72 Bankowo� Komercyjna BANK I KREDYT czerwiec 2003
Modelowanie ryzyka portfela
kredytowego
Cz�� II*
Wojciech Kury"ek
W poniŻszej cz�Ęci artyku"u zostaną szczegó"owo za- PodejĘcie Altmana
prezentowane podstawowe podejĘcia do zarządzania
ryzykiem portfela kredytowego  zarówno te o charak- Praca Altmana opiera si� na klasyfikowaniu kredytów
terze czysto naukowym, jak i te, które przybra"y form� ze wzgl�du na poziom ryzyka, podobnie jak w przypad-
powszechnie znanych produktów komercyjnych1. ku obligacji (tj. Aaa, Aa, A, Bbb, Bb, B, Ccc...). B�dzie-
my zak"ada�, Że istnieje K takich klas, a K-ta klasa ozna-
cza niewyp"acalnoĘ�. Do klasyfikacji moŻna wykorzy-
PodejĘcia oparte na wykorzystaniu klasycznej stywa� analiz� dyskryminacyjną, model logitowy lub
teorii Markowitza probitowy. Autor sugeruje jednak wykorzystanie w tym
celu opracowanego przez siebie modelu ZETA. Altman
Ten typ modelowania ryzyka portfela kredytowego zak"ada ponadto, Że dla kaŻdej klasy kredytów moŻemy
znalaz" odbicie w pracach Altmana [4], [5], [6], Gollin- obliczy� na podstawie danych historycznych Ęrednią
gera i Morgana [31] oraz Stevansona i Fadila [24]. RóŻ- stop� zwrotu w stosunku rocznym w podokresie t (gdzie
nią si� one przede wszystkim metodą szacowania stóp t = 1, 2, 3...,T), którą oznacza przez YTMit. Oczekiwaną rocz-
zwrotu z poszczególnych klas kredytów i estymowania ną stop� zwrotu skorygowaną o straty na okres t dla i-tej kla-
t t
EARi = YTMi - EALt
ich macierzy kowariancji, a takŻe wykorzystywaną mia- sy definiujemy jako , gdzie EALit
i
rą ryzyka. oznacza oczekiwaną roczną strat� obliczoną dla rozpa-
T
t
1
= YTM
PoniŻej zostaną zaprezentowane metody opracowa- trywanej próby. Przyjmując, Że YTMi T " oraz
i
t =1
T
1
ne przez Altmana oraz Gollingera i Morgana. Praca Ste- EALi = EALt
Ęrednią historyczną stop� zwrotu
"
T i
t =1
vansona i Fadila ma charakter raczej intuicyjny. Ponie- skorygowaną o oczekiwane straty dla okresu z"oŻonego
waŻ zbyt ma"o jest w niej konkretów, zostanie pomini�ta. z podokresów aŻ do T w"ącznie, otrzymujemy
EARi = YTMi - EALi .
Aby obliczy� oczekiwaną strat�
dla i-tej klasy, tj. EALit, musimy najpierw oszacowa�
macierz przejĘcia mi�dzy poszczególnymi klasami
* Prace nad powyŻszą publikacją zosta"y cz�Ęciowo sfinansowane z grantu
KBN PBZ-016/P03/99. Pierwszą jej cz�Ę� opublikowaliĘmy w nr. 5/2003  Ban- P = pij i,j =1,...K . Prawdopodobieł
stwo przejĘcia z i-tej do
( )
ku i Kredytu .
j-tej klasy estymujemy za pomocą cz�stoĘci przejĘ� mi�-
1
Prace, na których bazują te modele, są niestety z regu"y wysoce nieprecyzyj-
dzyokresowych mi�dzy tymi klasami w rozpatrywanej
ne i ma"o sformalizowane.
BANK I KREDYT czerwiec 2003 Bankowo� Komercyjna 73
próbie. Dodatkowo zak"adamy, Że umiemy oszacowa� macierzą kowariancji wskaęników oceniających jakoĘ�
dla i-tej klasy przeci�tny czas trwania umowy  di, sto- kredytobiorcy (np. wskaęnik ZETA Altmana lub zmien-
p� odzyskania naleŻnoĘci w przypadku migracji do kla- na y* w modelu logitowym oraz probitowym). Zak"ada-
sy nieĘciągalnoĘci  reci oraz zmian� róŻnicy mi�dzy jąc bowiem, Że dysponujemy danymi historycznymi
stopą zysku a stopą bez ryzyka (tzw. spread) w wyniku o takich wskaęnikach  tj. próbą wt , gdzie i oznacza typ
i
migracji do dowolnej z klas mi�dzy okresami t  1 a t , kredytu, a t rozpatrywany okres - kowariancje próbko-
T
1
Ć
� = wt - wi wt - wj
którą oznaczamy przez " sij. Mając powyŻsze dane, we wynoszą odpowiednio ( ) .
( )
"
ij T -1 i j
t =1
oczekiwaną roczną strat� obliczamy jako Ten sam pomys" zawarty jest takŻe w pracy Stevensona
K -1
EALt = dj "st -pij + 1 - reci "st -piK
( )( ) . Kolejnym i Fadila [24].
( )
i " ij iK
j =1
krokiem jest przyj�cie miary ryzyka oraz oszacowanie
macierzy kowariancji. Altman proponuje tutaj dwa po-
dejĘcia. Scenariuszowe podejĘcie Benneta
Pierwsze z nich polega na uwzgl�dnieniu jako
miary ryzyka portfela kredytowego odchylenia stan- Na początku pragn� podkreĘli�, Że model przedstawio-
dardowego okreĘlonych w powyŻszy sposób stóp ny w pracy Benneta [11] ma charakter bardzo nieformal-
zwrotu portfela kredytowego. W tym celu za pomocą ny. Jest to raczej jego szkic niŻ precyzyjnie sformu"owa-
danych historycznych naleŻy oszacowa� macierz ko- ny model. Postaram si� jednak  na ile to moŻliwe 
C = �
wariancji ( ) Jako estymatory kowariancji przedstawi� go w nieco bardziej formalny sposób.
ij
.
