JEDNOLITY ZAPIS MACIERZY (TENSORÓW): naprężeń � i małych odkształceń �
Oznaczenia osi x, y, z kartezjańskiego układu współrzędnych zastąpione zostaną jednolitymi
symbolami x1, x2, x3 ( xi , i =1, 2, 3).
Przyjmujemy dla składowych symetrycznych macierzy (tensorów) naprężeń i małych odkształceń
jednolitą notację
� � �
�11 �12 �13 Ą# ń#
Ą#ń#
x xy xz
ó# Ą#
ó#�
" � a" �ij = �22 �23 Ą# , co równoważne jest zapisowi
12
ó#�xy � y � yz Ą#
ó#Ą#
ó#� xz � yz � z Ą#
ó#Ą#
�23 �33 Ś#
Ł#�13
Ł# Ś#
1 1
Ą# ń#
�x ł ł
xy xz
ó# Ą#
2 2
�11 �12 �13
Ą#ń#
ó# Ą#
ó#�
ó#11 Ą#
" � a" �ij = �22 �23 Ą# , co równoważne jest zapisowi ł � ł
12 xy y yz
ó#Ą#
ó# Ą#
22
ó#Ą#
�23 �33 Ś#
ó# Ą#
Ł#�13
1 1
ó#
ł ł �z Ą#
xz yz
ó# Ą#
2 2
Ł# Ś#
Tensory naprężeń i małych odkształceń w określonym układzie współrzędnych (bazie) reprezentowane są
macierzami. W rachunku tensorowym stosujemy dwie równoważne formy zapisu:
" absolutny - obiekty tensorowe (macierzowe) występują w postaci zamkniętej: �,�
" wskaz
nikowy  wyszczególnione indeksy wielkości tensorowych: �ij ,�ij
Stosowana jest tzw. reguła sumacyjna Einsteina: jeśli w jednomianowym wyrażeniu wskaz
nikowym dany
indeks występuje dwukrotnie automatycznie dokonywane jest względem tego indeksu sumowanie
3
(od 1 do 3, jeśli nie podano inaczej), np. Dkk a"
"D = D11 + D22 + D33
kk
k =1
1 gdy i = j
ż#
Stosowany jest tzw. symbol (delta) Kroneckera: �ij = ,
�#
0 gdy i `" j
�#
1 0 0
Ą# ń#
ó#0
jego obrazem jest macierz jednostkowa I a" �ij = 1 0Ą# .
ó# Ą#
ó# Ą#
Ł#0 0 1Ś#
Przy danej macierzy A a" Aij obliczmy wartość wyrażenia wskaz
nikowego
3 3
Aij�ij a" Aij�ij = A11�11 + A12�12 + A13�13 + A21�21 + A22�22 + A23�23 + A31�31 + A32�32 + A33�33 =
""
i=1 j=1
= A11 + A22 + A33 = Aii a" trA
Jest to tzw. ślad macierzy A, równy sumie jej wyrazów diagonalnych
RÓWNANIA KONSTYTUTYWNE  związki liniowosprężyste (uogólnione prawo Hooke a)
I ZASTOSOWANIE STAA
YCH LAME
Postać tensorowa związków przestrzennych � = f � z użyciem stałych Lame  i � :
( )
- zapis absolutny: � = Itr� + 2�� ,
- zapis wskaz
nikowy: �ij = �ij�kk + 2��ij
Rozwinięcie (z uwzględnieniem symetrii tensorów � i � ):
