Wydział Poniedziałek/16:00-19:00 Nr zespołu:
FIZYKI 8
03.01.2010
Ocena z przygotowania Ocena ze sprawozdania: Ocena końcowa:
1. Karolina Kominek
ProwadzÄ…cy: Podpis prowadzÄ…cego
Józef Dygas
SPRAWOZDANIE Z ĆW. NR.19
LAMINARNY PRZEPA
YW CIECZY. WYZNACZANIE WSPÓA
CZYNNIKA LEPKOÅšCI
I) Wstęp:
Lepkość (tarcie wewnętrzne)  właściwość płynów i plastycznych ciał stałych charakteryzująca ich
opór wewnętrzny przeciw płynięciu.
Przepływ laminarny jest to przepływ uwarstwiony (cieczy lub gazu), w którym kolejne warstwy
płynu nie ulegają mieszaniu (w odróżnieniu od ruchu turbulentnego, burzliwego). Przepływ taki zachodzi
przy małych prędkościach przepływu, gdy liczba Reynoldsa nie przekracza tzw. wartości krytycznej.
Rozważmy przepływ laminarny płynu - przepływ, w którym umowne  warstwy płynu nie mieszają się
(przepływ nie jest burzliwy). Warunkami koniecznymi do zaistnienia takiego rodzaju przepływu są mała
prędkość przepływu oraz duża lepkość płynu. Wówczas to właśnie lepkość odgrywa największą rolę w
stawianiu oporu wewnętrznego podczas przepływu płynu.
Na ciało poruszające się w ośrodku lepkim działają następujące siły (pokazane na rys 1.1.):
" Siła ciężkości ciała Q,
" Siła wyporu Fw,
" Siła lepkości płynu Fs.
Fs
Fw
Q
Q=mk g
F =-4 Ćąr3 ÇÄ…c g
w
3
F =-·Ä…½Ä… V l
s
Dla kulki ·Ä…=6Ćą , l=r , stÄ…d
F =-6Ćą½Ä…V r
s
Gdzie:
mk  masa kulki,
v  prędkość kulki,
g  przyspieszenie grawitacyjne,
·  lepkość cieczy,
r  promień kulki,
Ác  gÄ™stość cieczy.
Działająca na ciało siła wypadkowa da się zapisać za pomocą II zasady dynamiki Newtona:
F =QƒÄ…F ƒÄ…F
s w
dV 4
m =mk g- Ćąr3 ÇÄ…c g -6 Ćą½Ä…V r
dt 3
Na podstawie tego równania wyprowadzimy zależność V(t) dla ruchu kulki w ośrodku lepkim.
Zakładamy, że V(t=0)=0
4
dV g
CaÅ‚kujemy powyższe równanie po dt: - mk Ćą r3 ÇÄ…c g -6Ćą ½Ä… r mk V =dt
3
4
a=g
Przyjmujemy, że - mk Ćą r3 ÇÄ…c g b=6 Ćą½Ä… r mk
i , a,b = const.
3
Mamy zatem: dV a-bV =dt
Co daje: -b lnśąa źą-bV =tƒÄ…C
Dla V(t=0) = 0
-b lnśąa źą=C
-b lnśąaźą-b V =t-b lnśą aźą
a
ln śąa źą-b V =b t
a
a
-bV =expa śąbtźą
a
V =a b-expa śą-btźą
Po podstawieniu współczynników a i b mamy ostatecznie
4 4
V =g mk- Ćą r3 ÇÄ…c g 6Ćą½Ä… r-expśą-6 Ćą½Ä… r mk tźą , mk= Ćą r3 ÇÄ…k
3 3
V =2r 2 g 9 ·śą Ák- Ácźą-exp a śą-6 Ä„ · r mk tźą
Dla t" to V(t) dąży do V .
gr
V =lim 2 r 2 g 9 ·śą Ák- Ácźą-expa śą-6 Ä„ · r mk tźą=2 r 2 g 9 ·śą Ák- Ácźą
gr
t "
PodstawiajÄ…c do tego wzoru otrzymujemy:
V =V - expa śą-6Ä„·rmk tźą=V -V expa śą-6Ä„·rmk tźą
gr gr gr
Dla ogólnego przypadku, z uwzględnieniem prędkości początkowej V(0)`"0 i podstawieniu:
Ä =16Ä„·rmk=mk 6Ä„·r , gdzie Ä  czas relaksacji
otrzymujemy:
V =V ƒÄ…śąV -V źą expa śą-tÄ źą
gr 0 gr
II) Metoda pomiarowa
Eksperyment, który wykonaliśmy, polegał na tym, że mierzyliśmy czas opadania kulki ze
stali, którą wrzucaliśmy do szklanego cylindra wypełnionego olejem silnikowym. Pomiary
wykonywano dla dwóch kulek o różnych promieniach i masie.