i,j =1,...,K
przyjmujemy wówczas kowariancje próbkowe Za"óŻmy, Że portfel kredytowy banku sk"ada si�
t
Ćij T1 T=1 t
� = EARi - EARi EARj - EARj
()() . z kredytów3 i dla kaŻdego z nich moŻemy okreĘli� pe-
-1"
t
Drugie podejĘcie jest nieco bardziej zawi"e i zak"a- wien rating Rati " 1,...,n . WyŻsza wartoĘ� Rati odpo-
{ }
da, Że ryzyko portfela powinno by� mierzone jako wa- wiada gorszej jakoĘci kredytowej, czyli wi�kszemu ry-
riancja tzw. nieoczekiwanych strat. Zak"adając, Że zyku. Dla kaŻdej z rozpatrywanych umów kredytowych
2
�EAL
i  wariancja oczekiwanych strat  jest niezmienni- jesteĘmy takŻe w stanie okreĘli� wyraŻoną nominalnie
cza ze wzgl�du na okres oraz Że oczekiwane straty potencjalną strat� banku (tzw. pozycj� ryzyka kredyto-
EALt kaŻdej klasy i i podokresu t pochodzą z rozk"adu wego banku lub credit exposure), którą oznaczymy
i
N EALt ,�EAL ,
t
(
normalnego o parametrach i ) nieoczeki- przez CEi. Autor zak"ada, Że w przysz"oĘci mogą zajĘ�
i
ut
waną strat� w podokresie t dla i-tej klasy definiuje- pewne zdarzenia ze zbioru moŻliwych zda-
i
2
my jako wartoĘ� krytyczną P EALt d" ut = 1 - � . Jak "a- rzeł
S = s1,...,sk (np. s1  wzrost inflacji o 5%, a s2 
( ) { }
i i
ut = EALt + Ś-1(1 - ą)�EAL
two zauwaŻy� gdzie Ś-1(�"), spadek wzrostu PKB o 3%). Podzbiór zbioru zdarzeł

i i
i
oznacza odwrotnoĘ� dystrybuanty wystandaryzowa- S "S, z"oŻony ze wzajemnie niewykluczających si�
nego rozk"adu normalnego. Altman proponuje w ce- zdarzeł
, opisuje pewien scenariusz rozwoju przysz"o-
�
lu uzyskania oszacowania ut podstawi� za wy- Ęci. Dyskretny rozk"ad ratingów kredytowych ze wzgl�-
EALi
i
estymowane odchylenia standardowe próby du na potencjalną strat� moŻemy zdefiniowa� jako
1 2
I
T 2 T
�ł
1 1
ui = ut pr = �ł i"{j:Rat = r}CEiłł i=1CEi
. Zak"adamy ponadto, Że
�EAL = EALt - EALi . Przyjmując , "(" )
() T " i
(T -1" i ) �ł
i=1 j
i i=1
kowariancje stóp zwrotu moŻna estymowa� przy uŻyciu zrealizowanie si� w przysz"oĘci scenariusza S moŻe
Ćij 1 T=1 i j
� = ut - ui ut - uj
( )( )
kowariancji próbkowych T -1" . zmieni� rating i-tego kredytu na Rati S " 1,...,n .
( ) { }
t
Mając oszacowane w powyŻszy sposób parametry mo- W podobny sposób, w jaki robiliĘmy to poprzednio,
delu Markowitza, moŻna przystąpi� do wyznaczania moŻna wyznaczy� rozk"ad ratingów kredytowych ca-
optymalnego portfela kredytowego. "ego portfela ze wzgl�du na potencjalną strat�, pod
warunkiem pojawienia si� scenariusza S, jako
I
�ł �ł
pr S = CEi
( )
PodejĘcie Gollingera i Morgana "(" )
. W ten sposób, dla
i" (S)= i=1
�ł {j:Rat r}CEiłł
j
dowolnego moŻliwego scenariusza S moŻemy policzy�
Gollinger i Morgan [31] rozpatrują natomiast podzia" zmian� rozk"adu w wyniku jego wydarzenia si�, czyli
( ) ( )
kredytów ze wzgl�du na branŻ�, z której pochodzi kre- "pr S = pr S - pr
. Do pomiaru ryzyka portfela kredytowe-
dytobiorca. Zak"adają, Że oczekiwane stopy zwrotu dla go, pod warunkiem pojawienia si� scenariusza S, autor
n
Index S = ąr"pr S
( ) ( )
branŻ moŻna obliczy� przy uŻyciu Loan Pricing Matrix uŻywa nast�pującego indeksu: ,
"
r =1
 produktu dostarczanego przez firm� Loan Pricing gdzie ą są arbitralnie przyj�tymi wagami takimi, Że
r
Corporation. Za miar� ryzyka postulują przyj�cie wa- ą > ą . Na podstawie tak skonstruowanego indeksu
r r-1
riancji stóp zwrotu. PoniewaŻ brakuje powszechnie do- moŻna porównywa� wp"yw poszczególnych scenariu-
st�pnych szeregów czasowych zrealizowanych w prze- szy na ryzyko kredytowe. Niech wi�c S oznacza naj-
sz"oĘci stóp zwrotu dla poszczególnych typów kredy- gorszy z moŻliwych scenariuszy, czyli taki, który mak-
tów, nie moŻna przy ich uŻyciu oszacowa� macierzy symalizuje powyŻszy indeks. Dla kaŻdej umowy kredy-
kowariancji. Autorzy proponują wi�c, aby przybliŻy� ją towej moŻemy zatem obliczy� wskaęnik wp"ywu poja-
2
PowyŻsza koncepcja bezpoĘrednio nawiązuje do sposobu mierzenia ryzyka
3
za pomocą Value at Risk. Nie kategorii kredytów, lecz samych kredytów.
74 Bankowo� Komercyjna BANK I KREDYT czerwiec 2003
J
wienia si� najgorszego scenariusza dla jej ratingu, czy- tem znaleę� w S stanach, gdzie S = M . W stanie
z1 ,...,zJ
( )
Zi = Rati S'
li ( )- Rati
. Zak"ada si� ponadto, Że z kaŻdą k1 kM gospodarka moŻe si� znaleę� z prawdopo-
J
j
Ą = pkj
umową moŻna związa� jej stop� zwrotu Ri (np. opro- dobieł
stwem " . Dla kaŻdego ze stanów go-
j =1
centowanie roczne kredytu). Mając powyŻsze dane, spodarki s = 1,... , S moŻemy zatem okreĘli� prawdopo-
Zi,Ri i=1,...,r
( )
moŻna stworzy� diagram { } . Bennet suge- dobieł
stwo jego pojawienia si� jako Ą . Oznaczając zi
s
i i
z1,...,zM
ruje, Że preferencje banku wzgl�dem tego, ile jest on przez wektor ( )2 oraz przez yi,s wektor zmien-
sk"onny zap"aci� za zwi�kszenie stopy zwrotu (R) w nych endogenicznych wp"ywających na sytuacj� tej
terminach ryzyka (Z), moŻna zdefiniowa� przez par� branŻy w stanie s, takich jak np. procentowy wzrost
l1 : R = a1 + bZ
dodatnio nachylonych prostych oraz sprzedaŻy, wzrost kosztów, czy zwi�kszenie si� liczby
. Wyznaczają one obszar pomi�dzy nimi podmiotów dzia"ających w danej branŻy, autorzy zak"a-
l1 : R = a1 + bZ
taki, Że znajdujące si� w Ęrodku niego kombinacje ry- dają, Że istnieje deterministyczny związek pomi�dzy
zyka, a takŻe stopy zwrotu są akceptowalne przez wektorami z1,...,zJ a wektorem yi,s, opisywany przez
�i �"
bank. Wspólne nachylenie linii wyznacza preferencje funkcj� [ ], tj. yi,s = �i,s z1,...,zJ . Postulują, by po-
[ ]
banku w terminach ryzyko  zysk, a odst�p mi�dzy ni- sta� powyŻszej funkcji estymowa� za pomocą modelu
mi pewnoĘ� banku co do prawid"owego pomiaru ryzy- przep"ywów mi�dzyga"�ziowych Leontiefa5. Zak"ada
ka i stopy zwrotu. Kombinacje znajdujące si� poniŻej si� ponadto, Że strata z tytu"u udzielonych kredytów
dolnej linii charakteryzują si� tym, Że dodają istotną w i-tej branŻy, gdy gospodarka znalaz"a si� w stanie s,
porcj� ryzyka i dlatego powinny przynosi� wi�kszą opisywana jest przez nast�pujące równanie regresji
li,s = �i yi,s + �i,s
�i,s
[ ]
stop� zwrotu. Z kolei kombinacje znajdujące si� powy- , gdzie jest szokiem specyficz-
�i �"
Żej wyznaczonego przez linie obszaru są bardzo atrak- nym dla branŻy. Autorzy przyjmują, Że funkcja [ ]
cyjne z punktu widzenia banku, gdyŻ nawet po znacz- jest funkcją liniową i moŻe by� estymowana przy uŻy-
nym obniŻeniu ich rentownoĘci by"yby nadal akcepto- ciu metody najmniejszych kwadratów. Mając wi�c
wane przez bank. Podzia" taki pozwala wskaza�, które oszacowane obie funkcje oraz znając prognozy zmien-
Z1,...,Z
z umów kredytowych są ma"o atrakcyjne i powinny nych makroekonomicznych � � J , moŻemy okre-
by� usuni�te z portfela albo renegocjowane w kierun- Ęli� przysz"y rozk"ad strat i-tej branŻy, czyli zmienną
ku podwyŻszenia stopy ich rentownoĘci, a te, które są
ńłli,1 z prawd. Ą1
dla banku lukratywne.
