Analiza widmowa
czyli
powrót na ziemię
Transformata Fouriera
f(t)  dowolna funkcja (dystrybucja)
Transformata Fouriera f(t)
+"
F f t \" f t e jÉ tdt = F jÉ
( ) ( ) ( )
{ }
+"
+"
 "
"
Odwrotna transformata Fouriera funkcji F(jÉ)
+"
 1
f t = F F jÉ = F jÉ ejÉ t dÉ
( ) ( ) ( )
{ }
+"
2Ä„
-"
Istnienie i jednoznaczność przekształcenia Fouriera
Twierdzenie 1.
Jeżeli f(t) jest funkcją bezwzględnie całkowalną w przedziale ( ", "),
tzn.
"
f t dt < ",
( )
+"
-"
to całka
"
f t e- jÉ tdt
( )
+"
+"
-"
-"
jest zbieżna dla wszystkich wartoÅ›ci É. Transformata Fouriera funkcji f(t)
F jÉ = F f t ,
( ) ( )
{ }
jest ciÄ…gÅ‚Ä… funkcjÄ… É, oraz
lim F jÉ = 0.
( )
ÉÄ…"
Bezwzględna całkowalność f(t) jest warunkiem dostatecznym istnienia
transformaty Fouriera.
Twierdzenie 2.
Jeżeli f1(t) i f2(t) są funkcjami bezwzględnie całkowalnymi, to
F f1 t = F f2 t Ô! f1 t = f2 t
( ) ( ) ( ) ( )
{ } { }
Wnioski:
1. Ponieważ
" "
" "
2
f t dt < " Ò! f t dt < "
( ) ( )
( ) ( )
+" +"
-" -"
więc wszystkie sygnały o skończonej energii (w szczególności
przebiegi impulsowe) spełniają warunki dostateczne istnienia
transformaty Fouriera.
2. Nie są transformowalne funkcje stałe i okresowe. Będzie
jednak dla nich istnieć dystrybucyjne przekształcenie
Fouriera.
Własności przekształcenia Fouriera
Stosować będziemy oznaczenia:
F f t = F jÉ Ô! f t Ì! F jÉ
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
F g t = G jÉ Ô! g t Ì! G jÉ
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
1. Liniowość
a1 f t + a2g t Ì! a1F jÉ + a2G jÉ
Ì!
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2
2. Przesunięcie w dziedzinie czasu
f t - t0 Ì! F jÉ e- jÉ t0
( ) ( )
3. PrzesuniÄ™cie w dziedzinie É
0
f t ejÉ t Ì! F îÅ‚ j É - É0 Å‚Å‚, É0 " !
( ) ( )ûÅ‚
ðÅ‚
4. Różniczkowanie (dystrybucyjne) w dziedzinie czasu
d
f t Ì! jÉF jÉ
( ) ( )
dt
5. Splot w dziedzinie czasu
"
f t " g t = f Ä g t -Ä dÄ Ì! F jÉ G jÉ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+"
-"
6. Mnożenie w dziedzinie czasu
"
1 1
1 1
f t g t Ì! F jÉ "G jÉ = F j· GîÅ‚j É -· Å‚Å‚d·
f t g t Ì! F jÉ "G jÉ = F j· GîÅ‚j É -· Å‚Å‚d·
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ûÅ‚
+"
+" ðÅ‚
2Ä„ 2Ä„
-"
7. Symetria
F jt Ì! 2Ä„f -É
( ) ( )
8. Zmiana skali czasu
t
f Ì! a F jaÉ , a `" 0
( )
( )
a
Przykład 1.
f t = ´ t
( ) ( )
"
F jÉ = F f t = ´ t e- jÉ tdt =1
( ) ( ) ( )
{ }
+"
-"
Przykład 2.
f t = e-at1 t , a > 0
( ) ( )
" "
-( ) 1
a+ jÉ t
F jÉ = F f t = e-a t1 t e- jÉ tdt = dt =
( ) ( ) ( )
{ }
+" +"e
a + jÉ
-" 0
1
L f t =
( )
{ }
s + a
Inaczej
f t
( )
1
e-at
F jÉ
( )
Ì!
t
2
f
(
2
f t
(t)
)
´ t
( )
t
jÉF jÉ = 1- aF jÉ
( ) ( )
Ì!
