Politechnika ÅšlÄ…ska Gliwice
Wydział Automatyki, Elektroniki i Informatyki Rok akademicki 2008/2009
Kierunek: Automatyka i Robotyka sem.4 Semestr letni
Metody Numeryczne
Laboratorium
Ćw. 6: Aproksymacja
Wykonali:
Tomasz LITWIN,
Bartosz GUDOWSKI
Grupa 3, sekcja 1
Data odbycia ćwiczenia:
24.04.2009r.
1. Aproksymacja średniokwadratowa z użyciem wielomianów ortogonalnych:
Opis metody:
2
Daną funkcję f (x) " L [a,b] należy aproksymować z wagą p(x) funkcją q(x) o postaci :
p
i=n
q(x) = Õi (x)
"ci
i=0
2 2
gdzie: Õi (x) " L [a,b], i = 0, 1, ..., n sÄ… funkcjami tworzÄ…cymi ukÅ‚ad ortogonalny w L [a,b], tzn.
p p
b
0 dla i `" j
Å„Å‚
p(x)Õi (x)Õ (x)dx =
òÅ‚const dla i = j
j
+"
ół
a
Miara odległości pomiędzy funkcjami jest zdefiniowana wzorem:
b
D = p(x)[q(x) - f (x)]2 dx
+"
a
Współczynniki ci wyznaczamy z następującego wzoru (i = 0, 1, ..., n ):
b
1
ci = p(x)Õi (x) f (x)dx
+"
i a
gdzie:
b
i = p(x)Õi2 (x)dx
+"
a
Otrzymane w programie wielomiany:
1 stopnia: y = 0.841471
2 stopnia: y = 0.465261x2 + 0.996558
3 stopnia: y = 0.465261x2 + 0.996558
4 stopnia: y = 0.0039554375x4 + 0.43135725x2 + 0.999948375
5 stopnia: y = 0.0039554375x4 + 0.43135725x2 + 0.999948375
Wynik działania programu:
2. Metoda najmniejszych kwadratów(aproksymacja punktowa)
Opis metody:
Funkcję f(x) podaną w (n+1) punktach dyskretnych , (i=0,1,& ,n) należy aproksymować wielomianem
potęgowym o postaci:
gdzie m-stopień wielomianu aproksymującego (mPoszczególne niewiadome otrzymujemy rozwiązując układ równań.
Otrzymane w programie wielomiany:
1 stopnia: y = 1,8-0,4x
2 stopnia: y = 1,514286-0,4x+0,142857
3 stopnia: y = 1,514286-1,25x+0,142857 +0,25
4 stopnia: y = 4-1,25x-5,208333 +0,25 +1,208333
Wynik działania programu
3. Wnioski:
Wielomiany o stopniu powyżej trzeciego odwzorowują niemal idealnie przebieg funkcji w metodzie
aproksymacji średniokwadratowej. Przy stopniu wielomianu aproksymującego równym 2 i 3 można
jeszcze zauważyć gołym okiem różnice w przebiegu badanej funkcji i wielomianu aproksymującego ją.
W metodzie najmniejszych kwadratów widoczny jest wzrost dokładności aproksymacji wraz ze
zwiększaniem stopnia wielomianu aproksymującego. Dla maksymalnego stopnia wielomianu
aproksymującego jaki mogliśmy zastosować mając funkcję daną w pięciu punktach wielomian ten jest
jednocześnie wielomianem interpolacyjnym co doskonale widać na dołączonym wykresie.