Początkowo wykonano próbne pomiary, mające na celu ustalenie wysokości, od której kulka
opada ze stałą prędkością. W tym celu za pomocą stopera mierzono czas opadania kulki na
drodze 10 cm w górnej części cylindra i porównywano go z czasem, w jakim kulka pokonała tą
samą drogę w jego dolnej części (gdzie zachodził ruch jednostajny). W tabeli 3.1.
przedstawiono rezultat pomiarów dla następujących wysokości: 100 - 90 cm i 20  10 cm, gdzie
różnice czasów były porównywalne.
Tab. 3.1. Pomiar czasu opadania kulek na dobranych odcinkach drogi. Porównywalna
różnica czasów potwierdza, że na wysokości 100 cm kulka poruszała się ze stałą prędkością.
odcinki drogi [cm] 100-90 20-10
S
górna granica [s] 2,89 13,56
e
dolna granica [s] 4,32 14,99
r
i
"t [s] 1,43 1,43
a
1
górna granica [s] 2,49 8,39
s
dolna granica [s] 3,32 9,24
e
"t [s] 0,83 0,85
r
i
a
2
górna granica [s] 1,47 7,42
s
dolna granica [s] 2,24 8,23
e
"t [s] 0,77 0,81
r
i
a
3
Póz
niej zmierzyliśmy średnice kulek małej i dużej za pomocą śruby mikrometrycznej, oraz
masy tych kulek. Wyniki tych pomiarów zawiera tabela 3.2.
Promień wewnętrzny cylindra wynosił R= 0,014 m.
Wysokość oleju powyżej dolnej granicy drogi kulki wynosiła: h= 0,7 m
(ponieważ wysokość cylindra wynosiła 1,2 m a pomiary wykonywano od wysokości 100cm do
50cm).
Tab 3.2. Rozmiary kulek.
masa [kg] promień [m] objętość [m^3] gęstość [kg/m^3]
mała 0,0000627 0,00111 5,77236623544E-009 10862,0967
kulka
duża 0,0001746 0,00162 1,78E-008 9811,9463
kulka
Następnie przeszliśmy do eksperymentu właściwego. Na drodze L= 50 cm (gdzie górną
granicą była wysokość 100 cm) zmierzono czas opadania kulek. Dla każdej kulki wykonano 12
serii pomiarowych.
Lepkość oleju dla i-tego pomiaru czasu policzono, dzięki przekształceniu równania
dV 4 dV
m =mk g- Ćąr3ÇÄ…c g-6 Ćą½Ä… V r =0
(dla ) i wprowadzajÄ…c dodatkowy czynnik ze
dt 3 dt
L
v=
względu na cylinder, w którym wykonywano pomiary ( ):
t
4 r
·=śą m- Ä„ r3 Ácźą g ti 6 Ä„ r L śą1ƒÄ…2,4 źą
3 R
Czas relaksacji, czyli czas, po którym kulka porusza się ruchem jednostajnym obliczono ze wzoru:
Ák
Ä =V g
gr
śą Ák- Ácźą
Tabele 3.3. i 3.4. przedstawiają wyniki pomiarów czasu opadających kulek na drodze L=50cm z
wysokości 100 cm.
Tab. 3.3. Pomiary i wyniki obliczeń dla małej kulki.
Czas [s] lepkość · [kg/m*s] prÄ™dkość graniczna [m/s] czas relaksacji Ä [s]
6,81 0,3089 0,0731 0,0074
6,91 0,3134 0,0720 0,0073
6,83 0,3098 0,0728 0,0074
6,72 0,3048 0,0740 0,0075
6,78 0,3075 0,0734 0,0075
6,79 0,3080 0,0733 0,0075
6,92 0,3139 0,0719 0,0073
6,89 0,3125 0,0722 0,0074
6,85 0,3107 0,0726 0,0074
6,89 0,3125 0,0722 0,0074
6,53 0,2962 0,0762 0,0078
6,74 0,3057 0,0738 0,0075
średnia
6,81 0,3087 0,0731 0,0075
Tab. 3.4. Pomiary i wyniki obliczeń dla dużej kulki.
