METODY NUMERYCZNE
Wykład 1
INTERPOLACJA I APROKSYMACJA
Wykład opracowano na podstawie podręcznika:
Steven C. Chapra, Raymond P. Canale  Numerical methods for engineers
McGraw-Hill Book Company 1998.
8 8
y y
b)
a)
6 6
a) przykładowe
4 4
wyniki pomiarów
2 2
b) interpolacja
liniowa
x x
0 0
02468 02468
8 8 c) interpolacja
y y
krzywoliniowa
c)
d)
6 6
d) aproksymacja
4 4
liniowa
2 2
x x
0 0
02468 02468
2
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
INTERPOLACJA LINIOWA
8
y
y1
6
f1(x)
4
y0
2
x
x
0
0
x0
x1
0 x
02468
f1 x - y0
( ) y1 - y0
=
x - x0 x1 - x0
y1 - y0
f1 x = y0 + (x - x0) (1.1)
( )
x1 - x0
3
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
" Przykład 1.1
Wyznaczyć przybliżoną wartość ln 2 wykorzystując interpolację liniową.
Znamy wartość ln 2 = 0.69314718
4
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
a) Interpolacja przy wykorzystaniu punktów x0 = 0 oraz x1 = 6
ln1 = 0, ln 6 =1.7917595
1.7917595 - 0
Wykorzystując wzór (1.1): f1 2 = 0 + (2 -1) = 0.35835190
( )
6 -1
0.69314718 - 0.35835190
Błąd obliczeń: �100 = 48.3%
0.69314718
b) Interpolacja przy wykorzystaniu punktów x0 = 0 oraz x1 = 4
1.3862944 - 0
f1 2 = 0 + (2 -1) = 0.46209813
( )
4 -1
0.69314718 - 0.46209813
Błąd obliczeń: �100 = 33.3%
0.69314718
5
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
INTERPOLACJA PARABOLICZNA
Dowolną krzywą zastępujemy parabolą (wielomianem drugiego stopnia) łączącą
trzy punkty.
f2 x = b0 + b1(x - x0) + b2(x - x0)(x - x1) (1.2)
( )
f2 x = b0 + b1x - b1x0 + b2x2 + b2x0x1 - b2xx0 - b2xx1
( )
lub
f2 x = a0 + a1x + a2x2
( )
gdzie a0 = b0 - b1x0 + b2x0x1
a1 = b1 - b2x0 - b2x1
a2 = b2
Wyznaczenie parametrów b0, b1, b2:
Podstawiając do (1.2) x = x0 otrzymamy
b0 = f (x0) (1.3)
6
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
Podstawiając do (1.2) x = x1 otrzymamy
f (x1) - f (x0)
b1 = (1.4)
x1 - x0
Wykorzystując policzone parametry i podstawiając x = x2 otrzymamy
f (x2) - f (x1) f (x1) - f (x0)
-
x2 - x1 x1 - x0
b2 = (1.5)
x2 - x0
Interpretacja poszczególnych parametrów:
b0  prosta pozioma
b1  nachylenie prostej łączącej punkty x0 i x1
b2  dodatek nieliniowy (paraboliczny) b2(x - x0)(x - x1)
Zwróćmy uwagę, że wzór (1.2) jest podobny do rozwinięcia w szereg Taylora.
7
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
" Przykład 1.2
Wyznaczyć przybliżoną wartość logarytmu z 2 wykorzystując interpolację
paraboliczną (kwadratową). Dane są trzy punkty:
x0 = 1, f (x0) = 0
x1 = 4, f (x1) = 1.3862944
x2 = 6, f (x2) =1.7917595
Rozwiązanie:
Ze wzoru (1.3): b0 = 0
8
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
f (x1) - f (x0) 1.3862944 - 0
Ze wzoru (1.4): b1 == = 0.46209813
x1 - x0 4 -1
Ze wzoru (1.5):
f (x2) - f (x1) f (x1) - f (x0)
-
x2 - x1 x1 - x0
b2 ==
x2 - x0
1.7917595 -1.3862944 1.3862944 - 0
-
6 - 4 4 -1
== -0.051973116
6 -1
Wstawiając obliczone parametry do (1.2) otrzymamy
f2 x = 0 + 0.46209813(x -1) - 0.051873116(x -1)(x - 4)
( )
Podstawiając x =2 mamy f2 2 = 0.56584436
( )
0.69314718 - 0.56584436
Błąd obliczeń: �100 =18.4%
0.69314718
9
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
INTERPOLACJA WIELOMIANEM (Newtona)
Interpolacja wielomianem n-tego stopnia (do jego określenia potrzebne jest n+1
współrzędnych punktów):
fn x = b0 + b1(x - x0) + ... + bn(x - x0)(x - x1)...(x - xn-1) (1.6)
( )
Wyznaczenie parametrów b0, b1, ... + bn
b0 = f (x0) (1.7)
b1 = f [x1, x0] (1.8)
b2 = f [x2, x1, x0] (1.9)
. . .