�i = �ł
l
�ł
�łl z prawd. ĄS
i,S
ół
Ekonometryczny model Chirinko i Guilla W "atwy sposób moŻemy teraz obliczy� oczekiwa-
x = x1,...,xJ
ną strat� dla ca"ego portfela ( )
. Do pomiaru
Model Chirinko i Guilla [16] jest ekonometryczną pró- ryzyka autorzy sugerują uŻycie odchylenia standardo-
bą uchwycenia związków mi�dzy zmiennymi makro- wego straty portfela, którą oznaczamy przez l(x), lub
ekonomicznymi a stratami z tytu"u kredytów udziela- prawdopodobieł
stwa tego, Że strata przekroczy ustalo-
�
� = P l(x) e" l "
nych w róŻnych sektorach gospodarki. W zamierzeniu ną wartoĘ� l*, czyli . Jak "atwo zauwa-
( )
� �
l1,...,lJ
autorów model ten powinien by� pomocny w okreĘle- Ży�, zmienne nie muszą by� niezaleŻne, czyli
niu ryzyka portfela kredytowego dla instytucji gwaran- model uwzgl�dnia pewne zaleŻnoĘci wyst�pujące mi�-
tującej depozyty, by na jego podstawie ustanawia� limi- dzy stratami z tytu"u udzielonych kredytów w róŻnych
ty zaangaŻowania kredytowego oraz ustala� op"at� sektorach gospodarki.
ubezpieczeniową, proporcjonalną do rzeczywistego po-
ziomu ryzyka danego banku. Autorzy rozpatrują po-
dzia" kredytów ze wzgl�du na branŻ�, z której pochodzi PodejĘcie Wilsona
kredytobiorca, i przyjmują, Że istnieje I takich branŻ. Za-
k"adają ponadto, Że egzogeniczne i niezaleŻne zmienne Model Wilsona [58], [59], [60] jest wykorzystywany
� �
losowe4 Z1,...,Z J opisują stan gospodarki, gdzie przez firm� McKinsey Co. w CreditPortfolioView  pro-
dukcie do oceny ryzyka portfeli kredytowych. Jest on
i i modelem ekonometrycznym wykorzystującym metody
ńł z1 z prawd. p1
�ł
Monte Carlo. Model zak"ada, Że dla kaŻdego typu kre-
�
Zi =
�ł
i i
�łz z prawd. pN dytów istnieje pewien rodzaj ryzyka okreĘlany jako  ry-
M
ół
zyko systematyczne , które nie moŻe by� dywersyfiko-
Zrealizowanie si� wszystkich tych zmiennych opi- wane i ĘciĘle wiąŻe si� z czynnikami makroekonomicz-
suje stan, w jakim znalaz"a si� gospodarka. MoŻe si� za-
5
Model przep"ywów mi�dzyga"�ziowych ma posta� uk"adu równał
linio-
4
Autorzy przyjmują jako zmienne: inflacj�, poziom stóp procentowych, defi- wych Ax = d, gdzie wektor x przedstawia iloĘci poszczególnych dóbr produ-
cyt budŻetowy oraz waŻony obrotami w handlu zagranicznym kurs koszyka kowanych w gospodarce, elementy macierzy oznaczają liczb� jednostek i-tego
walutowego. MoŻna by si� natomiast spiera�, czy takie zmienne wolno trakto- nak"adu potrzebną do wyprodukowania jednostki j-tego produktu, a wektor d
wa� jako niezaleŻne. oznacza egzogeniczny dodatkowy popyt na produkty (Chiang [15], s. 126-134).
BANK I KREDYT czerwiec 2003 Bankowo� Komercyjna 75
q
nymi. Przyjmując, Że istnieje I typów kredytów, zak"a-
zjt = aj0 + zjt - n + �jt
"a
jn
da si�, Że dla kaŻdego z nich prawdopodobieł
stwo nie-
n=1
sp"acenia przez kredytobiorc� kredytu opisywane jest
aj0,...,ajn
�jt
przez model logitowy: gdzie są wspó"czynnikami procesu, a dla
t = 1 niezaleŻnymi zmiennymi losowymi o rozk"adzie
y* = �i0 + �i1z1t + ... + �in znt + �itj
itj
normalnym N (0, 1).
Rozk"ad strat portfela kredytowego estymowany
yit = 1
oraz (niewywiązanie si� ze zobowiązał
), jeŻeli jest przy uŻyciu metody Monte Carlo. Oznaczmy przez
�1,...,�I,�1,...,�N
y* d" 0 yitj = 0 ()2
.
i (wywiązanie si� z umowy), jeŻeli (�,� ) wektor B�dziemy zak"ada�, Że
itj
y* > 0
( ), gdzie:
itj . Wskaęnik i oznacza typ kredytu, t = 1,...,T opi- (�,�)2 ~ N 0,"
suje podokres, z którego pochodzi obserwacja, a
"� "�v
�ł łł
j = 1,...,J to numer obserwacji w rozpatrywanym pod-
"=�ł" "� śł
�ł �� �ł
okresie6. Przyjmuje si� ponadto, Że zmienne objaĘnia-
jące są zmiennymi makroekonomicznymi, ta- Macierz t� moŻemy wyestymowa� na podstawie
z1t,...,znt
kimi jak bezrobocie, deficyt budŻetowy, inflacja, wzrost danych historycznych.
gospodarczy. MoŻemy zatem interpretowa� zmienną
y*
jako wskaęnik sytuacji gospodarczej. Oznaczając Procedura estymacji strat zawiera nast�pujące kroki:
itj
w
itj = �i0 + �i1z1t + ... + �inznt ,
, prawdopodobieł
stwo nie- 1. Generowanie realizacji wektorów X1,...,XT
wywiązania si� i-tego kredytobiorcy z umowy kredyto- gdzie Xt ~ N 0,Id
( ), a macierz identycznoĘci Id ma wymiar
wej w sytuacji, gdy gospodarka opisywana jest przez równy N + 1.