-ae-at
1
F jÉ =
( )
 a
a + jÉ
Przykład 3.
f(t)
1
t
F jÉ
( )
Ì!
1 2
f (t)
'
´ t
( )
t
1 2
jÉF jÉ = 1+ G jÉ
jÉF jÉ = 1+ G jÉ
( ) ( )
( ) ( )
Ì!
Ì!
g t
( )
G jÉ = F g t
( ) ( )
{ }
 1
2
g t
( )
´ t - 2
( )
t
1
jÉ G jÉ = -e- jÉ + e-2 jÉ
( )
Ì!
2
-´ t -1
( )
-e- jÉ + e-2 jÉ
G jÉ =
( )
jÉ
-e- jÉ + e-2 jÉ
jÉF jÉ =1+
( )
jÉ
jÉ - e + e
1 -e + e
1 -e- jÉ + e-2 jÉ = jÉ - e- jÉ + e-2 jÉ
F jÉ = +
F jÉ = + =
( )
( )
2
jÉ
-É2
jÉ
( )
1 e-s + e-2s = s - e-s + e-2s
L f t = -
( )
{ }
s
s2 s2 s2
Przykład 4.
f t = e-a t
( )
f t
( )
1
e-a t
ea t
F jÉ
( )
Ì!
t
2
f t
( )
a
aea t
jÉF jÉ
jÉF jÉ
( )
t ( )
Ì!
Ì!
-ae-a t
 a
2 2
f t
( )
a2e-a t
a2ea t
-É2F jÉ = -2a + a2F jÉ
( ) ( )
t
Ì!
2a
-2a´ t
( )
F jÉ =
( )
a2 +É2
ZwiÄ…zek z transformatÄ… Laplace a
"
L f t = f t e-stdt = F s
( ) ( ) ( )
{ }
+"
0-
"
F f t = f t e- jÉ tdt = F jÉ
( ) ( ) ( )
{ }
+"
-"
Jeżeli
f t a" 0 dla t < 0
( )
to
to
F jÉ = F s
( ) ( )
s= jÉ
pod warunkiem, że oÅ› jÉ należy do obszaru zbieżnoÅ›ci
É
É
É
transformaty Laplace a. Warunek ten jest spełniony gdy
"
f t dt < ",
( )
+"
0-
czyli jest warunkiem istnienia transformaty Fouriera.
Twierdzenie
Jeżeli f(t) jest funkcją przyczynową, czyli f t a" 0 dla t < 0,
( )
a jej transformatÄ… Laplace a jest wymierna funkcja F s = L f t ,
( ) ( )
{ }
której mianownik jest wielomianem Hurwitza (czyli F(s) nie ma
biegunów w domkniętej prawej półpłaszczyz
nie zmiennej s), to
istnieje transformata Fouriera funkcji f(t) i jest równa
F jÉ = F f t = F s
( ) ( ) ( )
{ }
s= jÉ
1 1
f t = e-t1 t , F s = Ò! F jÉ =
( ) ( ) ( ) ( )
s +1 1+ jÉ
2 + jÉ
s + 2
f t = e-2t cost Å"1 t , F s = Ò! F jÉ =
( ) ( ) ( ) ( )
s2 + 4s + 5 5 - É2 + 4jÉ
6 6
f t = t3e-10t1 t , F s = Ò! F jÉ =
( ) ( ) ( ) ( )
4 4
s +10 10 + jÉ
( ) ( )
1
üÅ‚
f t = sin t Å"1 t , F s =
( ) ( ) ( )
s2 +1ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ Transformaty Fouriera nie istniejÄ….
1
f t = e2t1 t , F s =
( ) ( ) ( )
żł
s - 2
Nie wolno podstawić s = jÉ
ôÅ‚
1
ôÅ‚
f t = 1 t , F s =
( ) ( ) ( )
s
ôÅ‚
þÅ‚
f t
( )
1
1- e-s
L
L f t = F s =
( ) ( )
( ) ( )
{ }
{ }
F jÉ
F jÉ
( )
( )
Ì!