bn = f [xn, xn-1, ... , x1, x0] (1.10)
gdzie
10
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
f (xi ) - f (xj )
f [xi, xj ] = (1.11)
xi - xj
f [xi, xj ]- f [xj , xk ]
f [xi, xj , xk ] = (1.12)
xi - xk
oraz ostatni parametr
f [xn, xn-1,..., x1]- f [xn-1, xn-2,..., x0]
f [xn, xn-1, ... , x1, x0] = (1.13)
xn - x0
Wielomian interpolacyjny  wzór ogólny
fn x = f (x0) + (x - x0) f [x1, x0]+ (x - x0)(x - x1) f [x2, x1, x0]
( )
(1.14)
+ ... + (x - x0)(x - x1)...(x - xn-1) f [xn, xn-1,..., x0]
Zauważmy, że współrzędne punktów nie muszą być w żaden sposób
uporządkowane (np. rosnąco). Ponadto otrzymaliśmy pewien ciąg rekurencyjny
(wielomiany wyższego stopnia są określone przez stopnie niższe), który ułatwia
oprogramowanie.
11
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
ixi f (xi ) 1o 2o 3o
0 x0 f (x0) f [x1, x0] f [x2, x1, x0] f [x3, x2, x1, x0]
1 x1 f (x1) f [x2, x1] f [x3, x2, x1]
2 x2 f (x2) f [x3, x2]
3 x3 f (x3)
Schemat obliczania wielomianów interpolacyjnych stopnia od 1 do 3
12
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
" Przykład 1.3
Wyznaczyć przybliżoną wartość logarytmu z 2 wykorzystując interpolację
wielomianem trzeciego stopnia. Oprócz trzy poprzednich punktów, dany jest
kolejny:
x0 = 1, f (x0) = 0
x1 = 4, f (x1) = 1.3862944
x2 = 6, f (x2) =1.7917595
x3 = 5, f (x3) =1.6094379
13
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
Rozwiązanie:
Wzór interpolacyjny (wielomian 3-go stopnia):
f3 x = b0 + b1(x - x0) + b2(x - x0)(x - x1) + b3(x - x0)(x - x1)(x - x2)
( )
Wykorzystujemy wzór (1.11)
1.3862944 - 0
f [x1, x0] == 0.46209813
4 -1
1.7917595 -1.3862944
f [x2, x1] == 0.20273255
6 - 4
1.6094379 -1.7917595
f [x3, x2] == 0.18232160
5 - 6
nastepnie (1.12)
0.20273255 - 0.46209813
f [x2, x1, x0] == -0.051873116
6 -1
0.18232160 - 0.20273255
f [x3, x2, x1] == -0.020410950
5 - 4
14
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
oraz ostatni parametr
-0.020410950 - (-0.051873116)
f [x3, x2, x1, x0] == 0.0078655415
5 -1
Ostatecznie funkcja interpolacyjna
f3 x = 0 + 0.46209813(x -1) - 0.051873116(x -1)(x - 4)
( )
+ 0.0078655415(x -1)(x - 4)(x - 6)
Możemy wyznaczyć ln w punkcie 2
f3 2 = 0.62876869
( )
Błąd obliczeń wyniesie 9.3%.
Podsumowanie: interpolacja polegała na sformułowaniu równania, które
będzie przechodzić przez wszystkie znane punkty. Jeżeli dane (punkty)
wyznaczone są z błędami (a takimi zazwyczaj są dane pomiarowe) takie
postępowanie prowadzi do sfałszowania obrazu.
15
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
6
f (x)
4
2
x
0
02468
f (x) f (x)
8 8
6 6
4 4
2 2
x x
0 0
02468 02468
Zbiór siedmiu punktów oraz interpolacja wielomianem (6 stopnia) oraz
aproksymacja prostą
16
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
APROKSYMACJA  REGRESJA LINIOWA
Chcemy narysować prostą, która ma jak najlepiej odwzorować dany zbiór
punktów (obserwacji).
