Aproksymacja jest to przybliżanie, zastępowanie jednych wielkości drugimi. Aproksymacja może
dotyczyć dowolnych wielkości matematycznych  liczb, funkcji, krzywych, obszarów, wektorów,
macierzy. Zastępowanie danej wielkości inną obarczone jest pewnym błędem. Oszacowanie
wielkości błędu pozwala na ocenę, czy dane przybliżenie jest zadawalające, czy też nie.
(xi, yi )
Niech poszukiwana jest krzywa y = F(x) dla zadanej liczby punktów:
F(x) = c1 f1(x) + c2 f2(x) + ...+ cn fn(x)
jest opisana równaniem:
Aproksymacja stosowana jest wówczas, gdy ilość zadanych punktów m jest mniejsza od ilości
nieznanych współczynników n krzywej F(x).
Zwykle nie można przeprowadzić krzywej przez wszystkie punkty. Poszukiwana jest wówczas
najbliższa krzywa w sensie minimum kwadratu błędu.
Najbardziej podstawową i najprostszą metodą aproksymacji średniokwadratowej jest
f1(x) = x, f2(x) = 1
aproksymacja funkcją liniową czyli regresja liniowa. Wówczas:
f (x) = 1
Pozostałe funkcje:
j
Dla kolejnych punktów otrzymujemy:
Å„Å‚
x1 1 y1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ôÅ‚
c1x1 + c2 = y1 ïÅ‚
x2 1śł c1 ïÅ‚ y2 śł
ôÅ‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
c1x2 + c2 = y2 lub =
òÅ‚
ïÅ‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
î" c2śł î"
ðÅ‚ ûÅ‚
ôÅ‚ î"
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ôÅ‚
cnxm + c2 = ym ðÅ‚ xm 1ûÅ‚ ðÅ‚ ym ûÅ‚
ół
co można zapisać w postaci macierzowej Ac=y. Równanie to dla m>n nie ma dokładnego
rozwiÄ…zania, stÄ…d: r = y - Ac
gdzie: r  wektor pionowych odległości pomiędzy poszukiwaną krzywą a zadanymi punktami.
m
Szukane jest takie rozwiązanie, dla którego:
ri2 lub macierzowo rT r osiÄ…ga minimum.
"
i= 1
T
StÄ…d:
rT r = ( y - Ac) ( y - Ac)
= yT y - yT Ac - cT AT y + cT AT Ac
= yT y - 2yT Ac + cT AT Ac
d
Iloczyn ten osiągnie minimum jeśli:
(rT r) = 0 - AT y + AT Ac = 0
dc
stÄ…d:
(AT A)c = AT y
Powyższe równanie nazywane jest równaniem aproksymacji.
Aproksymacja funkcją liniową może okazać się nie wystarczająca wówczas, gdy między danymi
występuje bardziej złożona zależność. Stosuje się wówczas zazwyczaj aproksymację
wielomianem: W( x) = ar xr + ar - 1xr - 1 + ... + a1x + a0
którą w programie MATLAB można zrealizować przy pomocy funkcji polyfit: a=polyfit(x,y,r)
dla danych wektorów x i y wyznaczającej współczynniki wielomianu stopnia r przybliżającego
najlepiej w sensie średniokwadratowym zależność między serią danych x a y.