ż# �11 =  �11 + �22 + �33 + 2��11 =  + 2� �11 + �22 + �33
() ( )
�#
� =  �11 + �22 + �33 + 2��22 = �11 +  + 2� �22 + �33
() ( )
�# 22
�#
�# �33 =  �11 + �22 + �33 + 2��33 = �11 + �22 +  + 2� �33
() ( )
�#
�12 = 2��12
�#
�#
� = 2��23
23
�#
�#
�13 = 2��13
�#
Zapisując umownie: � = �11 � �33 �12 � �31 T , � = �11 �22 �33 �12 �23 �31 T
() )
(
22 23
�11  + 2�   0 0 0 �11
�# ś# Ą#ń# �# ś#
ś#� ź# ś#� ź#
ó#Ą#
  + 2�  0 0 0
22 22
ś# ź# ś# ź#
ó#Ą#
ś# ź# ś# ź#
�33 ó#Ą#
  + 2� 0 0 0 �33
dostajemy =
ś# ź# ś# ź#
ó#Ą#
000 2� 0 0 �12 ź#
12
ś#� ź# ś#
ó#Ą#
ś#� 23 ź# ś#�23 ź#
ó#Ą#
000 0 2� 0
ś# ź# ś# ź#
ó#Ą#
ś#� ź# ś#
000 0 0 2� �13 ź#
�# 13 # Ł#Ś# �# #
Do odwrócenia związków konstytutywnych  sformułowania równań � = g � wykorzystamy zależność
( )
między śladami tensorów � i � : tr� = 3 + 2� tr� lub � = 3 + 2� �ll
( ) ( )
kk

Przekształcenie w zapisie absolutnym: � = Itr� + 2��
3 + 2�
1  1 
Stąd � = � - Itr� lub �ij = �ij - �ij�
kk
2� 2� 3 + 2� 2� 2� 3 + 2�
() ()
Rozwinięcie (z uwzględnieniem symetrii tensorów � i � ):
1  + � 

ż#
�11 = �11 - ()
�11 +� +�33 = �11 - � - �33
22 22
�#
2� 2� 3 + 2� � 3 + 2� 2� 3 + 2� 2� 3 + 2�
() () () ()
�#
�#
1  
 + �
�22 = � - ()
�11 +� +�33 = - �11 + � - �33
�# 22 22 22
2� 2� 3 + 2� 2� 3 + 2� � 3 + 2� 2� 3 + 2�
() ()() ()
�#
�#
1   + �

�33 = �33 - ()
�11 +� +�33 = - �11 - � + �33
�#
22 22
2� 2� 3 + 2� 2� 3 + 2� 2� 3 + 2�� 3 + 2�
�# () () ()()
�#
1
�#
�12 = �12
�#
2�
�#
1
�#
�23 = �
23
�#
2�
�#
1
�#
�13 = �13
�#
2�
�#
Prezentacja w macierzowej formie:
 + �  
Ą#ń#
0 0 0
ó#Ą#
� 3 + 2� 2� 3 + 2� 2� 3 + 2�
() () ()
ó#Ą#
ó#Ą#
 + �
0 0 0
Ą#
�11 ó#2� �11
�# ś# 3 + 2� � 3 + 2� 2� 3 + 2� �# ś#
() () ()
ó#Ą#
ś#� ź# ś#� ź#
ó#Ą#
  + �
22 22
ś# ź# ś# ź#
0 0 0
ś# ź# ś# ź#
�33 ó#Ą# �33
() () ()
ó#2� 3 + 2� 2� 3 + 2� � 3 + 2� Ą#
=
ś# ź# ś# ź#
ó#Ą#
1
12 12
ś#� ź# ś#� ź#
ó#Ą#
000 0 0
ś#�23 ź# ś#� ź#
2�
ó#Ą# 23
ś# ź# ś# ź#
ś# ź# ś#� ź#
�13 ó#Ą#
1
�# # �# 13 #
ó#Ą#
000 0
0
2�
ó#Ą#
ó#Ą#
1
ó#Ą#
000 0 0
2�
ó#Ą#
Ł#Ś#
II STAA
E TECHNICZNE
Istnieją zależności między stałymi Lame  i � a stałymi technicznymi E i � :
E� E
 = , � = .