Czas [s] lepkość · [kg/m*s] prÄ™dkość graniczna [m/s] czas relaksacji Ä [s]
3,72 0,2982 0,1335 0,0149
3,78 0,3030 0,1313 0,0147
3,77 0,3022 0,1317 0,0147
3,96 0,3175 0,1254 0,0140
3,88 0,3110 0,1279 0,0143
3,94 0,3159 0,1260 0,0141
3,81 0,3054 0,1303 0,0146
3,91 0,3135 0,1270 0,0142
3,95 0,3167 0,1257 0,0141
3,92 0,3143 0,1266 0,0142
3,92 0,3143 0,1266 0,0142
3,85 0,3086 0,1289 0,0144
średnia
3,87 0,3100 0,1284 0,0144
Jak wynika z tabel 3.3. oraz 3.4. wartości czasu relaksacji dla każdej z kulek są bardzo małe, co
powoduje, że nie można wyznaczyć ich w bezpośrednich pomiarach, a jedynie rachunkowo.
Różnica średnich wartości wyliczonych lepkości dla dwóch rodzajów kulek wynosi:
"· = 0,3100  0,3087 = 0,0013 kg/m*s
III) Opracowanie niepewności.
Naszym kolejnym zadaniem było obliczenie niepewności całkowitej rozszerzonej wyrażonej
wzorem:
"·2
s
U śą xźą= K śą ƒÄ…s2śą·źąźą
p p
3
ćą
Dla poziomu ufności p = 0,95 K =2
p
"·  niepewność graniczna skÅ‚adowej systematycznej,
s
s2śą·źą  estymator odchylenia standardowego Å›redniej z próby.
Całkowita niepewność poszerzona jest wynikiem połączenia dwóch sposobów obliczania
niepewności danej wartości. Są to: metoda statystyczna i metoda inna.
1. Statystyczna metoda obliczania niepewności.
Polega ona na uśrednieniu otrzymanych współczynników lepkości dla i-tego pomiaru a następnie
obliczeniu estymatora odchylenia standardowego średniej z próby. Wartość tego estymatora jest
także wartością niepewności.
śąśą·i-·źą2źą
sśą·źą=
śą" źą
śąN śą N -1źąźą
ćą
a) Mała kulka.
Wartość Å›rednia: · = 0,3087 kg/m*s
Estymator odchylenia standardowego średniej z próby:
kg
sśą·źą=0,0014
ms
Wartość współczynnika lepkoÅ›ci oleju napÄ™dowego: · = (0,3087 Ä… 0,0014) kg/m*s
 b) Duża kulka.
Wartość Å›rednia · = 0,3100 kg/m*s
Estymator odchylenia standardowego średniej z próby:
kg
sśą·źą=0,0019
ms
Wartość współczynnika lepkoÅ›ci oleju napÄ™dowego: · = (0,3100Ä… 0,0019) kg/m*s
2. Iinna metoda obliczania niepewności współczynnika lepkości cieczy.
Polega na uwzględnieniu niepewności granicznych składowej systematycznej wartości mierzonych
bezpośrednio i na ich podstawie obliczenie niepewności wartości pośredniej metodą różniczki
zupełnej.
N 2
´·
"·2= "x2
"
i
śą źą
´x
j =1 j
W tabeli 4.1. przedstawiono poszczególne składowe systematyczne dla wartości, które
zawiera wzór na lepkość.
Tab. 4.1. Składowe systematyczne poszczególnych składników wzoru na lepkość.
"t [s] "m [kg] "L [m] "r [m] "Á [kg/m^3] "g [m/s^2]
niepewność 0,2 1E-006 0,01 1E-005 0,867 0,00981
Powyższe równanie można więc przedstawić w postaci:
2 2 2 2 2 2
śąºÄ… ½Ä…źą śąºÄ… ½Ä…źą śąºÄ… ½Ä…źą śąºÄ… ½Ä…źą śąºÄ… ½Ä…źą śąºÄ… ½Ä…źą
2
­Ä…½Ä…2= ­Ä…t2ƒÄ… ­Ä…m2ƒÄ… ­Ä… L2ƒÄ… ­Ä… r2ƒÄ… ­Ä… ÇÄ…2ƒÄ… ­Ä… g
s
śą źą śą źą śą źą śą źą śą źą śą źą
śąºÄ… t źą śąºÄ… mźą śąºÄ… Lźą śąºÄ… rźą śąºÄ… Çąźą śąºÄ… g źą
Wszystkie wyniki obliczeń zamieszczone są w tabeli 4.2.