1
z1t,...,znt P yitj = 1 =
zmienne , okreĘlane jest jako ( ) . 2. Wykorzystując rozk"ad Choleskiego8 macierzy
1+exp w
itj
( )
2 , w "atwy sposób moŻemy wygenerowa�
D"ugookresowe prawdopodobieł
stwo niesp"acenia kre- "= AA
Y1,...,YT
Yt ~ N 0,Id
dytu dla i-tego typu okreĘlone jest jako Ęrednia zmienne o rozk"adzie ( ) , przyjmu-
T J
1
LDRi = P yitj = 1
( ) . �rednie prawdopodo- jąc Yt = AXt . Mając je, a takŻe oszacowania wspó"-
JT " "
t =1 j =1
bieł
stwo niewywiązania si� ze zobowiązał
dla i-t- czynników równał
(1) i (2), naleŻy obliczy� wartoĘci
ego typu w podokresie t definiuje si� jako zmiennych oraz dla i = 1,...,T oraz t = 1,...,T. Za
y* zit
it
J
1
DRit = P yitj = 1
J " ( ). ich pomocą moŻna wyznaczy� ciągi prawdopodo-
j =1
( )
Autor zak"ada dalej, Że kaŻdy typ kredytu opisy- bieł
stw P yit = 1 niewywiązania si� z umowy kredy-
wany jest przez jeden wspólny dla wszystkich typów towej.
system ratingowy. Dla kaŻdego z typów moŻe nast�po- 3. Powtarzając powyŻsze kroki 10.000 tysi�cy razy,
wa�  migracja , czyli zmiana w czasie ratingu przypo- moŻemy otrzyma� rozk"ad prawdopodobieł
stw nie-
rządkowanego danemu typowi. Proces ten uzaleŻniony sp"acenia kredytów dla kaŻdego typu kredytu oraz do-
jest jednak od sytuacji gospodarki. W czasie recesji obni- wolnego podokresu. Stąd moŻna otrzyma� rozk"ad
Żenie ratingu staje si� wi�c bardziej prawdopodobne. Au- prawdopodobieł
stw straty ca"ego portfela.
tor modeluje proces migracji za pomocą niejednorodnego 4. Mając wyznaczony ciąg prawdopodobieł
stw
"ał
cucha Markowa. �ał
cuch ten zawiera ponadto jeden niesp"acenia kredytu, moŻemy okreĘli� wskaęniki
DRiT LDRi
stan absorbujący7, a mianowicie stan niewywiązania si� i na ich podstawie dla kaŻdego typu kredy-
M DRi1 LDRi
(),...,
z umowy kredytowej. Przyjmuje si�, Że wskaęnik tu okreĘli� ciąg macierzy przejĘcia i
DRit LDRi mierzy, czy bardziej prawdopodobna jest Mi DRiT LDRi . W ten sposób dla kaŻdego ratingu kre-
()
zmiana ratingu  w gór� , czy  w dó" . Zak"ada si�, Że ma- dytowego (np. Aaa) "atwo moŻemy znaleę� prawdopo-
cierz przejĘcia "ał
cucha Markowa, opisującego ewolucj� dobieł
stwo przejĘcia do dowolnego ratingu (np. Bb)
ratingów i-tego typu kredytów w podokresie t, zaleŻy od oraz prawdopodobieł
stwo niewywiązania si� z umowy
powyŻszego wskaęnika. MoŻe ona przyją� trzy wartoĘci (czyli przejĘcia do stanu odpowiadającego temu wyda-
w zaleŻnoĘci od tego, czy bardziej prawdopodobne jest rzeniu) w najbliŻszych t podokresach.
podwyŻszenie, bądę obniŻenie ratingu, czyli jeŻeli: Jako miar� ryzyka dla kaŻdego typu kredytu Wil-
son proponuje najmniejszy ą  kwantyl z wylosowanej
ńłM1 jeŻeli DRit e" LDRi + ci
i
metodami Monte Carlo próby opisującej rozk"ad praw-
�ł
2
M DRit LDRi = jeŻeli | DRit - LDRi |< ci
()
�łM
i i
dopodobieł
stw niesp"acenia kredytu dla tego typu.
3
�łM jeŻeli DRit d" LDRi - ci
i
ół
Jak moŻna zauwaŻy�, model ten jest dosy� skom-
gdzie ci jest pewną arbitralnie przyj�tą sta"ą, okreĘlają- plikowany, gdyŻ wymaga umiej�tnoĘci estymacji, na
cą poziom tolerancji. podstawie danych historycznych, parametrów modelu
Przyjmuje si�, Że zachowanie makroekonomicz- logitowego, procesu autoregresji i macierzy kowariancji
nych zmiennych opisywane jest za pomocą procesu au- oraz zastosowania metod Monte Carlo.
toregresji AR(q), czyli równaniem:
8
Rozk"adem Choleskiego nieujemnie okreĘlonej oraz symetrycznej macierzy
6 '
Implicite zak"ada si�, Że powyŻsza funkcja nie zmienia si� w czasie. Ł nazywamy rozk"ad macierzy Ł = ę ę , gdzie A jest macierzą trójkątną gór-
7
Tj. taki stan, Że "ał
cuch w nim pozostaje, pod warunkiem, Że uprzednio si� w nim znalaz". ną (tj. macierzą o zerowych elementach poniŻej przekątnej).
76 Bankowo� Komercyjna BANK I KREDYT czerwiec 2003
Model Credit Metrics ną od tego, czy dana umowa jest poŻyczką podporząd-
kowaną oraz czy jest obj�ta gwarancjami lub ubezpie-
Model Credit Metrics jest produktem komercyjnym fir- czeniem. Próbując wyznaczy� na podstawie metod
my J.P. Morgan. Zosta" opracowany przez G.M. Gupto- Monte Carlo rozk"ad wartoĘci portfela, przyjmuje si�,
na, Ch.C. Fingera i M. Bhatia [12] w 1997 r. Jest to mo- Że dla kaŻdej umowy kredytowej stopa ta jest zmienną
del jednookresowy, tzn. zmiany sytuacji kredytobior- losową o rozk"adzie Beta B(ą, � ), którego parametry za-
ców mogą nast�powa� tylko jeden raz w ustalonym leŻą z kolei wy"ącznie od tego, czy dana umowa jest po-
okresie, za który najcz�Ęciej przyjmuje si� jeden rok. Życzką podporządkowaną oraz czy jest obj�ta gwaran-
Utrzymuje si�, Że kredytobiorcy są podmiotami gospo- cjami lub ubezpieczeniem10. Stopy te są "ącznie nieza-
darczymi, a kaŻdą umow� kredytową moŻna zakwalifi- leŻne dla róŻnych umów kredytowych oraz są niezaleŻ-
kowa� do jednej z klas ratingowych, naleŻących do ne od przysz"ych ratingów kredytobiorców.
