Interpolacja - aproksymacja
Ewa Skubalska-
Rafajłowicz
Wrocław 2009
Interpolacja
Interpolacja:
zachowuje bowiem wartości w wybranych punktach
(zwanych węzłami) pomiędzy funkcją, którą chcemy przybliżyć
(interpolowaną), a funkcją przybliżającą (interpolującą)
Zazwyczaj zależy nam dodatkowo, aby w punktach które nie są
węzłami przybliżenie było również jak najlepsze. Jako funkcje
interpolujące najczęściej wykorzystuje się wielomiany algebraiczne,
trygonometryczne lub funkcje wymierne.
Interpolacja wielomianowa
Interpolacja
Argumenty równoodległe
Różnice skończone
Przykład:
Interpolacja wstecz-wzór Newtona
Przykład:
Baza Czebyszewa
Przykład:
Interpolacja trygonometryczna
Inne ważne wielomiany:
Hermite`a
Laguerre`a
Bernsteina
Legendre`a
Zastosowania interpolacji:
Interpolacja zdecydowanie nie należy do tej części matematyki z którą
spotykamy się na co dzień, jednak stanowi ona nieocenione narzędzie.
Oto najpopularniejsze zastosowania interpolacji:
" zastępowanie skomplikowanego wzoru funkcji prostszym (np.
wielomianem)
" obliczanie wartości stablicowanej funkcji w punkcie różnym od
danych (szczególnie przydatne w przypadku tablic matematycznych,
pozwala to także na zmniejszenie rozmiaru tablic)
" rozwiązywanie równań f(x)=0 (interpolacja odwrotna)
" wiele innych metod numerycznych opiera się na metodach
interpolacyjnych, np. różniczkowanie i całkowanie numeryczne
Aproksymacja
Metoda najmniejszych kwadratów
Liniowe najmniejsze kwadraty
Warunek konieczny i dostateczny
minimum