Ì!
s
s
t
t
1
F(s) nie jest funkcjÄ… wymiernÄ…
2
f t
( )
lsi0 F s =1
m
( )
´ t
( )
t
1 jÉF jÉ =1- e- jÉ
Punkt s = 0 nie jest
( )
Ì!
biegunem funkcji F(s)
-´ t -1
( )
1- e- jÉ
F jÉ =
( )
jÉ
Interpretacja fizyczna
"
" " "
îÅ‚ Å‚Å‚
"
f t = F jÉ ejÉt dÉ śł = F" jÉ e- jÉt dÉ É-É F" -jÉ ejÉt dÉ =
=
( ) ( ) ( ) ( )
ïÅ‚
+" +" +"
2Ä„ 2Ä„ 2Ä„
ðÅ‚-" ûÅ‚ -" -"
 1
= F F" -jÉ
( )
{ }
Jeżeli
"
f t = f t
( ) ( )
to
to
F" -jÉ = F jÉ czyli F" jÉ = F -jÉ
( ) ( ) ( ) ( )
(funkcja hermitowska zmiennej rzeczywistej É)
F jÉ = F jÉ ej¾(É), ¾ É = arg F jÉ
( ) ( ) ( ) ( )
F jÉ = F - jÉ
( ) ( )
funkcja parzysta
¾ É = -¾ -É
( ) ( ) funkcja nieparzysta
" 0 "
f t = F jÉ ejÉ t dÉ = F jÉ ej¾(É)ejÉ t dÉ + F jÉ ej¾(É)ejÉ t dÉ =
( ) ( ) ( ) ( )
+" +" +"
2Ä„ 2Ä„ 2Ä„
-" -" 0
0 "
d -É
( )
= F - jÉ ej¾(-É)e- jÉ t + F jÉ ej¾(É)ejÉ t dÉ =
( ) ( )
+" +"
2Ä„ 2Ä„
" 0
" "
dÉ
îÅ‚ej(É+¾(É)) + e- j(É+¾(É)) Å‚Å‚
= F jÉ = F jÉ cos îÅ‚É + ¾ É Å‚Å‚
( ) ( )ûÅ‚ dÉ
+" +"2 ( ) ðÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
2Ä„ 2Ä„
0 0
Funkcję f(t) można przedstawić jako nieskończoną, nieprzeliczalną
sumę przebiegów sinusoidalnych o ,,amplitudach
sumę przebiegów sinusoidalnych o ,,amplitudach
dÉ Ä„ F jÉ ,
dÉ Ä„ F jÉ ,
( ) ( )
( ) ( )
i zmieniajÄ…cych siÄ™ w sposób ciÄ…gÅ‚y pulsacjach É i fazach
poczÄ…tkowych ¾(É).
F jÉ  zespolone widmo sygnaÅ‚u f(t)
( )
F jÉ
( )  widmo amplitudowe (widmowa gęstość amplitudy)
¾ É
( )
 widmo fazowe
Alternatywny opis sygnałów
W dziedzinie czasu W dziedzinie częstotliwości
F jÉ
( )
f t
( )
É
t
¾ É
( )
É
Energia sygnału
"
2
W \" f t dt
( )
+"
-"
"
" " "
îÅ‚ Å‚Å‚
"
W = f t f t dt = f t F jÉ ejÉ t dÉ śł dt =
( ) ( ) ( )ïÅ‚ ( )
+" +" +"
2Ä„
-" -" ðÅ‚-" ûÅ‚
" " " "
îÅ‚ Å‚Å‚
dÉ
= f t F" jÉ e- jÉ tdt = F" jÉ f t e- jÉ tdtśł dÉ =
( ) ( ) ( )ïÅ‚ ( )
+" +" +" +"
2Ä„ 2Ä„
2Ä„ 2Ä„
-" -" -" ðÅ‚-" ûÅ‚
-" -" -" ðÅ‚-" ûÅ‚
" "
2
dÉ dÉ
= F" jÉ F jÉ = F jÉ
( ) ( ) ( )
+" +"
2Ä„ 2Ä„
-" -"
" " "
2 2
dÉ dÉ
2
f t dt = F jÉ = 2 F jÉ
( ) ( ) ( )
+" +" +"
2Ä„ 2Ä„
-" -" 0
Równość Parsevala
2
F jÉ
( )
 widmowa gęstość energii
2Ä„
2
F jÉ
( )
2Ä„
É
É
-É2 -É1 É1 É2
Energia sygnału  powierzchnia pod krzywą
Energia zawarta w paÅ›mie (É1, É2)
É2
2
dÉ
"W = 2 F jÉ
( )
+"
2Ä„
É1
Efektywna szerokość pasma sygnału  przedział pulsacji,