{1,...,K}. Im wyŻszy numer ratingowy, tym wi�ksze MoŻemy wi�c wartoĘ� obecną i-tego kredytu, któ-
prawdopodobieł
stwo niewywiązania si� z umowy, a rego początkowy rating wynosi mi, traktowa� jako na-
najwyŻsza K-ta klasa oznacza niewyp"acalnoĘ� kredyto- st�pującą zmienną losową:
i
biorcy. Znana jest ponadto macierz przejĘcia
ńłPVm 1 z prawd. pm1
i
�ł
"= pij i,j =1,...,K
mi�dzy powyŻszymi klasami oraz termi-
( )
PVm =
�ł
i
nowa struktura stóp procentowych dla kaŻdej z tych i
�łPV z prawd. pmK
mK
ół i
klas. Model zak"ada, Że kaŻda umowa kredytowa moŻe
w ciągu roku zmieni� swoją klas� ratingową zgodnie z gdzie prawdopodobieł
stwa pmj są elementami macie-
prawdopodobieł
stwami zawartymi w macierzy przej- rzy przejĘcia  .
Ęcia. Migracja ta zmienia terminową struktur� stóp pro- W omawianym opracowaniu zaproponowano spo-
centowych dla danego kredytu, gdyŻ za"oŻyliĘmy, Że sób wyznaczania "ącznych rozk"adów przejĘ� dla
struktura ta zaleŻy od klasy ryzyka wyznaczonej przez dwóch dowolnych kredytobiorców i, j = 1,...,N oraz i `" j,
rating. KaŻda poŻyczka dla i-tego kredytobiorcy, gdzie których ratingi wynoszą obecnie odpowiednio m1 oraz
ij
pk ,k2 |mi ,m
i = 1,...,N traktowana jest jako ciąg p"atnoĘci m2. Oznaczmy przez "ączne prawdopodo-
1 j
i i
CFt1,...,CFtn
zapadalnych w chwilach t1,...,tn , gdzie tj bieł
stwo zdarzenia polegającego na tym, Że rating i-tego
oznacza lata od chwili obecnej9. Zak"adając, Że w ciągu oraz j-tego kredytobiorcy wyniesie za rok odpowiednio
m " 1,...,K -1
{ }
roku nastąpi zmiana klasy ratingowej z k1 oraz k2. Podstawą jego oszacowania jest za"oŻenie,
n " 1,...,K - 1
na klas� { } , tj. nie zdarzy si� w ciągu ro- Że zmiany w ratingu i-tego kredytobiorcy zaleŻą wy-
ku niewywiązanie kredytobiorcy z umowy, wartoĘ� "ącznie od zmian wartoĘci aktywów kredytobiorcy ma-
obecna takiego strumienia wyniesie: jących rozk"ad normalny wartoĘciach parametrach
N �m ,1 . Znając prawdopodobieł
stwa przejĘcia
( )
-1 -1 i
i
i i
PVmn = 1 + yt + 1 + yt pm 1,...,pmK
( ) ( )
"CFt m "CFt n
j j i i b�dące elementami macierzy  , moŻemy
t <1 t e"1
j j
lm 1 > ... > lmK -1
wyznaczy� wartoĘci progowe takie, Że je-
i i
i i
yt yt
gdzie m oraz n oznaczają odpowiednio stopy zwro- Żeli = pm , P X < lmK = pmK
Xi ~ N �m ,1 ( ) ( -1
( ), to P X > lm 1 1 )
i i i i
i
P lmj < X < lmj -1 = pmj
tu dla m-tej oraz n-tej klasy ratingowej od chwili 0 do oraz . Autorzy zak"adają ponadto,
()
i i i
X1,...,XN
( )2
ti, ustalone na podstawie terminowej struktury stóp Że wektor zmiennych ma "ączny rozk"ad nor-
procentowych. W przypadku migracji z klasy m do kla- malny o wektorze oczekiwanych stóp zwrotu
�m ,..., �m
sy K, tj. w sytuacji, gdy kredytobiorca w ciągu roku sta- ()2
i macierzy kowariancji
1 N
nie si� niewyp"acalny, przyjmujemy, Że wartoĘ� obec-
na wyraŻa si� jako
�ł �ł
1 �ij
-1
i
i �ł
PVmK = 1 + yt + reci
"=�ł
( )
"CFt m "CFt
j j
�ł �ł
t <1t e"1
j j
�ł �ł
�ji 1
�ł łł
i,j =1,...,N
gdzie reci oznacza stop� odzyskania naleŻnoĘci. Auto-
rzy  w zaleŻnoĘci od tego, czy są zainteresowani obli- gdzie rij jest korelacją mi�dzy zmianami wartoĘci akty-
czeniem jako miary ryzyka odchylenia standardowego wów i-tego oraz j-tego kredytobiorcy. WartoĘ� ta obli-
wartoĘci portfela za rok, czy teŻ przybliŻeniem na pod- czana jest na bazie historycznych korelacji mi�dzy
stawie symulacji Monte Carlo rozk"adu wartoĘci portfe- zwrotu skonstruowanymi dla firm indeksami stóp zwro-
la na koniec roku w celu obliczenia Value at Risk  tu na podstawie danych na temat udzia"u sprzedaŻy w
przyjmują dwa za"oŻenia co do powyŻszej stopy. poszczególnych branŻach róŻnych krajów oraz charak-
W przypadku obliczania odchylenia standardowego terystycznych dla nich indeksów branŻowych11.
przyjmuje si�, Że jest ona sta"ą równą Ęredniej histo-
10
Rozk"ad beta B(ą, � ) okreĘlony jest przez funkcj� g�stoĘci:
rycznej stopie odzyskania straconych naleŻnoĘci, zaleŻ-
� + �
(ą )
f(x) = xą -1(1 - x)� -1I[0,1](x)
�(ą)� �
( )
9
Autorzy przewidują moŻliwoĘ� zastosowania Credit Metrics takŻe w odnie- gdzie ą > � > 0.
sieniu do linii kredytowych. Wymaga to jednak oszacowania Ęrednich termi- 11
Procedura ta jest dosy� d"uga i nieco skomplikowana i dlatego nie zostanie
nów wp"at i wyp"at oraz ich wysokoĘci.
szczegó"owo omówiona.
