Przybliżanie funkcji  ZADANIE APROKSYMACJI
Aproksymacja funkcji f(x) polega na wyznaczeniu takich
współczynników a0, a1, ... ,am funkcji
F śąxźą=a0�ą0śąxźą�ąa1�ą1śą xźą�ą�ą�ąam�ąmśą xźą
gdzie są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej
�ą0 ,�ą1 ,�ą ,�ąm
podprzestrzeni liniowej Xm+1, aby funkcja F(x) spełniała pewne
warunki, np. minimalizowała normę różnicy
f śą xźą-F śą xźą
%" %"
f(x)  pewna funkcja, którą chcemy aproksymować,
X  pewna przestrzeń liniowa unormowana,
Xm  m-wymiarowa podprzestrzeń liniowa przestrzeni X.
1
Metody numeryczne  duży skrót wykładu, Szczecin - 2007-11-04
Przybliżanie funkcji
Typy aproksymacji:
aproksymacja punktowa (dyskretna)  zbiór dyskretny,
aproksymacja integralna  przedział (funkcja ciągła).
2
Metody numeryczne  duży skrót wykładu, Szczecin - 2007-11-04
Przybliżanie funkcji
Zadanie wyboru podprzestrzeni Xm i związanej z nią bazy
Podprzestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej m z bazą
jednomianów:
1, x , x2, x3,�ą , xm
Podprzestrzeń funkcji trygonometrycznych z bazą:
1, sinx ,cosx , sin2x , cos2x ,�ą, sinkx ,coskx
Podprzestrzeń funkcji ortogonalnych
Wybór bazy ma wpływ na koszt i dokładność obliczeń.
3
Metody numeryczne  duży skrót wykładu, Szczecin - 2007-11-04
Przybliżanie funkcji
Jak określić i dobrać współczynniki ak (k=0,1,...,m)?
F śąxźą=a0�ą0śąxźą�ąa1�ą1śą xźą�ą�ą�ąam�ąmśą xźą
Zadanie najlepszej aproksymacji przy wybranych funkcjach
bazowych sprowadza się do znalezienia wartości współczynników
ak takich, aby otrzymać minimum wyrażenia
f śą xźą-śąa0�ą0śąxźą�ąa1�ą1śą xźą�ą�ą�ąam�ąmśą xźąźą
%" %"
i aby istniało jedyne możliwe rozwiązanie tego zagadnienia ze
względu na ak.
4
Metody numeryczne  duży skrót wykładu, Szczecin - 2007-11-04
Aproksymacja średniokwadratowa
dla funkcji f(x) określonej na przedziale poszukujemy
minimum całki
b
F śą xźą- f śą xźą = w śąxźą F śą xźą- f śąxźą dx
%" %" [ ]2
+"
a
dla funkcji f(x) danej na dyskretnym zbiorze argumentów
poszukujemy minimum sumy (metoda najmniejszych kwadratów)
n
2
F śą xźą- f śą xźą = w śąxiźą śą xiźą- f śą xiźą
%" %"
"
[F ]
i=0
wśą xiźą�ą0 dla i=0,1 ,�ą,n
5
Metody numeryczne  duży skrót wykładu, Szczecin - 2007-11-04
Aproksymacja jednostajna
dla funkcji f(x) określonej na przedziale poszukujemy funkcji
F(x) dającej najmniejsze maksimum różnicy między F(x) a f(x) na
całym przedziale
F śą xźą- f śą xźą =sup#"F śą xźą- f śąxźą#"
%" %"
)#a , b*#
6
Metody numeryczne  duży skrót wykładu, Szczecin - 2007-11-04
Aproksymacja średniokwadratowa
�ąjśą xźą
Niech , j=0,1,...,m, będzie układem funkcji bazowych
podprzestrzeni Xn.
Poszukujemy wielomianu uogólnionego F(x), będącego najlepszym
przybliżeniem średniokwadratowym funkcji f(x) na zbiorze X=(xj)
m
F śąxźą= ai �ąiśą xźą
"
i=0
przy czym współczynniki ai są tak określone, aby
n
2
F śą xźą- f śą xźą = w śąxiźą śą xiźą- f śą xiźą Śą min
%" %"
"
[F ]
i=0
7
Metody numeryczne  duży skrót wykładu, Szczecin - 2007-11-04
Aproksymacja średniokwadratowa  jak obliczyć ak?
Obliczamy pochodne cząstkowe funkcji H względem zmiennych ak i
korzystamy z warunku występowania minimum
" H
=0, k =0,1 ,�ą,m
" ak
otrzymamy układ m+1 równań liniowych z m+1 niewiadomymi ai
n m
" H
=-2 w śąx źą f śą x źą- ai�ąiśą x źą �ąk śą x źą=0
" "
j j j j
[ ]
" ak
j=0 i=0
k=0,1 ,�ą,m
8
Metody numeryczne  duży skrót wykładu, Szczecin - 2007-11-04
Aproksymacja średniokwadratowa  jak obliczyć ak?
Normalny układ równań
n m
" H
=-2 w śąx źą f śą x źą- ai�ąiśą x źą �ąk śą x źą=0
" "
j j j j
[ ]
" ak
j=0 i=0
k=0,1 ,�ą, m
wyznacznik różny od zera,
rozwiązanie daje minimum funkcji H
9
Metody numeryczne  duży skrót wykładu, Szczecin - 2007-11-04
Aproksymacja średniokwadratowa - wielomianowa
baza  ciąg jednomianów xi, i=0,1,...,m
n m
f śą x źą- ai xij xkj=0
" "
j
[ ]
j=0 i=0
zmieniamy kolejność sumowania
n m n
f śą x źą xk= ai xij�ąk
" " "
j j
śą źą
j=0 i=0 j=0
k=0,1 ,�ą,m
10
Metody numeryczne  duży skrót wykładu, Szczecin - 2007-11-04
Aproksymacja średniokwadratowa - wielomianowa
Jeżeli x0,x1,...,xn są różne i md"n, to wyznacznik jest różny od zera,
a więc układ ma jednoznaczne rozwiązanie.
Jeżeli m = n to aproksymacja = interpolacji.
Jeżeli m = n to aproksymacja = interpolacji.
W praktyce stopień wielomianu (m) jest i powinien być
znacznie mniejszy od liczby punktów (n), korzystamy wtedy z
dużej ilości informacji uzyskując proste (niskiego stopnia)
funkcje aproksymujące.
11
Metody numeryczne  duży skrót wykładu, Szczecin - 2007-11-04
Aproksymacja średniokwadratowa  wielomiany ortogonalne
Funkcje f(x) i g(x) nazywamy ortogonalnymi na dyskretnym
zbiorze punktów x0,x1,...,xn jeśli
n
f śą xiźą g śąxiźą=0
"
i=0
przy czym
n n
[ f śąxiźą]2ą0 [ g śą xiźą]2ą0
" "
i=0 i=0
12
Metody numeryczne  duży skrót wykładu, Szczecin - 2007-11-04
Aproksymacja średniokwadratowa  wielomiany ortogonalne
Ciąg funkcyjny
�ąmśą xźąa"�ą0śą xźą ,�ą1śą xźą ,�ą,�ąmśą xźą ,�ą
nazywamy ortogonalnym na zbiorze punktów x0,x1,...,xn, jeśli
n
�ą śąxiźą�ąk śą xiźą=0, dla j`"k
"
j
i=0
n
�ą2śąxiźąą0
"
j
i=0
(nie wszystkie punkty xi są miejscami zerowymi rozpatrywanych funkcji)
13
Metody numeryczne  duży skrót wykładu, Szczecin - 2007-11-04