w którym zawarta jest założona część całkowitej energii sygnału,
czyli Ég tak wybrane, aby
É É
g g
2 2
dÉ dÉ
F jÉ = 2 F jÉ e" ºW
( ) ( )
+" +"
2Ä„ 2Ä„
-É 0
g
Zwykle przyjmuje siÄ™ º = 0,9 ÷ 0,99
( )
Przykład
"
1
1
-
-2at
f t = e-at1 t , a > 0, W =
( ) ( )
+"
+"e dt = 2a
0
2
1 1 dÉ 1 É
F jÉ = , F jÉ = , = arc tg
( ) ( )
+"
a + jÉ a
a2 + É2 a2 +É2 a
Ég
1 dÉ 1 Ä„
2 e" º Ò! Ég e" a tg º
( )
+"
2a 2
º = 0,95 Ò! Ég e" 12,7a
a2 +É2 2Ä„
0
º = 0,99 Ò! Ég e" 63,7a
2
1
F jÉ
( )
f t = îÅ‚1 t + a - 1 t - a Å‚Å‚
( ) ( ) ( )ûÅ‚
ðÅ‚
2 a
f t
( )
a = 2
f t
( )
1 t
É
2 a
2
F jÉ
( )
t
f t
( )
-a a
a =1
t
W =1
É
sin aÉ
F jÉ =
( )
2
aÉ
F jÉ
( )
f t
( )
2
2
sin aÉ
1
F jÉ = a a =
( )
( )
2
aÉ
t
É
Charakterystyki widmowe układów SLS
" t+
r t = h t " p t = h Ä p t -Ä dÄ = h t -Ä p Ä dÄ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+" +"
0- -"
Jeżeli istnieją transformaty Fouriera
Jeżeli istnieją transformaty Fouriera
P jÉ = F p t
( ) ( )
{ }
H jÉ = F h t
( ) ( )
{ }
to
R jÉ = H jÉ P jÉ
( ) ( ) ( )
Niech
h t = a´ t + h0 t
( ) ( ) ( )
Transformata Fouriera będzie istnieć gdy
"
h0 t dt < ",
( )
+"
0
czyli gdy układ będzie BIBO stabilny.
H jÉ = F h t  charakterystyka widmowa ukÅ‚adu
( ) ( )
{ }
Jeżeli H(s) jest operatorową transmitancją układu BIBO stabilnego, to
H jÉ = H s
( ) ( )
s= jÉ
Charakterystyka widmowa istnieje tylko
wtedy gdy układ jest BIBO stabilny!!!
Podstawienia s = jÉ wolno dokonać tylko wtedy, gdy funkcja H(s)
nie ma biegunów w prawej domkniętej półpłaszczyz
nie zmiennej s.
H jÉ = A É ej¸(É)
( ) ( )
P jÉ = P jÉ ej¾(É), R jÉ = R jÉ ej·(É)
( ) ( ) ( ) ( )
R jÉ = A É P jÉ
( ) ( ) ( )
· É = ¸ É + ¾ É
( ) ( ) ( )
A É = H jÉ  charakterystyka amplitudowa
A É = H jÉ  charakterystyka amplitudowa
( ) ( )
( ) ( )
Określa w jaki sposób modyfikowane jest widmo amplitudowe
pobudzenia
¸ É = arg H jÉ
 charakterystyka fazowa
( ) ( )
Określa w jaki sposób modyfikowane jest widmo fazowe
pobudzenia
Przykład 1.
L = 2 H,
1
C = F,
U1 s U2 s
( ) ( )
2
R = 1 &!.
A É
( )
U2 s
( )
1
H s = =
( )
L
U1 s
( )
s2LC + s +1
R
1
H s =
( )
( )
É
É
s2 + s 2 +1
s2 + s 2 +1
1
¸ É
( )
H jÉ =
( )
1-É2 + jÉ 2
1
É
A É = H jÉ = ,
( ) ( )
1+ É4
¸ É = arg H jÉ =
( ) ( )
É 2 1-É2 Å"sgn(É)
= -arc tg - arccos
1-É2
1-É2
Przykład 2.
1
R1 = 1&!, R2 = &!, R3 = 2 &!,
3
C1 = 1F, C2 = 1F.
