Doświadczenie M9
WAHADŁO REWERSYJNE

Wahadło matematyczne jest to punkt materialny o masie m zawieszony na
nierozciągliwej i nieważkiej nici o długości l. Okres drgań tego wahadła jest
określony wzorem:

l
długość wahadła
g
przyspieszenie ziemskie

Wahadło fizyczne jest to ciało sztywne dowolnego kształtu mogące się wahać
wokół osi poziomej znajdującej się powyżej środka masy.
Oba wahadła, matematyczni i fizyczne, wykonują drgania pod działaniem siły
ciężkości.
W zakresie małych amplitud ruch ten jest ruchem harmonicznym prostym i jego
równanie wygląda następująco:

gdzie:
I
moment bezwładności ciała względem osi obrotu
�
kąt wychylenia z położenia równowagi
d
odległość od punktu zawieszenia do środka ciężkości
Częstość kołowa drgań wahadła:

i

stąd wynika, że:


Dla każdego wahadła fizycznego można dobrać taką długość wahadła
matematycznego, że ich okresy wahań są równe. Długość zredukowana wahadła
fizycznego jest to długość jaką ma wahadło matematyczne o takim samym okresie
wahań. Długość tą można obliczyć porównując ze sobą wzory:

oraz

Długość zredukowana wahadła wynosi więc:



Wahadła rewersyjne pozwala na wyznaczenie wartości przyspieszenia ziemskiego
bez znajomości masy, momentu bezwładności i położenia środka masy wahadła.
Posiada ono dwa punkty zawieszenia, którym odpowiada ten sam okres drgań, przy
czym odległość między tymi punktami jest równa lz.
Jeśli oś obrotu umieszczona jest w punkcie O, to okres wahań będzie wynosił:

Io
moment bezwładności wahadła względem punktu O.
Kiedy obrócimy wahadło tak, że oś obrotu będzie umieszczona w punkcie Oł,
leżącym w odległości lz od punktu O, to okres wahań będzie wynosił:


Momenty bezwładności względem osi przechodzących przez punktu O i Oł można
wyrazić przez moment bezwładności IC względem osi równoległej przechodzącej
przez środek masy. Na podstawie twierdzenia Steinera:

oraz

zatem

Na podstawie wzoru na długość wahadła zredukowanego:

czyli

ostatecznie:

Wynika z tego, że TO = TOł.


Wartość przyspieszenia ziemskiego można obliczyć przekształcając wzór na okres
wahań:



Opis układu doświadczalnego.
Układ doświadczalny składa się z wahadła rewersyjnego. Na nim osadzone są dwie
metalowe kule M1 oraz M2. Na pręcie wahadła przyczepiona została miarka
umożliwiająca dokładne ustalenie długości wahadła. Podczas doświadczenia masa
M1 została zawieszona na wysokości 10 cm, a następnie zmierzono czas 10 okresów
drgań wokół osi. Po tym zmierzono czas 10 drgań wokół osi dla punktu Oł.
Soczewka była przesuwana co 8 cm, za każdym razem mierzony był czas 10 drgań
wokół osi dla punktów O i Oł. Aby dokładnie ustalić odległość między hO i hOł
zmierzono czas 10 drgań przesuwając soczewkę M1 co 1 cm od 9 cm do 11 cm i od
105 cm do 107 cm (są to punkty przecięcia wykresów krzywych).

Wyniki pomiarów
h [cm]
TO [s]
TOł [s]
10
32,2
22,59
18
21,28
22,11
26
19,78
19,81
34
18,49
21,79
42
18,08
19,46
50
18,56
19,37
58
18,69
21,55
66
19,09
21,54
74
19,56
21,49
82
20,1
21,53
90
20,9
21,73
98
21,47
21,92
106
22,05
22,38
114
22,77
22,81


Dokładność odczytu wysokości h wynosi 0,1 cm, dokładność pomiaru okresów drgań

0,01 s.

Pomiary co 1 cm zostały przeprowadzone w punktach 9, 10, 11 cm oraz 105, 106,
107 cm .

h [cm]
To [s]
Toł [s]
9
34,25
22,68
10
32,72
22,73
11
30,24
21,9

h [cm]
TO [s]
TOł [s]
105
24,64
23,86
106
22,83
22,91
107
22,07
22,69

W związku z tym ho = 10 cm i hoł = 106 cm.
Trzykrotne pomiary 50-ciu okresów drgań dla tych wysokości wynoszą:

ho = 10 cm
Lp
TO [s]
TOł [s]
1
2,25,95
1,52,79
2
2,22,43
1,55,20
3
2,38,33
1,57,61


HOł = 106 cm
Lp
TO [min]
TOł [min]
1
1,52,57
1,51,27
2
1,57,38
1,55,38
3
1,45,40
1,47,08

Niestety, rozbieżności pomiędzy wartościami dla 10-ciu okresów i dla 50-ciu
okresów są zbyt duże. Prawdopodobnie został popełniony błąd gruby, w związku z
czym wyniki dla 50-ciu okresów nie będą brane pod uwagę.
Odległość między ostrzami = lZ = 96 cm


Opracowanie wyników
Średnie wartości dla pojedynczego okresu
hO = 10 cm
TO [s]
TOł [s]
3,27
2,27

hOł = 106 cm

TO [s]
TOł [s]
2,28
2,29

Korzystając ze wzoru na średnią arytmetyczną:

obliczono średni czas trwania okresu dla długości zredukowanej lZ:


Po podstawieniu oraz lZ do wzoru na wartość przyspieszenia ziemskiego otrzymano
wartość:
g = 5,92663514398 m/s2

Rachunek błędów.
Odchylenie standardowe serii pomiarów Ti zostało obliczone ze wzoru:

a niepewność standardowa ze wzoru:


ST = 2,917209 s
u(T) = 0,551301 s

Błąd pomiaru długości zredukowanej lZ:


Niepewność pomiaru przyspieszenia ziemskiego g obliczono korzystając z wzoru na
złożoną niepewność standardową:


Porównanie wyniku z wartością tablicową.
Wartość tablicowa przyspieszenia ziemskiego wynosi g=9,80665 m/s2.
Dla poziomu ufności 0,95 współczynnik rozszerzenia k=1,96.
Dla tak wyznaczonego współczynnik rozszerzenia:


Zatem:
g=[5,93ą0,86] m/s2

Wnioski.
Otrzymany wynik nie jest zgodny z wartością tablicową. Czynnikami wpływającymi
na ten wynik była nieprawidłowa wartość hO, niestety nie można było powtórzyć
doświadczenia ze względu na ograniczony czas trwania zajęć. Do pozostałych
czynników należą: brak informacji na temat kąta wychylenia wahadła oraz czas
reakcji osób przeprowadzających pomiary.









Wykres 10T=f(h) dla wahań na obu ostrzach.