BANK I KREDYT czerwiec 2003 Bankowo� Komercyjna 77
MoŻemy wi�c zapisa�: zastosowaniu pewnych rozwiązał
znanych w matema-
ij tyce aktuarialnej. Kredytobiorcy są dzieleni na roz"ącz-
pk ,k2 |mi ,m = P lmk < X < lmk -1,lmk < X < lmk -1
()
1 j i 1 i 1 j 2 j 2
ne zbiory ( pasma ), z których kaŻdy charakteryzowa-
Na tej podstawie jesteĘmy w stanie obliczy� kowa- ny jest przez pewną sta"ą wartoĘ� potencjalnej straty.
riancje mi�dzy wartoĘciami obecnymi kredytów udzie- Jednostk� rozrachunkową dobiera si� w ten sposób, aby
lonych i-temu oraz j-temu kredytobiorcy potencjalna strata by"a liczbą ca"kowitą. Dla kaŻdego
i j i j ij
cov ,PVm
(PV )= "PV PVm pk - z pasm przeprowadza si� nast�pujące rozumowanie.
mi j mk1 j k2 1,k1|mi ,mj
i
Przyjmuje si�, Że istnieje K sektorów gospodarki
k1 ,k2 "{1,..,K}
oraz Że dane pasmo sk"ada si� z N kredytobiorców,
�ł �ł�ł �ł
i j
"PV pmk łł�ł "PV pm łł z których kaŻdy moŻe mie� udzia" w wybranych sekto-
mk1 i 1 m k2 j k2
�ł �ł�ł �ł
i j
�ł k1 " 1,...,K k2 "{1,...,K}
{ }
rach. Zak"ada si�, Że kredytobiorców jest bardzo duŻo,
Znając kowariancje mi�dzy wartoĘciami obecnymi a prawdopodobieł
stwo niewyp"acalnoĘci pojedyncze-
kredytów dla dowolnych dwóch kredytobiorców, mo- go kredytobiorcy jest niewielkie13.
Żemy wyznaczy� macierz kowariancji wartoĘci obec- Udzia" n-tego kredytobiorcy w j-tym sektorze
k
nych umów kredytowych i na tej podstawie wariancj� oznaczmy przez � i dla kaŻdego n = 1,...,N zachodzi
n
K
k
�n = 1
ca"ego portfela równą: " . Zak"ada si� równieŻ, Że na podstawie ratin-
k =1
2 i j gu przypisanego kaŻdemu kredytobiorcy moŻna odpo-
� ="i,j =1,...,N cov ,PVm
(PV ). wiednio okreĘli� Ęrednią cz�stoĘ� niewywiązania si�
mi j
Oprócz brania pod uwag� odchylenia standardo- przez niego z warunków umowy Pn oraz odchylenie
wego jako miary ryzyka, rozwaŻane jest takŻe wykorzy- standardowe tej cz�stoĘci � . Niech zmienne losowe
n
stanie Value at Risk, którą definiujemy jako X1,...,XK oznaczają Ęrednią liczb� przypadków niewy-
-
Zą = inf : P V - EV e" z d" ą , gdzie V jest zmienną loso- p"acalnoĘci w ciągu roku w odpowiednich sektorach.
( )
{z () }
wą, opisującą obecną wartoĘ� portfela, ą zaĘ arbitralnie Zak"ada si�, Że zmienne te są niezaleŻne, a rozk"ad
przyj�tym poziomem tolerancji. W tym celu autorzy zale- prawdopodobieł
stwa kaŻdej z nich jest rozk"adem
(ąk,�k
)
cają przybliŻenie metodą Monte Carlo rozk"adu zmiennej Gamma14 � . Oznaczmy � przez � oraz odpo-
k k
V. Polega ona na wygenerowaniu próby oko"o 20.000 ty- wiednio wartoĘ� oczekiwaną i wariancj� zmiennej Xk.
1
( (i 2 2 2
X(i) = X1i),...,XN) ~ N �,"
si�cy wektorów zmiennych ( ) . Wiadomo, Że ąk = �k � �k = �k �k
i . Przyjmuje si�
( )
k
N N
k k
�k = pn�n �k = �n�n
oraz zmiennych reci ~ B ,�k . Na tej podstawie mo- " oraz . Zak"adając, Że Ęred-
(ąk "
) n=1
n=1
i i
Żemy nast�pnie dla kaŻdego wygenerowanego wektora nia liczba przypadków niewyp"acalnoĘci w k-tym sek-
Xk = xk
X(i) oraz zmiennej reci wyznaczy� "ączne zmiany torze wynios"a xk, tj. , faktyczna liczba przy-
ratingów dla wszystkich N sk"adników portfela, a za- padków niewyp"acalnoĘci w tym sektorze ma rozk"ad
Ą xx
tem takŻe wartoĘci obecne poszczególnych sk"adników Poissona15 ( ). Twórcy produktu, wykorzystując
portfela, pod warunkiem zrealizowania zmian ich ra- narz�dzia stosowane w matematyce aktuarialnej, uzy-
tingów. Sumując wartoĘci obecne wszystkich sk"ado- skują formu"y na "ączny rozk"ad liczby przypadków
wych portfela, otrzymujemy wartoĘ� ca"ego portfela, niewyp"acalnoĘci dla danego pasma. PoniewaŻ przyj�-
którą oznaczymy przez V(i). W ten sposób moŻemy liĘmy, Że potencjalna wielkoĘ� straty dla wszystkich
otrzyma� rozk"ad wartoĘci ca"ego portfela. Oznaczając kredytobiorców z danego pasma jest taka sama, w "a-
-
N
(i)
1
V
V = Vi (i)
oraz Y = ( -V
) , jako estymator Value twy sposób, mając rozk"ad liczby przypadków niewy-
20000 "
i=1
Ć
Zą = Y[(1-ą )20000]+1:20000 12
at Risk przyjmujemy . p"acalnoĘci, moŻemy otrzyma� dla danego pasma roz-
Autorzy argumentują, Że model moŻe znaleę� zasto- k"ad wielkoĘci strat. Znając mechanizm powstawania
sowanie w ustanawianiu regu" post�powania ogranicza- strat dla poszczególnych pasm, moŻna okreĘli� rozk"ad
jących ryzyko kredytowe, w ocenie efektywnoĘci pracy strat ca"ego portfela kredytowego banku. Jako miar� ry-
zarządu, okreĘlaniu limitów kredytowych oraz adekwat- zyka portfela kredytowego przyjmuje si� ą  kwantyl
noĘci kapita"owej (na podstawie Value at Risk) potrzeb- rozk"adu strat portfela.
nej, by bank móg" si� wywiąza� ze swoich zobowiązał
Jak "atwo moŻna zauwaŻy�, trzy z omówionych po-
w przypadku, gdy wydarzy si� niekorzystny, lecz ma"o wyŻej modeli bazują na związaniu ryzyka kredytowego
prawdopodobny scenariusz rozwoju przysz"oĘci. ze zmiennymi makroekonomicznymi. NaleŻą do nich:
13
PodejĘcie takie jest cz�sto spotykane w modelach ubezpieczeniowych.
