2 Interpolacja funkcjiid 19545


METODY NUMERYCZNE
wykład
Interpolacja funkcji
www.kwmimkm.polsl.pl
Gliwice 2010
Definicja interpolacji
Gliwice 2010
Definicja interpolacji
Dana jest funkcja Wyznaczamy funkcję W(x)
spełniającą warunki:
y = f x , x x0, xn .
( ) [ ]
Znamy tablice wartości
tej funkcji, czyli:
f x0 = y0 W x0 = y0
( ) ( )
f x1 = y1 W x1 = y1
( ) ( )
f xi = yi W xi = yi
( ) ( )
f xn = yn W xn = yn
( ) ( )
Gliwice 2010
Definicja interpolacji
y
W(x)
yn
f (x)
yi
y2
i - ty węzeł interpolacji
y1
y0
x
x0 x1 x2 xi xn
Gliwice 2010
Definicja interpolacji
Wyznaczenie funkcji W(x)
Dobór w postaci kombinacji liniowej n +1 funkcji bazowych
Ć0 x ,Ć1 x ,Ć2 x , ...,Ći x , ...,Ćn x
Funkcje bazowe:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Wielomian uogólniony:
n
W x =
( ) ( )
a Ći x
i
i=0
ai  współczynniki
Gliwice 2010
Definicja interpolacji
Wprowadzając:
Ś = Ć0 x ,Ć1 x ,Ć2 x , ...,Ćn x ł
Macierz bazową:
( ) ( ) ( ) ( )

Macierz współczynników: AT = a0,a1,a2, ...,an
[ ]
Wielomian uogólniony można zapisać w postaci:
W x = Ś x A
( ) ( )
Gliwice 2010
Definicja interpolacji
Warunek, który musi spełnić wielomian interpolacyjny, czyli:
W xi = yi, i = 0,1,2, ...,n
( )
Można zapisać w postaci macierzowej:
X A = Y
gdzie:
A  macierz kolumnowa współczynników o (n+1) wierszach
Y  macierz kolumnowa wartości funkcji o (n+1) wierszach
X  macierz o wymiarach (n+1)(n+1)
Gliwice 2010
Definicja interpolacji
Postać macierzy X i Y:
ł y0
Ć0 x0 Ć1 x0 ... Ćn x0
( ) ( ) ( ) ł
ęĆ x1
ę ś
Ć1 x1 ... Ćn x1 ś y1
( ) ( ) ( )ś
0
ę
ę ś
X = Y =
ęś
... ... ... ... ę ś
...
ę
ę ś
Ć1 xn ... Ćn xn ś yn
( ) ( ) ( )ś
ęĆ xn
0

