M0/II - 09
M0/II - 09
M0/II - 09
M0/II - 09
METODY OPTYMALIZACJI
OPTYMALIZACJA LINIOWEJ FUNKCJI CELU Z LINIOWYMI OGRANICZENIAMI
(Metoda Simplex)
Wyznaczyć ekstrema funkcji celu f (x1, x2 , x3 ) = 4x1 + 2x2 - x3 wiedząc, że zmienne decyzyjne mogą
przyjmować wartości nieujemne i spełniają następujące ograniczenia:
x1 + x2 + x3 e" 8, x2 + x3 = 10, x1 + x2 + 2x3 d" 30
> with(simplex);
> f:=4*x1+2*x2-x3;
> r1:=x1+x2+x3>=8; r2:=x2+x3=10; r3:=x1+x2+2*x3<=30; r4:=x1>=0;
r5:=x2>=0; r6:=x3>=0;
> p_max:=maximize(f,{r1,r2,r3,r4,r5,r6});
> maximize(f,{r1,r2,r3},NONNEGATIVE); # wykorzystanie opcji NONNEGATIVE
> p_min:=minimize(f,{r1,r2,r3,r4,r5,r6});
> minimize(f,{r1,r2,r3},NONNEGATIVE); # wykorzystanie opcji NONNEGATIVE
> subs(p_max,f); seq(evalb(subs(p_max,r||i)),i=1..6);
> subs(p_min,f); seq(evalb(subs(p_min,r||i)),i=1..6);
OPTYMALIZACJA NIELINIOWEJ FUNKCJI CELU BEZ OGRANICZEC

1 1
�ł
Wyznaczyć ekstrema funkcji celu f (x, y) = x - 2x2 + x3 +1�ł�ł y - 2y2 + y3 +1�ł , oraz określić ich
�ł �ł�ł �ł
2 2
�ł łł�ł łł
charakter (minimum, maksimum, punkt siodłowy). Wyznaczyć wartość funkcji w punktach
ekstremalnych.
1) Wprowadzenie danych, oraz określenie warunków koniecznych i wystarczających istnienia ekstremum
> f:=(x-2*x^2+1/2*x^3+1)*(y-2*y^2+1/2*y^3+1);
> zmienne:=[x,y]; n:=nops(zmienne);
Warunki konieczne istnienia ekstremum
> for i to n do
r||i:=diff(f,zmienne[i])=0:
end do;
Hesjan
> H:=Matrix(1..n):
> for i to n do
for j to n do
H[i,j]:=diff(f,zmienne[i],zmienne[j]):
end do:
end do:
2) Wyznaczenie punktów spełniających warunki konieczne istnienia ekstremum.
Wskazówka: rozwiązania poszukuj (fsolve) w następujących obszarach: a) x = 0..1 , y = 0..1, b) x =
1.5..3 , y = 0..1, c) x = 0..1 , y = 1.5..3, d) x = 1.5..3 , y = 1.5..3, e) x = 1..2 , y = 1..2.
3) Określenie charakteru punktów wyznaczonych w 2).
Wskazówka: Sprawdz
określoność hesjanu (dodatnia, ujemna) w każdym z wyznaczonych punktów.
4) Wyznaczenie wartości funkcji w punktach ekstremalnych.
5) Sporządzenie wykresu funkcji f(x,y) w obszarze x = 0 .. 3, y = 0 .. 3.
OPTYMALIZACJA NIELINIOWEJ FUNKCJI CELU Z OGRANICZENIAMI RÓWNOŚCIOWYMI
(Mnożniki Lagrange a)
12000
Wyznaczyć minimum funkcji f (x, y) = wiedząc, że zmienne decyzyjne mogą przyjmować
x y2
wartości dodatnie i spełniają następujące ograniczenie h( x, y) = x2 + y2 - 400 .
1) Skonstruowanie funkcji Lagrange a: L = f (x, y) -  h(x, y) .
2) Określenie warunków koniecznych istnienia ekstremum i wyznaczenie punktów spełniających te
warunki.
3) Wyznaczenie minimalnej wartości funkcji celu przy zadanym ograniczeniu.