PodejĘcie aktuarialne - CreditRisk+
Przyjmuje si� wówczas, Że firma ubezpieczeniowa ma do czynienia z duŻą
liczbą szkód, z których kaŻda moŻe si� pojawi� z bardzo ma"ym prawdopodo-
bieł
stwem.
CreditRisk+ jest powsta"ym w 1996 r. produktem firmy
14
Rozk"ad Gamma � jest okreĘlony przez funkcj� g�stoĘci
(ą,�
).
- x
1 �
Credit Suisse s"uŻącym do zarządzania ryzykiem port- f(x) = ą e xą -1gdzie �(ą) = " -xxą -1dx jest funkcją Gamma. Jego wartoĘ�
� �(ą ) +"e
0
2
oczekiwana i wariancja wyraŻa si� odpowiednio jako � = ą� i � = ą�2.
fela kredytowego [19]. Jego konstrukcja opiera si� na
15
Ą(x)
Rozk"ad Poissona jest rozk"adem dyskretnym okreĘlonym w nast�pują-
- x n
e x
cy sposób: P(n) = dla n = 0, 1... . Jego wartoĘ� oczekiwana i wariancja są
n!
12
Przez Yk:n oznaczamy k-tą statystyk� pozycyjną z próby n-elementowej.
sobie równe i wynoszą x.
78 Bankowo� Komercyjna BANK I KREDYT czerwiec 2003
model Benneta, model Chirinko i Guilla oraz model Wil- deli ani nie zosta"a jeszcze opracowana powszech-
sona. Warto równieŻ zauwaŻy�, Że podejĘcie Altmana, nie akceptowana metoda weryfikacji dawanych
Wilsona oraz Credit Metrics zak"adają istnienie ratingów przez nie prognoz (Komitet Bazylejski [10], s. 16).
dzielących kredyty na poszczególne klasy ryzyka oraz Wynika to m.in. z ma"ej dost�pnoĘci d"ugookreso-
moŻliwoĘ� oszacowania macierzy prawdopodobieł
stw wych danych na temat zrealizowanych umów kredy-
przejĘcia mi�dzy nimi. NaleŻy doda�, Że spoĘród powyŻ- towych oraz przypadków niewyp"acalnoĘci d"uŻni-
szych modeli w sposób komercyjny wykorzystuje si� je- ków. Ponadto banki pos"ugują si� róŻnymi definicja-
dynie trzy: model Wilsona wykorzystywany w opraco- mi pewnych wielkoĘci (np. strat) oraz róŻnymi we-
wanym przez McKinsey Company CreditPortfolioView, wn�trznymi ratingami kredytobiorców. RównieŻ da-
produkt Credit Metrics oferowany przez J.P. Morgan ne potrzebne do estymacji modeli są zbierane nieko-
oraz CreditRisk+ stworzony przez Credit Suisse. Wynika niecznie w ten sam sposób. W koł
cu, banki uŻywa-
to zapewne z faktu, Że modele te zosta"y stworzone w od- ją z regu"y tylko jednego modelu, którego parametry
powiedzi na faktyczne potrzeby powyŻszych firm. Jed- estymują na podstawie jedynie sobie znanych da-
nak nawet te modele znajdują si� jeszcze w fazie wst�p- nych. Nie jest równieŻ jasne, czy proponowane po-
nej i b�dą w przysz"oĘci systematycznie wzbogacane dejĘcia dają lepsze wyniki od prostego podejĘcia
(Komitet Bazylejski [10], s. 16). Ponadto wi�kszoĘ� z za- bayesowskiego, w którym zmiana prawdopodo-
prezentowanych modeli nie s"uŻy do optymalizacji port- bieł
stw przejĘcia opiera si� na ekspertyzie departa-
fela kredytowego banku, lecz do wyznaczania rozk"adu mentu ryzyka kredytowego m.in. na podstawie ob-
jego przysz"ych wartoĘci lub Value at Risk. serwowanej fazy cyklu koniunkturalnego. W tej sy-
Istniejące rozwiązania, jeĘli chodzi o pomiar ryzy- tuacji moŻliwoĘci porównywania poszczególnych
ka kredytowego oraz problemy z tym związane, są modeli są niezwykle ograniczone. Powoli pojawiają
w ogólny sposób przedstawione w jednym z dokumen- si� jednak pierwsze próby analizy porównawczej
tów opracowanych przez Komitet Bazylejski [10]. Za- modeli na podstawie tych samych zbiorów danych
wiera on analiz� metod stosowanych w 20 bankach po- historycznych (Crouhy [18], Saunders [51], s. 105-
chodzących z 10 krajów. Inny interesujący przegląd 106). Są one jeszcze bardzo niedoskona"e i s"abo
praktycznie wykorzystywanych modeli zawarty jest rozwini�te. NaleŻy przypuszcza�, Że kolejnym kro-
w ksiąŻce Saundersa [53]. kiem w konstrukcji modeli s"uŻących do zarządza-
Na koniec warto podkreĘli�, Że nie są znane po- nia ryzykiem b�dzie próba integracji ryzyka kredy-
równania wartoĘci prognostycznych powyŻszych mo- towego oraz rynkowego.
Bibliografia
1. E.I. Altman, A. Saunders (1998): Credit risk measurement: Development over the last 20 years.  Journal of Ban-
king and Finance 21, s. 1721-1742.
2. E.I. Altman, J.B. Caouette, P. Narayanan (1998): Managing Credit Risk. John Wiley.
3. E.I. Altman, J.B. Caouette, P. Narayanan (1998): Credit-risk measurement and management: The ironic challen-
ge in the next decade.  Financial Analysts Journal , January-February, s. 7-11.
4. E.I. Altman (1997): Corporate Bond and Commercial Loan portfolio Analysis. New York University Salomon
Brothers Center, S-97-12.
5. E.I. Altman (1997): Rating Migration of Corporate Bonds: Comparative Results and Investor/Lender Implications.
New York University Salomon Brothers Center, S-97-3.
6. E.I. Altman (1997): Default Rates in The Syndicated Loan Market: A Mortality Analysis, S-97-39.
7. G.F. Angel, J.M. Diez-Canedo, E.P. Gorbea (1998): A discrete Markov chain model for valuing loan portfolios.
The case of Mexican loan sales.  Journal of Banking and Finance 22, s. 1457-1480.
8. T.R. Bielecki, M. Rutkowski (2002): Credit Risk: Modelling, Valuation and Hedging. Springer Verlag.
9. Basle Committee on Banking Supervision (2001): The standarised approach to credit risk, consultative document.
10. Basle Committee on Banking Supervision (1999): Credit risk modelling: current practices and applications.
11. P. Bennet (1984): Applying portfolio theory to global bank lending.  Journal of Banking and Finance 8, s. 153 -169.
12. M. Bhatia, Ch.C. Finger, G.M. Gupton (1997): Credit Metrics  Technical Document. Morgan Guaranty Trust
Co., New York.
