O teorii mnogości
Zbiory były podstawowymi obiektami w całym dotychczasowym wykładzie. Czytelnik zauwa\
ył być
mo\
e, \
e w trakcie wykładu często w sposób niejawny zakładaliśmy istnienie pewnych zbiorów czy
wykonalność określonych operacji na zbiorach. Pod koniec zmuszeni byliśmy odwoływać się do bardziej
zaawansowanych własności zbiorów. Dla wygody zainteresowanego czytelnika w tym rozdziale
naszkicujemy aksjomaty teorii mnogości Zermelo-Fraenkla z aksjomatem wyboru. Teorię tę oznacza się
skrótem ZFC. Zachęcamy te\
czytelnika do sięgnięcia do bardziej systematycznego wprowadzenia do tej
teorii.
Na początku przyjmujemy upraszczające zało\
enie, \
e wszystkie rozwa\
ane obiekty to zbiory. Okazuje
się, \
e pomimo tego zało\
enia zbiorów jest nadal wystarczająco du\
o, by przy ich pomocy zinterpretować
wszystkie pojęcia matematyczne.
Aksjomaty są dwóch rodzajów. Aksjomaty pierwszego rodzaju opisują własności zbiorów. Nale\
ą tu
aksjomaty ekstensjonalności i regularności oraz aksjomaty postulujące istnienie określonych zbiorów:
aksjomat nieskończoności i pewnik wyboru. Aksjomaty drugiego rodzaju gwarantują wykonalność
pewnych operacji na zbiorach. Nale\
ą tu aksjomaty pary, zbioru potęgowego, sumy i zastępowania (wraz
ze szczególnym przypadkiem: aksjomatem wyró\
niania). Poni\
ej podajemy te aksjomaty w wersji
potocznej i symbolicznej.
Aksjomat ekstensjonalności
Dwa zbiory są równe, gdy mają te same elementy.
Aksjomat pary
Dla ka\
dych istnieje zbiór .
Aksjomat zbioru potęgowego
Dla ka\
dego zbioru istnieje zbiór wszystkich podzbiorów zbioru .
gdzie jest skrótem dla: .
Aksjomat sumy
Dla ka\
dej rodziny zbiorów istnieje suma tej rodziny.
Aksjomat zastępowania
Jeśli jest funkcją zdaniową taką, \
e dla ka\
dego istnieje jedyne takie, \
e
, to istnieje zbiór . (Innymi słowy, funkcja zdaniowa definiuje funkcję.)
Aksjomat wyró\
niania
Jeśli jest funkcją zdaniową, to istnieje zbiór . (Ten aksjomat wynika z
aksjomatu zastępowania.)
Aksjomat nieskończoności
Istnieje zbiór nieskończony. Dokładniej, istnieje zbiór niepusty taki, \
e i dla ka\
dego
równie\
. Tu istnienie zbioru wynika z aksjomatów sumy i pary. W częściowo
sformalizowanej postaci mo\
emy ten aksjomat zapisać następująco:
Jest to równie\
jedyny aksjomat postulujący bezwarunkowe istnienie jakiegoś zbioru. Z jego
sformułowania mo\
na usunąć pojęcie zbioru pustego, wprowadzając dodatkowo pojęcie zbioru
tranzytywnego.
Aksjomat regularności
Ka\
dy zbiór niepusty ma element -minimalny.
Pewnik wyboru
Ka\
da rodzina zbiorów niepustych posiada funkcję wyboru.