Gliwice 2010
Definicja interpolacji
Jeżeli det X ą 0 to:
A = X-1 Y
Podstawiając powyższy wzór do W x = Ś x A otrzymuje się:
( ) ( )
Wielomian interpolacyjny:
W x = Ś x X-1 Y
( ) ( )
gdzie:
F (x)  macierz bazowa
X-1  macierz interpolacyjna
Y  wektor wartości funkcji w węzłach
Gliwice 2006
Interpolacja
LAGRANGE A
NEWTONA
WIELOMIANOWA
(I WZÓR)
(NATURALNA)
INTERPOLACJA
NEWTONA
TRYGONOMETRYCZNA
(II WZÓR)
CZEBYSZEWA
Gliwice 2010
Interpolacja wielomianowa
(wielomiany w postaci naturalnej)
Gliwice 2010
Interpolacja wielomianowa
Funkcje bazowe:
Ć0 x =1, Ć1 x = x, Ć2 x = x2, ...,Ćn x = xn
( ) ( ) ( ) ( )
Postać wielomianu interpolacyjnego:
W x = a0 + a1x + a2x2 +...+ anxn
( )
Gliwice 2010
Interpolacja wielomianowa
Przy spełnionym warunku:
2 n
a0 + a1x0 + a2x0 + ...+ anx0 = y0
2 n
a0 + a1x1 + a2x1 + ...+ anx1 = y1
...
2 n
a0 + a1xn + a2xn + ...+ anxn = yn
Taki układ równań, jeżeli wartości x0, x1, & ,xn są między sobą
różne posiada jedno rozwiązanie względem ai.
Wynika to stąd, że:
n
1 x0 ... x0
n
1 x1 ... x1
det X =ą 0
... ... ... ...
n
1 xn ... xn
Gliwice 2010
Interpolacja wielomianowa
WADY:
interpolacja wielomianowa nie jest zbyt efektywna,
ponieważ macierz X jest macierzą pełną
- błędy podczas odwracania
- czas odwracania
macierz X nie zawsze jest dobrze uwarunkowana
- macierz osobliwa
Gliwice 2010
Interpolacja Lagrange a
Gliwice 2010
Interpolacja Lagrange a
Funkcje bazowe:
Ć0 x = x - x1 x - x2 x - x3 ...................... x - xn
( ) ( )( )( ) ( )
Ć1 x = x - x0 x - x2 x - x3 ...................... x - xn
( ) ( )( )( ) ( )
.....................................................................................
Ći x = x - x0 x - x1 ... x - xi-1 x - xi+1 ... x - xn
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
.....................................................................................
Ćn x = x - x0 x - x1 x - x2 ...................... x - xn-1
( ) ( )( )( ) ( )
dla każdej funkcji ji (x), i = 0, 1, & , n brakuje składnika (x  xi)
Gliwice 2010
Interpolacja Lagrange a
Postać wielomianu interpolacyjnego:
W x = a0Ć0 x + a1Ć1 x + ...+ anĆn x =
( ) ( ) ( ) ( )
= a0 x - x1 x - x2 ... x - xn +
( )( ) ( )
+ a1 x - x0 x - x2 ... x - xn + ...+
( )( ) ( )
+ an x - x0 x - x1 ... x - xn-1
( )( ) ( )
Gliwice 2010
Interpolacja Lagrange a
Macierz X:
ł
Ć0 x0 0 0 ... 0
( )
ęś
0 Ć1 x1 0 ... 0
( )
ęś
ęś
X = 00 Ć2 x2 ... 0
( )
ęś
... ... ... ... ...
ęś
ę
0 0 0 ... Ćn xn
( )ś

w punkcie x = xi wszystkie funkcje oprócz ji (x) zerują się,
ponieważ występuje w nich składnik (x  xi)
Gliwice 2010
Interpolacja Lagrange a
Współczynniki wielomianu Lagrange a wyznacza się ze wzoru:
X A = Y
Ponieważ macierz X ma tylko główną przekątną niezerową to:
y0 y0
a0 ==
x0 - x1 x0 - x2 ... x0 - xn Ć0 x0
( )( ) ( ) ( )
y1 y1
a1 ==
x1 - x0 x1 - x2 ... x1 - xn Ć1 x1
( )( ) ( ) ( )
...
yn yn
an ==
xn - x1 xn - x2 ... xn - xn-1 Ćn xn
( )( ) ( ) ( )
Gliwice 2010
Interpolacja Lagrange a
Czyli wielomian interpolacyjny możemy zapisać w postaci
n
x - x0 x - x1 ... x - xi-1 x - xi+1 ... x - xn
( )( ) ( )( ) ( )
W x = yi
( )

xi - x0 xi - x1 ... xi - xi-1 xi - xi+1 ... xi - xn
( )( ) ( )( ) ( )
i=0
Gliwice 2010
Różnice skończone
Gliwice 2010
Różnice skończone
Dla funkcji stabelaryzowanej przy stałym kroku h = xi+1- xi
wprowadza się pojęcie różnicy skończonej rzędu k
Dyi = yi+1 - yi
D2 yi = D Dyi = Dyi+1 - Dyi = yi+2 - 2yi+1 + yi
[ ]
......
k
k
ć
j
k -1 -1 -1

Dk yi = D yi+k -1
( )