U1 s
( )
U2 s
( )
sC2
-
U2 s
( ) R1
-s
H s = = =
( )
( )
U s C + C
U1 s C1 + C2 1 1 1
( ) ëÅ‚ öÅ‚ s2 + s + 2
( ) ëÅ‚ öÅ‚ s2 + s + 2
1 1 1
s2C1C2 + s + +
ìÅ‚ ÷Å‚
R3 R3 R1 R2
íÅ‚ Å‚Å‚
-jÉ
H jÉ =
( )
2 -É2 + jÉ
É
A É =
( )
2
2 -É2 + É2
( )
2 -É2 - Ä„sgnÉ
¸ É = arc tg
( )
É
A É
( )
É
¸ É
¸ É
( )
( )
É
Przykład 3.
R1 = 1&!, R2 = 1&!,
R = 1&!, C = 1 F.
A É
( )
U2 s
U1 s ( )
( )
R2 1
É
- sC
U2 s
( ) R1 R
1
H s = = - = -1- s
H s = = - = -1- s
( )
( )
¸ É
¸ É
( )
( )
1 1+ s
+
U1 s
( )
( )
+ sC
R
1- jÉ
H jÉ = -
( )
1+jÉ
É
A É = 1
( )
¸ É = -Ä„ - 2arctgÉ
( )
Filtr wszechprzepustowy
(all-pass filter)
Podstawowe typy filtrów idealnych
Filtr dolnoprzepustowy
Filtr górnoprzepustowy
A É
( )
A É
( )
1
1
É
É
-Ég Ég
-Ég Ég
¸ É
¸ É
( )
( )
¸ É
¸ É
( )
( )
Ég
Ég
É
É
-Ég
-Ég
- jÉt0 - jÉt0
Å„Å‚ Å„Å‚
dla É d" Ég dla É e" Ég
ôÅ‚e ôÅ‚e
H jÉ = H jÉ =
( ) ( )
òÅ‚0 òÅ‚0
dla É > Ég dla É < Ég
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
Filtr pasmowoprzepustowy
Filtr pasmowozaporowy
A É A É
( ) ( )
1
1
É É
-Ég 2 -Ég1 Ég1 Ég 2 Ég1 Ég 2
-Ég 2 -Ég1
¸ É ¸ É
( ) ( )
-Ég1
Ég 2 É Ég1 Ég 2 É
-Ég 2
Ég1
-Ég 2 -Ég1
- jÉt0
Å„Å‚
dla É d" Ég
ôÅ‚e
H jÉ =
( )
òÅ‚
dla É > Ég
ôÅ‚0
ół
Ég Ég
1
 1
0
h t = F H jÉ = e- jÉt0ejÉt dÉ = ej(t-t )ÉdÉ =
( ) ( )
{ }
+" +"
2Ä„ 2Ä„
-Ég -Ég
0
( )
1 ej(t-t )Ég - e- j(t-t0 )Ég = Ég sinÉg t - t0 = Ég Sa îÅ‚
=
( )ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚Ég t - t0 Å‚Å‚
Ä„ Ä„ Ä„
Ä„ Ä„ Ä„
2j t - t É t - t
2j t - t0 Ég t - t0
( ) ( )
( ) ( )
h(t)
t
t0
Układ nie jest przyczynowy!!!
Kryterium Paley a-Wienera
Jeżeli charakterystyka amplitudowa A(É) speÅ‚nia warunek
"
ln A É
( )
dÉ < ",
+" 1+ É2
-"
to istnieje funkcja ¸ (É), taka, że charakterystyka widmowa
H jÉ = A É ej¸(É) jest realizowalna fizycznie.
( ) ( )
A É
( )
A É
A É
( )
( )
É
É
A É
( )
A É
( )
É
É
Nierealizowalne Realizowalne
Dystrybucyjna transformata Fouriera
f(t)
1
t
F jÉ
( )
Ì!
 a a
'
f (t)
´ t + a
( )
t
t
a
a
jÉF jÉ = e - e
jÉF jÉ = ejaÉ - e- jaÉ
( )
( )
Ì!
Ì!
 a
-´ t - a
( )
( )
ejaÉ - e- jaÉ = 2a sin aÉ
F jÉ =
( )
jÉ aÉ
sin aÉ
( )
F jÉ = 2a
( )
aÉ
" "
sin aÉ sin aÉ
( ) ( )
a =1
2a dÉ = 2 d aÉ = K
( )
+" +"
aÉ aÉ
-" -"
a = 2 a " Ò! f t 1
( )
?
