Politechnika GdaÅ„ska ð ð Rok akademicki 1999/2000 ð
ð
Wydział Budownictwa Lądowego
LABORATORIUM Z MECHANIKI BUDOWLI I WY-
TRZYMAA
OÅšCI MATERIAA
ÓW
Ćwiczenie nr 12
Temat: Skręcanie swobodne pręta o przekroju
pierścieniowym zamkniętym i otwartym
Aleksander Semczuk
Bartłomiej Rysak
Michał Rzodkiewicz
 Skręcaniem nazywamy przypadek, gdy w przekroju poprzecznym występuje tylko moment skręca-
jący. Skręcanie swobodne (inaczej czyste, lub skręcanie Saint Venanta), charakteryzuje się istnieniem tylko
naprężeń stycznych w przekroju.
Doświadczenie 1: Skręcanie pręta o przekroju pierścieniowym zamkniętymi
W doświadczeniu, na początku obciążono pręt momentem skręcającym Mo = Pro poprzez przyłoże-
nie siły P = 1 kg na ramieniu początkowym ro. Następnie dokonano odczytów początkowych czujników
zegarowych, po czym pręt obciążono ponownie momentem skręcającym M1 = Pr1 poprzez przyłożenie siły
P = 1 kg na ramieniu r1.
Obliczenia:
P = 1 kg = 9,80665N ð 9,81 N
1) ro = 0,20 m
MS0 = 0,20 ×ð 9,81 = 1,962 Nm
2) r1 = 0,40 m
MS1 = 0,40 ×ð 9,81 = 3,924 Nm
3) r2 = 0,50 m
MS2 = 0,50 ×ð 9,81 = 4,905 Nm
4) r3 = 0,60 m
MS3 = 0,60 ×ð 9,81 = 5,886 Nm
5) r4 = 0,70 m
MS4 = 0,70 ×ð 9,81 = 6,867 Nm
6) r5 = 0,80 m
MS5 = 0,80 ×ð 9,81 = 7,848 Nm
Przyrost momentów skręcających:
MSo +ð MS1 +ð M +ð MS 3 +ð MS 4 +ð MS5 1,962 +ð 3,924 +ð 4,905 +ð 5,886 +ð 6,867 +ð 7,848
S 2
DðMs =ð =ð =ð 5,232 Nm
6 6
Kąty skręcenia (lewe):
2
1,08 -ð1,02
jðL0 =ð =ð 6×ð10-ð4 rad
100
1,02 -ð1,01
jðL1 =ð =ð 1×ð10-ð4 rad
100
1,01-ð 0,95
jðL2 =ð =ð 6×ð10-ð4 rad
100
0,95 -ð 0,92
jðL3 =ð =ð 3×ð10-ð4 rad
100
0,92 -ð 0,88
jðL4 =ð =ð 4×ð10-ð4 rad
100
6×ð10-ð4 +ð1×ð10-ð4 +ð 6×ð10-ð4 +ð 3×ð10-ð4 +ð 4×ð10-ð4
jðDðL =ð =ð 4×ð10-ð4 rad
5
Kąty skręcenia (prawe):
0,06 -ð 0,05
jðP0 =ð =ð 1×ð10-ð4 rad
100
0,05 -ð 0,04
jðP1 =ð =ð 1×ð10-ð4 rad
100
0,04 -ð 0,03
jðP2 =ð =ð 1×ð10-ð4 rad
100
0,03-ð 0,02
jðP3 =ð =ð 1×ð10-ð4 rad
100
0,02 -ð 0,00
jðP4 =ð =ð 2×ð10-ð4 rad
100
1×ð10-ð4 +ð1×ð10-ð4 +ð1×ð10-ð4 +ð1×ð10-ð4 +ð 2×ð10-ð4
jðDðP =ð =ð 1,2×ð10-ð4 rad
5
Obliczenia teoretyczne:
2
Wzór ogólny:
M ×ðl
S
jð =ð
G ×ð IO
Wzór dla przekrojów zamkniętych:
M ds
S
jð =ð Fð
2
4×ðG ×ð AS sð
DðM ds
S
Dðjð =ð Fð
2
4×ðG ×ð AS sð
As
dð
38 mm
Dane:
G = 35000 MPa = 35 ×ð 109 Pa = 35 ×ð 109 Pa
DðM = 0,981 Nm
As = Pð ×ð R2 = 0,00113354 m2
sð = 1 mm = 0,1 cm = 0,001 m
R = 19 mm = 1,9 cm = 0,019 m