Przyjmujemy równanie prostej:
y = a0 + a1x + e (1.15)
gdzie e jest błędem pomiędzy przyjętym
równaniem prostej a danym punktem.
W celu dopasowania jak najlepszego
równani (współczynniki a0 i a1) będziemy
minimalizowali sumę błędów e.
Możemy to zrobić następująco:
nn
"e = "(y - a0 - a1xi )
ii
i=1 i=1
gdzie n jest liczbą punktów.
17
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
Rysunek obok wyjaśnia dlaczego tego typu wybór będzie jednak błędny. Linia
czerwona (przechodząca przez punkt środkowy) także spełnia minimum.
Inna możliwość:
nn
ei = yi - a0 - a1xi
""
i=1 i=1
Powyższe równanie także jest niewłaściwe (rysunek), gdyż wszystkie proste
pomiędzy prostymi przerywanymi obarczone są takim samym błędem.
18
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
Kolejna możliwość to tzw. kryterium minimax, które minimalizuje największe
odległości pomiędzy punktami. Wpływ punktów o dużych błędach jest
niewłaściwy.
Najwłaściwszym kryterium jest minimalizacja sumy kwadratów błędów
(metoda najmniejszych kwadratów):
nn
2
2
Sr = yi - a0 - a1xi (1.16)
()
"e = "
i
i=1 i=1
W tym celu należy obliczyć odpowiednie pochodne
n
"Sr
=-2 yi - a0 - a1xi
()
"
"a0
i=1
n
"Sr
=-2
()
"Ą# yi - a0 - a1xi xi ń#
Ł#Ś#
"a1
i=1
i przyrównać je do zera:
0 = yi -
" "a -"a xi
01
19
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
 0 = yixi -
" "a xi -"a xi2
01
Podstawiając
"a = na0 otrzymamy układ równań z dwiema niewiadomymi
0
a0 i a1
na0 + yi
"x a1 = "
i
2
yixi
"x a0 +"x a1 = "
ii
Po rozwiązaniu otrzymamy
n yi
"x yi -"x "
i i
a1 = (1.17)
2
2
n
()
"x - "x
ii
11
a0 = yi - a1 (1.18)
""x = y - a1x
i
nn
20
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
Gdzie x oraz y są średnimi x i y.
" Przykład 1.4
Wyznacz prostą aproksymującą dane z dwóch pierwszych kolumn tabeli
xi yi
1.0 0.5
2.0 2.5
3.0 2.0
4.0 4.0
5.0 3.5
6.0 6.0
7.0 5.5
Rozwiązanie:
Obliczamy kolejno:
2
n = 7,
"x yi =119.5, "x = 140
i i
21
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
28
x == 4
"x = 28,
i
7
24
yi = 24, y == 3.428571429
"
7
7(119.5) - 28(24)
a1 == 0.839285714
7(140) - 282
a0 = 3.428571429 - 0.839285714(4) = 0.07142857
Ostateczne równanie prostej uzyskane metodą najmniejszych kwadratów:
y = 0.07142857 + 0.839285714x
f (x)
8
6
4
2
x
0
02468
22
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
REGRESJA LINIOWA  BA

DY OBLICZEC

Metoda najmniejszych kwadratów wyznacza równanie prostej w sposób
jednoznaczny.
Poszukujemy dodatkowych własności wyznaczonego równania.
Wracamy do równania błędów:
nn
2
2
Sr = yi - a0 - a1xi (1.19)
()
"e = "
i
i=1 i=1
Wyrażenie (yi - a0 - a1xi ) jest odległością pomiędzy punktem z doświadczenia
(np. pomiarem) a punktem na prostej regresji (rysunek poniżej).
23
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
Zauważmy ponadto, że:
1) rozproszenie punktów danych jest podobne w całym zakresie,
2) to rozproszenie może być opisane rozkładem normalnym
Wtedy możemy wykorzystać znane wzory z rachunku prawdopodobieństwa.
Odchylenie standardowe (standardowy błąd) linii regresji można wyznaczyć
następująco
Sr
Sy / x = (1.20)
n - 2
Oznaczenie Sy / x oznacza, że błąd dotyczy przewidywanej wartości y dla danej
wartości x.
W mianowniku mamy (n - 2), gdyż do wyznaczenia Sr wykorzystywaliśmy dwa
parametry a0 i a1.
Ponadto zauważmy, że nie istnieje  rozproszenie danych dookoła prostej
poprowadzonej przez dwa punkty. A więc po wstawieniu n = 2 mamy dzielenie
przez 0.