F 1 = K´ É
{ } ( )
a = 3
"
K
K
 1
 1
F K´ É = K ´ É ejÉt dÉ =
F K´ É = K ´ É ejÉt dÉ =
( ) ( )
( ) ( )
{ }
{ }
+"
+"
2Ä„ 2Ä„
-"
K
= 1 Ò! K = 2Ä„
a = 4 2Ä„
F 1 = 2Ä„´ É
{ } ( )
a = 5
Å„Å‚
e-µt dla t > 0
f t =
( )
òÅ‚
µt
ół-e dla t < 0
f t
( )
1
e-µt
t
F jÉ
( )
Ì!
-eµt
 1
1
2
f t
( )
g t
2´ t ( )
( )
t
jÉF jÉ = 2 + G jÉ
( ) ( )
Ì!
-µe-µt
-µeµt
2
g t
( )
2
µ e-µt
t 2
jÉ G jÉ = µ F jÉ
( ) ( )
Ì!
2
-µ eµt
2
µ F jÉ
( )
jÉF jÉ = 2 +
( )
jÉ
2
ëÅ‚ öÅ‚
µ
jÉ - F jÉ = 2
( )
ìÅ‚ ÷Å‚
jÉ
íÅ‚ Å‚Å‚
-2jÉ
jF jÉ
( )
F jÉ =
( )
2
É2 + µ
1, t > 0
Å„Å‚
µ 0
f t çÅ‚çÅ‚çÅ‚
f t çÅ‚çÅ‚çÅ‚
sgn t =
sgn t =
( )
( )
òÅ‚
òÅ‚-1, t < 0
µ
µ 0
ół
É
2
Å„Å‚
, É `" 0
-2jÉ
çÅ‚çÅ‚çÅ‚
ôÅ‚ jÉ
òÅ‚
µ 0
2
É2 + µ
ôÅ‚0,
É = 0
ół
2
F sgnt =
{ }
jÉ
1
1+ sgn t = 1 t
( ) ( )
2
1 1
F 1+ sgn t = Ä„´ É +
( ) ( )
{ }
2 jÉ
1
F 1 t = Ä„´ É +
( ) ( )
{ }
jÉ
f t = e-µt1 t , f t çÅ‚çÅ‚çÅ‚ t
1
( ) ( ) ( ) ( )
µ 0
1
F jÉ =
( )
µ + jÉ
1
Å„Å‚
, É `" 0
F jÉ çÅ‚çÅ‚çÅ‚
ôÅ‚ jÉ
( )
òÅ‚
µ 0 Dla É = 0 granica w zwykÅ‚ym
ôÅ‚?
É = 0
sensie nie istnieje!
ół
1 Ì! 2Ä„´ É
( )
0
ejÉ t Ì! 2Ä„´ É -É0
( )
e- jÉ0t Ì! 2Ä„´ É +É0
( )
1 1
0
cosÉ0t = ejÉ t + e- jÉ0t Ì! Ä„ îÅ‚ É É
( ) ( )ûÅ‚
ðÅ‚´ -É0 + ´ +É0 Å‚Å‚
2 2
1 1 Ä„
0
sinÉ0t = ejÉ t - e- jÉ0t Ì! îÅ‚´ É -É0 - ´ É +É0 Å‚Å‚
( ) ( )ûÅ‚
ðÅ‚
2j 2j j
F cosÉ0t = Ä„ îÅ‚
{ } ( ) ( )ûÅ‚
ðÅ‚´ É - É0 + ´ É + É0 Å‚Å‚
F sinÉ0t = - jÄ„ îÅ‚
{ } ( ) ( )ûÅ‚
ðÅ‚´ É - É0 - ´ É + É0 Å‚Å‚
1
1 t Ì! Ä„´ É +
( ) ( )
jÉ
1
0
ejÉ t1 t Ì! Ä„´ É -É0 +
( ) ( )
j É -É0
( )
1
e- jÉ0t1 t Ì! Ä„´ É +É0 +
( ) ( )
j É + É0
( )
1 1 Ä„
0
cosÉ0t1 t = ejÉ t1 t + e- jÉ0t1 t Ì! îÅ‚´ É -É0 + ´ É +É0 Å‚Å‚ +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ûÅ‚ É0 jÉ
2
ðÅ‚
2 2 2
-É2
1 1 Ä„
0
sinÉ0t1 t = e 1 t - e 1 t Ì! îÅ‚´ É -É0 - ´ É + É0 Å‚Å‚ +
sinÉ0t1 t = ejÉ t1 t - e- jÉ0t1 t Ì! îÅ‚´ É -É0 - ´ É + É0 Å‚Å‚ +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ûÅ‚ É2 -É2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ûÅ‚ É0É0
2
ðÅ‚
ðÅ‚
2j 2j j2
2j 2j j2
-É2
jÉ
Ä„
F cosÉ0t Å"1 t = îÅ‚
( ) ( ) ( )ûÅ‚
{ }
2
