Wszelkie prawa do zadań, plików i instrukcji są zastrzeżone, nikt poza prowadzącymi zajęcia i studentami IA na AGH
nie ma prawa ich wykorzystywać. A tych co mają takie prawa, proszę, aby nie umieszczali ich w innym miejscu w sieci.
INTERPOLACJA to poszukiwanie
wartos
ci pomiędzy więzami
Interpolacja jest zagadnieniem polegającym na znalezieniu funkcji, która na tyle dobrze
przybliżałaby inną, nieznaną, aby możliwe było wykorzystanie jej do obliczenia wartości f (x) dla
dowolnego xi nie będącego X.
yi=interp1(X,Y,xi,method) interpoluje wartości funkcji w punktach xi
X - wektor wartości X danych pomiarowych
Y - wektor wartości y=f(X) danych pomiarowych
xi - zwiększona ilość wartości X ( wielkość wektora X < wartości wektora xi)
yi - wartości interpolowane Y dla punktów xi daną metodą
method - metoda interpolacji
method = 'nearest'  metoda przybliżania wartości punktów przy pomocy wartości
najbliższego punktu
method = 'linear' - metoda przybliżania wartości punktów przy pomocy linii utworzonej
pomiędzy dwoma poszczególnymi punktami
method = 'spline' - metoda przybliżania wartości punktów przy pomocy wielomianu 3-go stopnia
pomiędzy punktami
method = 'pchip' or 'cubic' - metoda przybliżania wartości punktów przy pomocy wielomianu 3-
go stopnia Hermita
Zad 1. Dla następujących danych X=0:1:10; Y=sin(X) oraz xi=0:0.25:10 w jednym oknie
i na 4 wykresach proszę narysować (za pomocą czerwonej *) wartości pomiaru i wynik interpolacji
( za pomocą ciągłej linii).
W tytule proszę podać metodę interpolacji.
metoda:nearest
1 1
0.8 0.9
0.6 0.8
0.4 0.7
0.2 0.6
0 0.5
-0.2 0.4
-0.4 0.3
-0.6 0.2
-0.8 0.1
-1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1 1
0.9 0.9
0.8 0.8
0.7 0.7
0.6 0.6
0.5 0.5
0.4 0.4
0.3 0.3
0.2 0.2
0.1 0.1
0 0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Spline
yi = spline(X,Y,xi)
w wywołaniu mamy
wektor węzłów (muszą być uporządkowane rosnąco), wektor wartości funkcji interpolowanej
w węzłach oraz wektor wartości zmiennej niezależnej, dla których ma być obliczona funkcja
interpolująca.
wynikiem jest
wektor, którego kolejnymi współrzędnymi są wartości funkcji interpolującej
w wyspecyfikowanych punktach. W przypadku funkcji spline jest to funkcja
sklejana sześcienna.
pchip- interpolacja wielomianowa Hermite a
yi = pchip(X,Y,xi)
Zad 2. Proszę wyliczyć 5 wartości z krokiem co 1 dla dowolnej funkcji wykładniczej, logarytmicznej
i dla dowolnego wielomianu. Proszę dla każdej funkcji osobno porównać na wykresie interpolację za
pomocą funkcji spline interp1(& . spline ) i pchip. Proszę dołożyć legendę.
Funkcje interp2, interpn
to funkcje interpolujące w 2 wymiarach.
Zad 3. Za pomocą wcześniej poznanych metod interpolacji (nearest itp.) wykorzystując funkcje
interpolujące w dwóch wymiarach proszę przeprowadzić interpolację obrazka, który składa się
z wylosowanych wartości pixeli. Proszę sobie przypomnieć co oznaczają poszczególne
polecenia i proszę narysować poniższe obrazy w przestrzeni 3D.
figure(2)
subplot(2,2,1)
S=(3*rand(20,20));
imshow(S)
colormap jet(16)
xi=1:0.1:20;
yi=1:0.1:20;
[X Y]=meshgrid(xi,yi);
S1=interp2(S,X,Y,'spline');
subplot 222
imshow(S1)
colormap jet(16)
itp&
Zad 3A  dodatkowe  jak będziecie mieli czas to proszę do niego wrócić. Proszę interpolować
dowolnie wybraną przez Państwa funkcję z=f(x,y).
aproksymacja wielomianami
Aproksymacja to dopasowanie/przybliżenie/ zastępowanie jednych wielkości drugimi.
p=polyfit(x,y,r); - to aproksymacja za pomocą wielomianu
x, y  serie danych,
r  zadany stopień, wielomianu przybliżającego
przypomnienie z pierwszych zajęć  funkcja polyval oblicza wartość wielomianu o współczynnikach
zawartych w wektorze p ( wektor p uzyskujemy z polyfit) w punktach zawartych w wektorze xi .
yi = polyval(p,xi);
Niech poszukiwana jest krzywa opisana równaniem F(x) dla zadanej liczby punktów ( xi , yi ).
Aproksymacja stosowana jest wówczas, gdy ilość zadanych punktów m jest mniejsza od ilości
nieznanych współczynników n krzywej F(x). Zwykle nie można przeprowadzić krzywej przez wszystkie
punkty. Poszukiwana jest wówczas najbliższa krzywa w sensie minimum kwadratu błędu:
Zad 4. Na jednym wykresie proszę za pomocą wielomianów o stopniu 0,1,2 ,3,4,5 przybliżyć
następujące dane X=1:5 y=sin(X).
aproksymacja za pomocą narzędzia
cftool
Zad 5. Proszę aproksymować X=1:5 Y=cos(X) za pomocą narzędzia cftool.
Uwaga! Zmienne X i Y muszą być w pamięci komputera/ w przestrzeni Matlab a.
1. Wstawiamy dane do Data
2. Wykorzystując przycisk Fiting poszukujemy funkcji aproksymującej. Wartości współczynników
wpisane są do okna Result.
3. Zmieniając type of fit proszę poszukać funkcji, która najlepiej aproksymuje naszą funkcję.
aproksymacja za pomocą polecenia fit
f=fit(x,y, method)
zad 6. Niech x=1:5 a dla y proszę wylosować 5 liczb całkowitych o średniej 4 i odchyleniu
standardowym 3.
Proszę wyświetlić wartości jakie zwraca funkcja fit dla 3 dowolnych metod aproksymacji
wymienionych na stronie:
http://www.mathworks.com/help/curvefit/list-of-library-models-for-curve-and-surface-fitting.html
np. f=fit(x,y, exp1 ) itp
Proszę za pomocą wyliczonych przez funkcję fit wartości narysować wykresy funkcji otrzymanych
z aproksymacji.
Wskazówka:
dla General model Exp1:
f(x) = a*exp(b*x) % wzór fukcji aproksymującej
Coefficients (with 95% confidence bounds):
a = 2.593 (-8.487, 13.67) %aby użyć tej wartości należy napisać: f.a
b = -0.9712 (-4.394, 2.452) %aby użyć tej wartości należy napisać: f.b
jeśli chcemy narysować aproksymowany y to musimy go wyliczyć:
y_aprosymowany=f.a*exp(f.b*x);
EKSTRAPOLACJA to poszukiwanie
wartos
ci poza zakresem więzo
 w
Ekstrapolacja korzysta z poleceń interpolacji i aproksymacji.
zad 6. Cd proszę za pomocą interpolacji wielomianem i aproksymacji wybranymi wcześniej funkcjami
wyliczyć 3 kroki do tyłu ( dla x=-2,-1,0) i trzy kroki do przodu ( dla x=6,7,8). Wyniki proszę przedstawić
na kolejnym wykresie.