ds 1
Fð =ð ×ð2PðR =ð 119,32
sð sð
DðM ds 0,981×ð0,4×ð119,32
S
DðjðL =ð ×ðFð =ð =ð 2,60×ð10-ð4 rad
sð 4×ð35×ð109 ×ð(0,00113354)2
4×ðG ×ð AS 2
3
DðM ds 0,981×ð0,12×ð119,32
S
DðjðP =ð ×ðFð =ð =ð 0,781×ð10-ð4 rad
sð 4×ð35×ð109 ×ð(0,00113354)2
4×ðG ×ð AS 2
Porównanie wyników z doświadczenia z obliczeniami teoretycznymi:
Błędy lewych odczytów:
A = (Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q5 + Q6) / 6 = (1,08 + 1,02 +1,01 + 0,95 + 0,92 + 0,88) / 6 = 0,9767 [mm]
Błędy bezwzględne poszczególnych pomiarów:
DðQ1 = |A  Q1| = 0,1033
DðQ2 = |A  Q1| = 0,0433
DðQ3 = |A  Q1| = 0,0033
DðQ4 = |A  Q1| = 0,0266
DðQ5 = |A  Q1| = 0,0566
DðQ6 = |A  Q1| = 0,0966
DðQ = 0,0659
Błędy prawych odczytów:
A = (Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q5 + Q6) / 6 = (0,06 + 0,05 +0,04 + 0,03 + 0,02 + 0,00) / 6 = 0,0333 [mm]
Błędy bezwzględne poszczególnych pomiarów:
DðQ1 = |A  Q1| = 0,0266
DðQ2 = |A  Q1| = 0,0166
DðQ3 = |A  Q1| = 0,0066
DðQ4 = |A  Q1| = 0,0033
DðQ5 = |A  Q1| = 0,0133
DðQ6 = |A  Q1| = 0,0333
DðQ = 0,0997
KÄ…t skrÄ™cania jð w punkcie  wartość doÅ›wiadczalna:
L = 5 ×ð 10-4 rad
P = 1,2 ×ð 10-4 rad
KÄ…t skrÄ™cania jð w punkcie  wartość teoretyczna:
L = 2,60 ×ð 10-4 rad
P = 0,781 ×ð 10-4 rad
4
Błędy pomiaru:
DðL = 1,400 ×ð 10-4 rad
DðP = 0,419 ×ð 10-4 rad
Doświadczenie 2: Skręcanie pręta o przekroju pierścieniowym otwartym
W doświadczeniu, na początku obciążono pręt momentem skręcającym Mo = Pro poprzez przyłoże-
nie siły P = 1 kg na ramieniu początkowym ro. Następnie dokonano odczytów początkowych czujników
zegarowych, po czym pręt obciążono ponownie momentem skręcającym M1 = Pr1 poprzez przyłożenie siły
P = 1 kg na ramieniu r1.
Obliczenia:
P = 1 kg = 9,80665N ð 9,81 N
1) ro = 0,13 m
MS0 = 0,13 ×ð 9,81 = 1,275 Nm
2) r1 = 0,15 m
MS1 = 0,15 ×ð 9,81 = 1,471 Nm
3) r2 = 0,17 m
MS2 = 0,17 ×ð 9,81 = 1,667 Nm
4) r3 = 0,20 m
MS3 = 0,20 ×ð 9,81 = 1,962 Nm
5) r4 = 0,23 m
MS4 = 0,23 ×ð 9,81 = 2,256 Nm
6) r5 = 0,26 m
MS5 = 0,26 ×ð 9,81 = 2,551 Nm
Przyrost momentów skręcających:
MSo +ð MS1 +ð M +ð MS 3 +ð M +ð MS5 1,275 +ð1,471+ð1,667 +ð1,962 +ð 2,256 +ð 2,551
S 2 S 4
DðM =ð =ð =ð 1,864 Nm
s
6 6
5
Kąty skręcania (lewe):
10,11-ð10,08
jðL0 =ð =ð 3×ð10-ð4 rad
100
10,08 -ð 9,94
jðL1 =ð =ð14×ð10-ð4 rad
100
9,94 -ð 9,91
jðL2 =ð =ð 3×ð10-ð4 rad
100
9,91-ð 9,91
jðL3 =ð =ð 0×ð10-ð4 rad