24
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
Porównanie rozproszenia (rozkładu)
Powinniśmy także porównać jakość naszego dopasowania krzywej, które np.
będzie różne dla różnych danych opisanych tą samą prostą regresji (rysunek).
25
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
Pozwala na to współczynnik determinacji:
St - Sr
r2 = (1.21)
St
gdzie St jest sumą kwadratów dookoła wartości średniej
yi
2
"
St =
"(y - y) , y =
i
n
Można też wyznaczyć współczynnik korelacji:
r = r2 (1.22)
Dla Sr = 0, r = r2 = 1 mamy 100% odwzorowanie wyników.
Alternatywny wzór pozwalający wyznaczyć współczynnik korelacji:
n
"x yi -"x "x
i i i
r = (1.23)
22
n yi2 - yi yi
() ()
""n yi2 -
""
26
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
" Przykład 1.5
Wyznacz odchylenie standardowe,
7
St =
"(y - y)2 = 22.7143
i
i=1
7
2
Sr = yi - a0 - a1xi = 2.9911
()
"
i=1
Sr 2.9911
Sy / x == = 0.7735
n - 27 - 2
St - Sr 22.7143 - 2.9911
r2 == = 0.868
St 22.7143
r = 0.868 = 0.932
Uzyskana wielkość r2 = 0.868 oznacza, że 86.8% oryginalnego rozproszenia
danych zostało uwzględnione w modelu.
Dodatkowo można wyznaczyć globalne odchylenie standardowe
St 22.7143
Sy == =1.9457. Zauważmy, że Sy / x < Sy
n -17 -1
27
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
REGRESJA WIELOMIANOWA
Często nie jest możliwe przyjęcie prostej, jako funkcji odwzorowującej dane.
Można wtedy zastosować regresję wielomianową.
y = a0 + a1x + a2x2 +...+ amxm + e
Suma błędów
n
Sr = -...- amxim)2 (1.24)
"(y - a0 - a1xi - a2xi2
i
i=1
Obliczamy kolejne pochodne:
n
"Sr
=-2 -...- amxim)
"( yi - a0 - a1xi - a2xi2
"a0
i=1
n
"Sr
=-2 -...- amxim)
"x (yi - a0 - a1xi - a2xi2
i
"a1
i=1
&
n
"Sr
m
=-2 -...- amxim)
"x ( yi - a0 - a1xi - a2xi2
i
"am
i=1
28
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
Po przyrównaniu do zera otrzymamy
2 m
a0n + a1ii yi
"x + a2"x +...+ am"x = "
i
23 m+1
a0
"x + a1"x + a2"x +...+ am"x = "x yi
ii i i i
2 4 m+2 2
a0 xi3 + a2
"x + a1""x +...+ am"x = "x yi
i i i i
&
mm+1 m+2 2m m
a0
"x + a1"x + a2"x +...+ am"x = "x yi
ii i i i
Mamy (m + 1) niewiadomych a0, a1, a2, ... , am.
Należy rozwiązać układ (m + 1) liniowych równań.
Błąd wyznaczamy z następującego wzoru
Sr
Sy / x =
n - (m +1)
Gdzie m jest stopniem wielomianu.
Stopień swobody: (m + 1).
29
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
" Przykład 1.5
Wyznacz wielomian drugiego stopnia opisujący dane z tabeli.
xi yi
0.0 2.1
1.0 7.7
2.0 13.6
3.0 27.2
4.0 40.9
5.0 61.1
Rozwiązanie:
Obliczamy kolejno:
m = 2, n = 6, x = 2.5, y = 25.433
2 3
yi =152.6,
"x =15, " "x = 55, "x = 225
i i i
30
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
4 2
"x = 979, "x yi = 585.6, "x yi = 2488.8
i i i
80
Układ równań liniowych
y
6a0 +15a1 + 55a2 = 152.6
60
15a0 + 55a1 + 255a2 = 585.6
40
55a0 + 225a1 + 979a2 = 2488.8
Po rozwiązaniu
20
a0 = 2.47857
x
0
a1 = 2.35929
012345
a2 = 1.86071
Ostateczne równanie krzywej regresji:
y = 2.47857 + 2.35929x +1.86071x2
31
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
Błędy:
6
St =
"(y - y)2 = 2513.39
i
i=1
6
2
Sr = yi - a0 - a1xi - a2xi2 = 3.74657
()
"
i=1
Odchylenie standardowe
Sr 3.74657
Sy / x == =1.12
n - (m +1) 6 - (2 +1)
Współczynnik determinacji
Sr - St 2513.39 - 3.74657
r2 == = 0.99851
St 2513.39
Współczynnik korelacji
r = r2 = 0.99851 = 0.99925
32
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
" Przykład 1.6
Dokonaj aproksymacji mając dany zbiór danych empirycznych przedstawione w
tabeli (zatrudnienie w przemyśle w zależności od dochodu).