Obliczamy poszczególne różniczki:
2
4
2 śąśą m- Ćą r3 Çąźą g źą
śąºÄ…½Ä…źą
3
=
śą źą
śąºÄ…tźą r
śą6 Ćąr t śą1ƒÄ…2,4 źąźą
śą źą
R
2 2
śąºÄ…½Ä…źą śą g tźą
=
śą źą
śąºÄ… mźą r
śą6 Ćą r Lśą1ƒÄ…2,4 źąźą
śą źą
R
2
4
2 śąśąm- Ćą r3 Çąźą g t źą
śąºÄ… ½Ä…źą
3
=
śą źą
śąºÄ… Lźą r
śą6 Ćą r Lśą1ƒÄ…2,4 źąźą
śą źą
R
2
r 4 r r
2 śą-24 Ćąr3ÇÄ… g t śą1ƒÄ…2,4 źą-śąśą m- Ćą r3 Çąźą g t źą6 Ćąśą Lśą1ƒÄ…2,4 źąźąƒÄ…2,4 L źą
śąºÄ…½Ä…źą
R 3 R R
=
śą źą
śąºÄ… rźą r
śą6Ćą r L śą1ƒÄ…2,4 źąźą
śą źą
R
2
2 śą-4 r2 g tźą
śąºÄ…½Ä…źą
3
=
śą źą
śąºÄ…Çąźą r
śą6 L śą1ƒÄ…2,4 źąźą
śą źą
R
2
4
2 śąśą m- Ćą r3 Çąźąt źą
śąºÄ… ½Ä…źą
3
=
śą źą
śąºÄ… g źą r
śą6 Ćą r Lśą1ƒÄ…2,4 źąźą
śą źą
R
Tab. 4.2. Obliczone różniczki poszczególnych wymiarów pomnożone przez graniczne błędy tych
wymiarów (obliczane na podstawie wzoru powyżej).
RÓŻNICZKI Mała kulka Duża kulka
Czas [s] 0,0000823011 0,0002570710
Masa [kg] 0,0000286233 0,0000037920
Droga [m] 0,0000381120 0,0000384515
Promień [m] 0,0000155086 0,0000083244
Gęstość [kg/m^3] 0,0000000007 0,0000000009
Przyspieszenie [m/s^2] 0,0000000953 0,0000000961
Suma 0,0001646410 0,0003077360
Z powyższych obliczeń wynika, że największe znaczenie dla dokładności współczynnika lepkości
ma pomiar czasu opadania kulek w cylindrze.
Zatem niepewność graniczna składowej systematycznej wynosi:
"·2
" Dla małej kulki: = 0,00016 kg/m*s
s
" Dla dużej kulki: "·s2 = 0,0003 kg/m*s.
Możemy już obliczyć niepewność poszerzoną współczynnika lepkości cieczy:
"·2
s
U śąxźą= K śą ƒÄ…s2śą·źąźą
p p
3
ćą
" Dla małej kulki: Up = 0,015 kg/m*s
" Dla dużej kulki: Up = 0,021 kg/m*s
Współczynniki lepkości oleju napędowego dla poszczególnych kulek wynosi:
MaÅ‚a kulka: · = (0,309 Ä… 0,015) kg/m*s
Duża kulka: · = (0,310 Ä… 0,021) kg/m*s
Wartość Å›rednia współczynnika lepkoÅ›ci wynosi: · = 0,3095 kg/m*s. Za niepewność możemy
śr
przyjąć 0,015, ponieważ wartość współczynnika lepkości oleju dla małej kulki oraz dla dużej
mieści się w przedziale (0,3095ą0,0150).
Zatem wartość współczynnika lepkoÅ›ci oleju napÄ™dowego wynosi: · = (0,310 Ä… 0,015) kg/m*s.
IV) Wnioski
Wartość współczynnika lepkości, która została obliczona przez nas jest zbliżona do tej z
wartości tablicowych i mieści się w wyznaczonym przedziale wartości niepewności..
Współczynnik lepkoÅ›ci oleju napÄ™dowego w temperaturze 20 °C wg danych tablicowych wynosi
·=0.319 kg/m*s. Można wiÄ™c stwierdzić, że udaÅ‚o siÄ™ eksperymentalnie wyznaczyć współczynnik
lepkości oleju silnikowego.
Dokładność pomiarów była obarczona kilko błędami, ale ma szansę być zwiększona dzięki
dokładniejszemu pomiarowi czasu opadania kulek na odcinkach drogi (można zastosować
nowoczesne metody pomiaru czasu lub technikę fotokomórki), w ten sposób możliwe byłoby
znaczne zmniejszenie błędu refleksu oraz wyeliminowanie błędu paralaksy.
Podczas wykonywania pomiarów, dodatkowo niektóre kulki zderzały się z pęcherzykami
powietrza (powstałymi wskutek otwierania dolnego zaworu przy odzyskiwaniu kulek z cylindra).
Miały one mniejszy czas opadania na dno cylindra od kulek, które na pęcherzyki nie natrafiały
(były to różnice rzędu 0,5 s i nie były brane pod uwagę w obliczeniach).