ðÅ‚´ É - É0 + ´ É + É0 Å‚Å‚ + É0 - É2
2
É0
Ä„
F sinÉ0t Å"1 t = - j îÅ‚
( ) ( ) ( )ûÅ‚
{ }
2
ðÅ‚´ É - É0 - ´ É + É0 Å‚Å‚ + É0 - É2
2
Przebieg sinusoidalny jako pobudzenie
p t = P 2 sin É0t +Õ
( ) ( )
ejx - e- jx = Im ejx
sin x =
{ }
2j
2 2
jÕ t jÕ jÉ0t
0
0
îÅ‚Pej(É t+Õ) - Pe- j(É0t+Õ) Å‚Å‚
îÅ‚
p t = =
( )
ðÅ‚Pe ejÉ - Pe- e- Å‚Å‚
ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
2j 2j
Oznaczmy
P \" PejÕ
2
0 0
îÅ‚PejÉ t - P"e- jÉ0t Å‚Å‚
p t = = 2 Im PejÉ t
( )
{ }
ðÅ‚ ûÅ‚
2j
2
îÅ‚P´ É -É0 - P"´ É +É0
P jÉ = F p t = Å" 2Ä„
( ) ( ) ( ) ( )Å‚Å‚
{ }
ðÅ‚ ûÅ‚
2j
R jÉ = H jÉ P jÉ , H jÉ = F h t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
2
îÅ‚P´ É -É0 - P"´ É + É0
R jÉ = H jÉ Å" 2Ä„
( ) ( ) ( ) ( )Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
2j
H jÉ ´ É -É = H jÉ ´ É -É
H jÉ ´ É -É0 = H jÉ0 ´ É -É0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
"
H jÉ ´ É + É0 = H - jÉ0 ´ É + É0 = H jÉ0 ´ É + É0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
îÅ‚PH jÉ0 ´ -É0 - P"H " jÉ0 ´ +É0 =
R jÉ = Å" 2Ä„ É É
( ) ( ) ( ) ( ) ( )Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
2j
2
îÅ‚R´ -É0 - R"´ +É0
= Å" 2Ä„ É É
( ) ( )Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
2j
R \" PH jÉ0 = RejÈ
( )
2
0 0
îÅ‚RejÉ t - R"e- jÉ0t Å‚Å‚
r t = = 2 Im RejÉ t
( )
{ }
ðÅ‚ ûÅ‚
2j
2
0
îÅ‚Rej(É t+È ) - Re- j(É0t+È ) Å‚Å‚
r t = = R 2 sin É0t +È
( ) ( )
ðÅ‚ ûÅ‚
2j
Podsumowanie:
Jeżeli
0
p t = P 2 sin É0t +Õ = 2 Im PejÉ t
( ) ( )
{ }
to
0
0
r t = R 2 sin É t +È = 2 Im RejÉ t
r t = R 2 sin É0t +È = 2 Im RejÉ t
( ) ( )
( ) ( )
{ }
{ }
 wartość skuteczna zespolona pobudzenia
P = P ejÕ
R = R ejÈ  wartość skuteczna zespolona reakcji
R = H Å" P, H = H jÉ0 = H s
( ) ( )
s=jÉ
0
0
H = H jÉ0 = H jÉ0 ej¸(É )  transmitancja zespolona
( ) ( )
Zakładamy, że układ jest BIBO stabilny oraz
p1 t
( )
0
p1 t = P1 2 sin É0t +Õ1 = 2 Im P1ejÉ t
( ) ( )
{ }
r t
( )
SLS
0
p2 t = P2 2 sin É0t +Õ1 = 2 Im P2ejÉ t
( ) ( )
{ }
p2 t
( )
p1(t) i p2(t) majÄ… takie same pulsacje!