100
9,91-ð 9,91
jðL4 =ð =ð 0×ð10-ð4 rad
100
3×ð10-ð4 +ð14×ð10-ð4 +ð 3×ð10-ð4 +ð 0×ð10-ð4 +ð 0×ð10-ð4
jðDðL =ð =ð 4×ð10-ð4 rad
5
Kąty skręcania (prawe):
3,07 -ð 2,94
jðP0 =ð =ð 1,3×ð10-ð3rad
100
2,94 -ð 2,24
jðP1 =ð =ð 7×ð10-ð3rad
100
2,24 -ð1,71
jðP2 =ð =ð 5,3×ð10-ð3rad
100
1,71-ð 0,91
jðP3 =ð =ð 8×ð10-ð3rad
100
0,91-ð 0,21
jðP4 =ð =ð 7×ð10-ð3rad
100
1,3×ð10-ð3 +ð 7×ð10-ð3 +ð 5,3×ð10-ð3 +ð 8×ð10-ð3 +ð 7×ð10-ð3
jðDðP =ð =ð 5,72×ð10-ð3rad
5
6
Obliczenia teoretyczne:
Wzór ogólny:
M ×ðl
S
jð =ð
G ×ð IS
DðM ×ðl
S
Dðjð =ð
G ×ð IS
w którym:
n
1
IS =ðhð ×ð ×ð dði3
åðhi
3
i=ð1
Dane:
G = 35 ×ð 109 N/m2
R = 0,019 m
dð = 0,001 m
n
1 1
3
IS =ðhð ×ð ×ð dði3 =ð ×ð(2×ð Pð ×ð R)×ðdð =ð 3,977×ð10-ð11 m4
åðhi
3 3
i=ð1
dla l1 = 0,1 m
DðM ×ðl1
S
DðjðP =ð =ð 0,01338rad
G ×ð IS
dla l2 = 0,5 m
DðM ×ðl2
S
DðjðL =ð =ð 0,06692rad
G ×ð IS
Porównanie wyników doświadczenie z obliczeniami teoretycznymi:
Błędy lewych odczytów:
A = (Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q5 + Q6) / 6 = (10,11 + 10,08 +9,94 + 9,91 + 9,91 + 9,91) / 6 = 9,9767 [mm]
Błędy bezwzględne poszczególnych pomiarów:
DðQ1 = |A  Q1| = 0,1333
DðQ2 = |A  Q1| = 0,1033
DðQ3 = |A  Q1| = 0,0366
DðQ4 = |A  Q1| = 0,0666
DðQ5 = |A  Q1| = 0,0666
7
DðQ6 = |A  Q1| = 0,0666
DðQ = 0,0788
Błędy prawych odczytów:
A = (Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q5 + Q6) / 6 = (3,07 + 2,94 + 2,24 + 1,71 + 0,91 + 0,21) / 6 = 1,8467 [mm]
Błędy bezwzględne poszczególnych pomiarów:
DðQ1 = |A  Q1| = 1,2233
DðQ2 = |A  Q1| = 1,0933
DðQ3 = |A  Q1| = 0,3933
DðQ4 = |A  Q1| = 0,1366
DðQ5 = |A  Q1| = 0,9366
DðQ6 = |A  Q1| = 1,6366
DðQ = 0,9038
KÄ…t skrÄ™cania jð w punkcie  wartość doÅ›wiadczalna:
L = 4 ×ð 10-4 rad
P = 5,72 ×ð 10-3 rad
KÄ…t skrÄ™cania jð w punkcie  wartość teoretyczna:
L = 0,06692 rad
P = 0,01338 rad
Błędy pomiaru:
DðL = 665,2 ×ð 10-4 rad
DðP = 128,08 ×ð 10-4 rad
Wyniki badań i obliczonych teoretycznie kątów skręcenia nie pokrywają się w pełni. Przyczyną te-
go na pewno jest niedokładność przeprowadzonych odczytów , co wynika między innymi z wadliwego
sposobu działania zegarów.
Na podstawie wyników obliczeń teoretycznych widać , że kąt skręcenia w przekrojach otwartych
jest znacznie większy od kąta skręcenia w przekrojach zamkniętych , pomimo tego , iż momenty skręcające
w przypadku drugim były dużo większe ( ramię i siła większe).
8