xi yi
100
2.0 12.0 f (x)
1.2 8.0
80
14.8 76.4
8.3 17.0
60
8.4 21.3
3.0 10.0
40
4.8 12.5
15.6 97.3
20
16.1 88.0
x
11.5 25.0 0
048 12 16 20
14.2 38.6
14.0 47.3
33
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
100
100
f (x)
f (x)
80
80
60
60
40
40
20
20
x
x
0
0
0 4 8 121620 0 4 8 121620
a) b)
a) Aproksymacja prostą oraz wielomianami stopnia 2 (kolor niebieski), 3 (kolor
pomarańczowy) oraz 4 (kolor zielony)
b) Aproksymacja funkcją wykładniczą y = abx. Jak zostały obliczone parametry
a i b.
34
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
2
Jeżeli zapiszemy logarytm funkcji
log y
wykładniczej y = abx otrzymamy:
log y = log a + x log b
1.6
czyli równanie prostej
Y = A + x B
Możemy zastosować standardowe
1.2
działania wyznaczając A = loga oraz
B = logb.
x
Równanie prostej
0.8
log y = 0.8063 + 0.0653x
048 12 16 20
Należy sprawdzić czy współczynnik
korelacji jest dostatecznie bliski 1.0.
Będzie to świadczyć o dobrym lub
złym odwzorowaniu funkcji:
rlog y, x = 0.959
Ostatecznie funkcja aproksymująca y = 6.401�1.162x
35
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
" Przykład 1.7
Dokonaj aproksymacji mając dany zbiór danych empirycznych przedstawione w
tabeli.
120
xi yi
y
5.8 48.8
6.3 58.2
100
6.5 59.9
6.8 62.7
80
7.6 72.3
8.0 82.1
8.0 82.5
60
8.5 93.5
x
8.7 99.1
40
8.6 100.0
56789 10
9.0 114.6
9.1 115.2
36
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
Rozpatrzmy inną funkcję: y = axb
W celu wykorzystania wzorów regresji liniowej zapiszemy ją następująco
log y = log a + b log x (Y = A + bX , Y=log y, X=log x)
log y log x 2.1
log y
0.7634 1.6884
2
0.7993 1.7649
0.8129 1.7774
1.9
0.8325 1.7973
1.8
0.8808 1.8591
0.9031 1.9143
1.7
0.9031 1.9165
log x
0.9294 1.9708
1.6
0.9395 1.9961
0.76 0.8 0.84 0.88 0.92 0.96
0.9345 2.0
rlog y,log x = 0.985
0.9542 2.0591
log y = 0.2881+1.8233log x
0.9590 2.0614
37
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
Ostatecznie otrzymamy: y =1.941x1.823
120
120
y
y
100
100
80
80
60
60
x
x
40
40
56789 10 56789 10
Jednak stosując w tym przypadku funkcję y = abx (linia czerwona) uzyskamy
podobny przebieg.
38
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
UWAGA:
Od nas zależy jakie funkcje przyjmiemy jako funkcje aproksymujące nasze
dane.
Rozpatrzmy jeszcze raz funkcję: y = axb
Warto jednak wiedzieć jakiego wykresu aproksymującego możemy się
spodziewać dobierając odpowiednio parametry .
39
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
y = ax-b
Inne liniowe transformacje:
1
= a - bx
y
b < 0
40
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
1
= a - bx
y
b
y = a -
x
41
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
Programy komercyjne
Inne możliwości dostępne w wielu komercyjnych programach, np. Statistica,
Grapher, Excel, Matlab.
120
y
120
y
100
100
80
80
60
60
x
x
40
40
56789 10 56789 10
Spline smoothing Running average i Weighted average
42
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
REGRESJA WIELOWYMIAROWA
R2840
0.6
20
0
0.4
0.5
0.5
mos
0.6
0.6
0.7
0.7
0.8
0.8
0.2
w/c
w/c
0.9
0.9
1
1
43
Metody Numeryczne " 1. Interpolacja i aproksymacja " Jarosław Górski " Politechnika Gdańska " WILiŚ " Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998