p2 t = 0 p1 t = 0
( ) ( )
r1 t = h1 t " p1 t r2 t = h2 t " p2 t
= " = "
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
R1 = H1 jÉ0 P1 R2 = H2 jÉ0 P2
( ) ( )
0 0
r1 t = 2 Im R1ejÉ t r2 t = 2 Im R2ejÉ t
( ) ( )
{ } { }
1 2
R1 = R1ejÈ R2 = R2ejÈ
Na podstawie twierdzenia o superpozycji:
0 0
r t = r1 t + r2 t = 2 Im R1ejÉ t + 2 Im R2ejÉ t =
( ) ( ) ( )
{ } { }
0 0
= 2 Im R1 + R2 ejÉ t = 2 Im RejÉ t = R 2 sin É0t +È
( ) ( )
{ } { }
gdzie
R = R1 + R2
czyli
R = R = R + R , È = arg R = arg R + R
R = R = R1 + R2 , È = arg R = arg R1 + R2
( )
( )
Wniosek:
Jeżeli wszystkie pobudzenia w obwodzie są przebiegami
sinusoidalnymi o takiej samej pulsacji É0, to w stanie
ustalonym reakcja jest również przebiegiem sinusoidalnym
o pulsacji É0.
Przykład
Ä„
e t = 10sin 2t + V,
( )
( )
4
p t = e t
( ) ( )
i t
( )
R1 = 1&!, R2 = 4&!,
r t = i t
( ) ( )
e t 1
( )
L = 1H, C = F.
2
i t = ?
( )
I s
( )
ëÅ‚ öÅ‚U s = E s
1 1 1
+ sC +
( ) ( )
ìÅ‚
R1 sL + R2 ÷Å‚ R1
R1 sL + R2 R1
E s íÅ‚ Å‚Å‚
E s íÅ‚ Å‚Å‚
( )
( )
U s
U s
( )
( )
1
I s = U s
( ) ( )
sL + R2
E s
( )
1
R1 R1
1
I s = = E s
( ) ( )
sL + R2 1 1
R2
ëÅ‚CR öÅ‚
L
+ sC +
R1 sL + R2 s2LC + s ìÅ‚ 2 + R1 ÷Å‚ + R1 +1
íÅ‚ Å‚Å‚
H s
( )
1
R1
H s =
( )
R2
ëÅ‚CR + öÅ‚
L
s2LC + s + +1
ìÅ‚ 2
R1 ÷Å‚ R1
íÅ‚ Å‚Å‚
s = jÉ0 = j2
1
R1
1 2
H = H jÉ0 = = - j
( )
2 15 15
R2
öÅ‚
L
-É0 LC + jÉ0 ëÅ‚CR2 + + +1
ìÅ‚
R1 ÷Å‚ R1
íÅ‚ Å‚Å‚
jĄ
10
10
4
4
E = e = 5 + j5
E = e = 5 + j5
2
1
- jarctg
1 2 10
3
I = H Å" E = - j 5 + j5 = 1- j1 = e H" 1,054e- j 0,3217
( )
( )
15 15 3 3
i t = I 2 sin É0t +È , gdzie É0 = 2, I = I = 1,054, È = arg I = -0,3217
( ) ( )
czyli
i t = 1,054 2 sin 2t - 0,3217 A.
( ) ( )
A gdyby tak od początku pisać
E s E
( )
sL jÉ0L
sC jÉ0C U s U
( )
I s I
( )
Czy zawsze
Wówczas
wolno tak zrobić
ëÅ‚ öÅ‚U = E
1 1 1
+ jÉ0C +
ìÅ‚
R1 jÉ0L + R2 Å‚Å‚ R1
R1 jÉ0L + R2 ÷Å‚ R1
íÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
1
I = U
jÉ0L + R2
1
E
R1
I = = 1- j1 H" 1,054e- j 0,3217
2 3
R2
öÅ‚
L
-É0 LC + jÉ0 ëÅ‚CR2 + + +1
ìÅ‚
R1 ÷Å‚ R1
íÅ‚ Å‚Å‚
i t = 1,054 2 sin 2t - 0,3217 A.
( ) ( )