4. Kody programów:
a) Aproksymacja średniokwadratowa
#include
#include
#include
double funka(double x)
{
return cos(x); //funkcja do aproksymacji
}
double legendre(double x, int n, int opcja)
{
int i;
double Pn[10];
Pn[0] = 1;
for(i = 0; i <= n; i++)
{
Pn[i+1] = ((2*i+1)*x*Pn[i]-i*Pn[i-1])/(i+1);
}
if(opcja == 1) return pow(Pn[n],2);
if(opcja == 2) return (Pn[n]*funka(x));
if(opcja == 3) return Pn[n];
}
//simpson
double simpson(double wezly[], double h, int ile_wezlow, int n, int opcja)
{
int i;
double suma = 0;
for(i = 0; i <= (2*ile_wezlow); i++)
{
if(i == 0 || i == (2*ile_wezlow)) suma += legendre(wezly[i],n,opcja);
else{
if(i%2 == 0) suma += 2*legendre(wezly[i],n,opcja);
if(i%2 != 0) suma += 4*legendre(wezly[i],n,opcja);
}
}
suma = (h/3.0)*suma;
return suma;
}
int main()
{
int n, i, ile_wezlow = 17;
double j, a = -1, b = 1, h, wezly[50];
double lambda[10], wsp_c[10], wynik;
//wyznaczanie wezlow do metody simpsona
h = (b-a)/(2*ile_wezlow);
for(i = 0; i <= (2*ile_wezlow); i++)
{
wezly[i] = i*h + a;
}
printf("Podaj n: ");
scanf("%d", &n);
//wyznaczanie wsp lambda (opcja simpson = 1) oraz wsp_c (opcja simpson = 2)
for(i = 0; i <= n; i++)
{
lambda[i] = simpson(wezly,h,ile_wezlow,i,1);
wsp_c[i] = simpson(wezly,h,ile_wezlow,i,2)/lambda[i];
printf("lambda[%d] = %lf\n",i,lambda[i]);
printf("wsp_c[%d] = %lf\n",i,wsp_c[i]);
}
//wynik, wartosci pktow funkcji aproksymujacej
FILE *out;
out = fopen("wynik.txt","wt");
for(j = -1; j <= 1; j+=0.1) //przedzial wartosci
{
wynik = 0;
for(i = 0; i <= n; i++)
 {
wynik += wsp_c[i]*legendre(j,i,3);
}
fprintf(out,"%lf,\n",wynik);
}
fclose(out);
system("pause");
return 0;
}
b) Metoda najmniejszych kwadratów
#include
#include
#include
int main()
{
double x[5]={-2,-1,0,1,2} , y[5]={3,1,4,-1,2}, S[9]={0}, T[9]={0}, a[9][9]={0},
z[9]={0},roznica=0;
int n=4,m,k,i,j;
printf("Podaj stopien wielomianu aproksymujacego\n");
scanf("%d",&m);
// obliczanie wartosci S
for(k = 0; k <= 2*m; k++)
{
for(i = 0; i <= n; i++)
{
S[k]+=pow(x[i],k);
}
// printf("S[%d] = %lf\n",k,S[k]);
}
// obliczanie wartosci T
for(k = 0; k <= m; k++)
{
for(i = 0; i <= n; i++)
{
T[k]+=pow(x[i],k)*y[i];
}
// printf("T[%d] = %lf\n",k,T[k]);
}
// stworzenie ukladu rownan
for( j = 1;j <= m+2;j++)
{
for( i = 1;i <= m+1;i++)
{
if(j <= m+1)
a[i][j]=S[i+j-2];
if(j == m+2)
a[i][j] = T[i-1];
// printf("Rownanie %lf\n",a[i][j]);
}
}
//rozwiazanie ukladu rownan metoda Gaussa
n = m+1;
for ( i = 1; i <= n; i++)
{
for (j = n+1; j >= i; j--)
{
a[i][j] = a[i][j] / a[i][i];
}
 for (k = i+1; k <= n; k++)
{
for (j = n+1; j >= i; j--)
{
a[k][j] -= a[i][j] * a[k][i];
}
}
}
roznica;
for(k = n;k >= 1;k--)
{
for(i = n-1;i >= k;i--)
{
roznica+=a[k][i+1]*z[i+1];
}
z[k] = a[k][n+1]-roznica;
printf("Wspolczynnik a[%d] = %lf\n",k-1,z[k]);
roznica=0;
}
system("pause");
return 0;
}