1+� 1- 2� 2 1+�
( )( ) ( )
Związki � = f � z użyciem stałych technicznych E i � przyjmą więc formę �:
( )
E� E
- zapis absolutny: � = Itr� + � ,
1+� 1- 2� 1+�
( )( )
E� E
- zapis wskaz
nikowy: �ij = �ij�kk + �ij
1+� 1- 2� 1+�
( )( )
Rozwinięcie:
ż# E 1-�
( )
E� E E� E�
�11 = �11 + �22 + �33 + �11 = �11 + �22 + �33
()
�#
1+� 1- 2� 1+� 1+� 1- 2� 1+� 1- 2� 1+� 1- 2�
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
�#
�#
E 1-�
E� E ( ) E�
E�
�#
� = �11 + �22 + �33 + �22 = �11 + �22 + �33
()
22
1+� 1- 2� 1+� 1+� 1- 2� 1+� 1- 2� 1+� 1- 2�
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
�#
�#
E 1-�
E� E E� ( )
E�
�#
�33 = �11 + �22 + �33 + �33 = �11 + �22 + �33
()
�#
1+� 1- 2� 1+� 1+� 1- 2� 1+� 1- 2� 1+� 1- 2�
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
�#
�#
E
�# �12 = �12
1+�
�#
�#
E
� = �23
�#
23
1+�
�#
�# E
�13 = �13
�#
�# 1+�
Postać macierzowa:
Ą# E 1-� ń#
( ) E� E�
0 0 0
ó#Ą#
1+� 1- 2� 1+� 1- 2� 1+� 1- 2�
( )( ) ( )( ) ( )( )
ó#Ą#
ó#Ą#
E 1-�
E� ( ) E�
�11 ó# 1+� 1- 2� 1+� 1- 2� 1+� 1- 2� 0 0 0 Ą# �11
�# ś# �# ś#
( )( ) ( )( ) ( )( )
ó#Ą#
ś#� ź# ś#� ź#
ó#Ą#
22 22
ś# ź# ś# ź#
E 1-�
E� E� ( )
0 0 0
ś# ź# ś# ź#
�33 ó#Ą# �33
ó#Ą#
1+� 1- 2� 1+� 1- 2� 1+� 1- 2�
= ( )( ) ( )( ) ( )( )
ś# ź# ś# ź#
ó#Ą#
�12
12
ś#� ź# ś# ź#
E
ó#Ą#
ś#� 23 ź# ś#�23 ź#
000 0 0
ó#Ą#
1+�
ś# ź# ś# ź#
ś#� ź# ś# ź#
ó#Ą#
�13
�# 13 # �# #
E
ó#Ą#
000 0 0
ó#Ą#
1+�
ó#Ą#
E
ó#Ą#
000 0 0
Ł# 1+� Ś#
E
Ćwiczenie: zapisać powyższe wyrażenie z wyłączeniem mnożnika
1+� 1- 2�
( )( )
Zależności � = g � z użyciem stałych technicznych uzyskamy z przekształcenia
( )
1 
formy � = � - Itr� .
2� 2� 3 + 2�
()
Wielkości pomocnicze:
1 1+�
=
2� E
3E� E 3� +1- 2� E
1+�
3 + 2� = + = E = E =
1+� 1- 2� 1+� 1+� 1- 2� 1+� 1- 2� 1- 2�
( )( ) ( )( ) ( )( )
 E� 1+� 1- 2� �
==
2� 3 + 2� 1+� 1- 2� E E E
() ( )( )
1+� � 1+� �
Stąd � = � - Itr� lub �ij = �ij - �ij�kk
E E E E
Rozwinięcie (z uwzględnieniem symetrii tensorów � i � ):
1+� � 1 � �
ż#
�11 = �11 - ()
�11 +�22 +�33 = �11 - �22 - �33
�#
E E E E E
�#
1+� � � 1 �
�#
�22 = �22 - ()
�11 +�22 +�33 = - �11 + �22 - �33
�#
EE E E E
�#
1+� � � � 1
�#
�33 = �22 - ()
�11 +�22 +�33 = - �11 - �22 + �33
�#
EE E E E
�#
1+�
�#
�12 = �12
�#
E
�#
1+�
�#
�23 = �23
E
�#
�#
1+�
�13 = �13
�#
�# E
Zapis macierzowy:
1 � �
Ą#ń#
- - 0 0 0
ó#Ą#
E E E
ó#Ą#
� 1 �
�11 ó#- E E - E 0 0 0 Ą# �11
�# ś# �# ś#
ó#Ą#
ś#� ź# ś#� ź#
ó#Ą#
22 22
ś# ź# ś# ź#
ó#- � � 1 Ą#
ś# ź# ś# ź#
�33 ó# E - E E 0 0 0 Ą# �33
=
ś# ź# ś# ź#
�12 ó#Ą#
1+�
12
ś# ź# ś#� ź#
0 0 0 0 0
ó#Ą#
ś#�23 ź# ś#� 23 ź#
E
ó#Ą#
ś# ź# ś# ź#
ś# ź#
�13 ó# 0 0 0 0 1+� 0 Ą# ś#�13 ź#
�# # �# #
ó#Ą#
E
ó#Ą#
1+�
ó#Ą#
0 0 0 0 0
ó#Ą#
Ł# E Ś#
1
Powyższe wyrażenie można zapisać z wyłączeniem mnożnika .
E
Obustronne zależności między stałymi Lame i stałymi technicznymi
E�
ż# 2� + 3
ż#
 =
E = �
�#
�#
1+� 1- 2�
( )( ) � + 
�# �#
.
�# �#
E
�# �#� = 
� =
�# �# 2 � + 
2 1+� ( )
( )
�#
�#