D yi ł = Dk yi+1 - Dk yi = j=0 -1
j
Ł ł
Gliwice 2010
Różnice skończone
Na podstawie zbioru wartości funkcji yi = f (xi),
xi+1- xi = h = const buduje się tablicę różnic skończonych
nr x y Dy D2y D3y
0 x0 y0 Dy0 D2y0 D3y0
1 x1 y1 Dy1 D2y1 .
2 x2 y2 Dy2 . .
3 x3 y3 . . .
. . . . . D2yn-3
. . . . D2yn-2
. . . Dyn-1
n xn yn
Gliwice 2010
Wzory interpolacyjne dla
argumentów równoodległych
Gliwice 2010
Wzory interpolacyjne dla argumentów równoodległych
Dla zbioru węzłów:
x0, x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h, ..., xn = x0 + nh
dane są wartości funkcji:
f x0 , f x1 , f x2 , ..., f xn
( ) ( ) ( ) ( )
Gliwice 2010
Wzory interpolacyjne dla argumentów równoodległych
Funkcje bazowe:
Ć0 x =1
( )
Ć1 x = q
( )
Ć2 x = q q -1
( ) ( )
Ć3 x = q q -1 q - 2
( ) ( )( )
...
Ćn x = q q -1 q - 2 q - 3 ... q - n +1
( ) ( )( )( ) ( )
gdzie:
x - x0
q =
h
Gliwice 2010
Wzory interpolacyjne dla argumentów równoodległych
Wielomian interpolacyjny:
W x = a0 + a1q + a2q q -1 + a3q q -1 q - 2 + ...+
( ) ( ) ( )( )
anq q -1 q - 2 ... q - n +1
( )( ) ( )
Dla:
x = x0 : q = 0
x = x1 : q =1
x = x2 : q = 2
... ...
x = xn : q = n
Gliwice 2010
Wzory interpolacyjne dla argumentów równoodległych
Postać układu równań z którego wyznacza się współczynniki ai:
1 0 0 0 ... 0
a0 y0
ł
ł ł
ę1 1 ś
ęa ś ę ś
0 0 ... 0
y1
1
ęś
ę ś ę ś
1 2 2 0 ... 0
ęś
a2 y2
ę ś ę ś
=
ę1 3 ś
ęa ś ę ś
6 6 ... 0
y3
3
ęś
ę ś ę ś
ęś
... ... ... ... ... ... ę ś ę ś
... ...
ę1 n n n -1 n n -1 n - 2 ... n!ś
ęa ś ę ś
yn
( ) ( )( )
ęś
n

Gliwice 2010
Wzory interpolacyjne dla argumentów równoodległych
a0 = y0
a0 + a1 = y1 a1 = Dy0
D2 y0
a0 + 2a1 + 2a2 = y2
a2 =
2!
D3y0
a0 + 3a1 + 6a2 + 6a3 = y3
a3 =
3!
... ...
a0 + na1 + n n -1 a2 +...+ n!an = yn an = Dn y0
( )
n!
Gliwice 2010
Wzory interpolacyjne dla argumentów równoodległych
I wzór interpolacyjny Newtona
q q -1 q q -1 ... q - n +1
( ) ( ) ( )
W x = y0 + qDy0 + D2 y0 + ...+ Dn y0
( )
2! n!
gdzie:
x - x0
q =
h
Gliwice 2010
Wzory interpolacyjne dla argumentów równoodległych
I wzór interpolacyjny Newtona - interpolacja w przód
II wzór interpolacyjny Newtona - interpolacja wstecz
Gliwice 2010
Wzory interpolacyjne dla argumentów równoodległych
Wielomian interpolacyjny:
W x = a0 + a1q + a2q q +1 + a3q q +1 q + 2 + ...+
( ) ( ) ( )( )
anq q +1 q + 2 ... q + n -1
( )( ) ( )
gdzie:
x - xn
q =
h
Współczynniki wielomianu a0, & , an wyznaczane są identycznie
Gliwice 2010
Wzory interpolacyjne dla argumentów równoodległych
II wzór interpolacyjny Newtona
q q +1 q q +1 ... q + n -1
( ) ( ) ( )
W x = yn + qDyn-1 + D2 yn-2 + ...+ Dn y0
( )
2! n!
gdzie:
x - xn
q =
h
Gliwice 2010
Gliwice 2010


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Interpolacja funkcjami sklejanymi
Funkcja falowa i jej fizyczna interpetacja
Geneza i funkcjonowanie mitu arkadyjskiego
Fundacje i Stowarzyszenia zasady funkcjonowania i opodatkowania ebook
integracja funkcji
FUNKCJA CHŁODZENIE SILNIKA (FRIC) (ZESPOLONE Z KALKULATOREM
ciaglosc funkcji2
Różne interpretacje tytułu powieści Granica
Znaczenie korytarzy ekologicznych dla funkcjonowania obszarów chronionych na przykładzie Gorców
Funkcjonowanie zbiornikow wodnych i Makrofity
Zestaw 1 Funkcja kwadratowa Funkcja homograficzna Równanie liniowe

więcej podobnych podstron