13. G. Borys (1996): Zarządzanie ryzykiem kredytowym w banku. PWN.
BANK I KREDYT czerwiec 2003 Bankowo� Komercyjna 79
14. S.A. Buser, E.J. Kane (1979): Portfolio diversification at commercial banks.  Journal of Finance 34, s. 19-34.
15. A.C. Chiang (1994): Podstawy ekonomii matematycznej. PWN.
16. R.S. Chirinko, D.G. Guill (1991): A framework for assessing credit risk in depository institution: Toward regu-
latory reform.  Journal of Banking and Finance 15, s. 785-804.
17. T.E. Copeland, J.F. Weston (1992): Financial Theory and Corporate Policy. Addison-Wesley Publishing Company.
18. M. Crouhy, D. Galai, R. Mark (2000): Comperative analysis of current credit risk models.  Journal of Banking &
Finance 24, s. 59-117.
19. Credit Suisse (1996): CreditRisk+, http://www.csfp.co.uk, 11.11.1999.
20. K. Cuthbertson (1996): Quantitative Financial Economics: Stocks, Bonds and Foreign Exchange. John Wiley.
21. The Economist (1998): Model behaviour. February 28.
22. Euromoney (1996): The launch of a new market: Credit Derivatives. March, s. 28-34.
23. M.W. Fadil (1997): Problems with weighted-average risk ratings: a portfolio management view.  Commercial
Lending Review 12, s. 23-27.
24. M.W. Fadil, B.G. Stevenson (1995): Modern portfolio theory: can it work for commercial loans?  Commercial
Lending Review 10, s. 4-12.
25. Federal Deposit Insurance Corporation (1983): Deposit Insurance in a Changing Enviroment, Washington.
26. E.R. Fiedler, M.R. Pech (1971): Measures of Credit Risk and Experience. Columbia University Press.
27. J.K. Ford (1997/98): How to benchmark portfolio risk.  Commercial Lending Rewiev , Winter, s. 60 - 62.
28 J.K. Ford (1997): How to assess the concentration profile of your loan portfolio.  Commercial Lending Rewiev ,
Spring, s. 57-59.
29. J.K. Ford (1995): Credit analysis using a concentration ratio to measure credit risk.  Commercial Lending Re-
wiev , Summer, s. 92-94.
30. X. Freixas, J.C. Rochet (1998): Microeconomics of Banking. MIT Press.
31. T.L. Gollinger, J.B. Morgan (1993): Calculation of an Efficient Frontier for a Commercial Loan Portfolio.  The
Journal of Portfolio Management , Winter.
32. R. Jagie""o, J. Nowakowski (1997): Zysk i ryzyko inwestycji kredytowej.  Bank i Kredyt nr 7-8, s. 104-107.
33. R. Jagie""o, J. Nowakowski (1998): Optymalny portfel kredytowy jako czynnik gwarantujący bezpieczeł
stwo
banku komercyjnego.  Bank i Kredyt nr 5, s. 65-72.
34. K. Jajuga (1998): Ryzyko kredytowe w finansach - pomiar i zarządzanie za pomocą instrumentów pochodnych.
W: Modelowanie preferencji instrumentów ryzyko  98. Praca zbiorowa pod red. T. Trzaskalika. Wydawnictwo
Akademii Ekonomicznej w Katowicach, s. 155-162.
35. R. Jarrow, S. Turnbull (1996): Credit Risk, The Handbook of Risk Management and Analysis. Edited by Carol
Alexander, John Wiley.
36. E.J. Kane, S.A. Buser (1979): Portfolio diversification at commercial banks.  Journal of Finance 34, s. 19-34.
37. J.G. Kemeny, J.L. Snell (1960): Finite Markov Chains. D Van Nostrand Company, Princeton.
38. KMV Corporation (1995): Introducing Credit Monitor. San Francisco, KMV Corporation.
39. W. Kury"ek (2000): Credit scoring  podejĘcie statystyczne.  Bank i Kredyt nr 6, s. 72-77.
40. W. Kury"ek (2000): Modele migracji kredytów.  Bank i Kredyt nr 10, s. 18-23.
41. E.C. Lawrence, L.D. Smith (1995): Forecasting losses on a liquidating long-term loan portfolio.  Journal of Ban-
king and Finance 19, s. 959-985.
42. H.M. Markowitz (1952): Portfolio selection.  Journal of Finance , 7, s. 77-91.
43. H.M. Markowitz (1959): Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investment. New York John Wiley &
Sons.
44. H.M. Markowitz, A.F. Perold (1981): Portfolio analysis with scenarios and factors.  Journal of Finance 36, s.
871-877.
45. H.M. Markowitz, A.F. Perold (1981): Sparsity and piecewise linearity in large portfolio optimization problems,
Sparse Matrices and Their Uses. Edited by I.S. Du., Academic Press.
46. H.M. Markowitz (1990): Mean-Variance Analysis in Portfolio Choice and Capital Markets. Blackwell.
47. M. Matczak, J. Nowakowski (1998): Optymalizacja portfela kredytowego duŻego banku w relacji: struktura -
zysk  ryzyko. Studia i Prace Kolegium Zarządzania i Finansów Szko"y G"ównej Handlowej, zeszyt 9, s. 22 - 44.
48. R.C. Merton (1974): On the pricing of corporate debt: The risk structure of interest rates.  Journal o Finance
29, s. 449-470.
49. W. Ogryczak, A. Ruszczył
ski (1999): From stochastic dominance to mean-risk models: semideviations as risk
measures.  European Journal of Operational Research 116, s. 33-50.
50. Prawo bankowe. Ustawa z dnia 29 sierpnia 1997 r. po nowelizacji z dnia 23 sierpnia 2001 r. Dz.U. z 2002 r. nr
72, poz. 665.
80
80 Bankowo� Komercyjna BANK I KREDYT czerwiec 2003
51. M. Purchia, L. Stern (1992): Applying theory to loan portfolio management. Financial Managers Statement, Ja-
nuary/February.
52. P. Rose (1997): Commercial bank management. IRWIN.
53. A. Saunders (1999): Credit Risk Measurement: New Approaches to Value at Risk and Other Paradigms. J. Wiley.
54. J.F. Sinkey (1975): A multivariate statistical analysis of the characteristics of problem banks.  Journal of Finan-
ce 30, s. 21-36.
55. M. Dewatripont, J. Tirole (1994): The Prudential Regulation of Banks. MIT Press.
56. L. Wakeman (1998): Credit enhancement, Risk Management and Analysis. Vol. 1: Measuring and Modelling
Financial Risk. Edited by Carol Alexander, John Wiley.
57. A. Weron, R. Weron (1998): InŻynieria finansowa. WNT.
58. T.C. Wilson (1998): Portfolio credit risk.  Economic Policy Review , October , s. 71 - 82.
59. T.C. Wilson (1997): Portfolio credit risk (I).  Risk Magazine , September, s. 111-117.
60. T.C. Wilson (1997): Portfolio credit risk (II).  Risk Magazine , October, s. 56-61.
61. A. Woęniak (1999): Jak Ęwiat radzi sobie z ryzykiem kredytowym.  Rynek Terminowy nr 3/5/99, s. 71-76