych przedstawiono na rys. 5.8.
Rys. 5.8 Wykres napięcia na kondensatorze w stanie nieustalonym
Przebieg prądu w obwodzie można wyznaczyć z zależności (5.36) oraz (5.45).
15