Matematyka A, kolokwium, 23 marca 2011, 18:15  20:00
Należy przeczytać CALE zadanie PRZED rozpoczeciem rozwia zywania go!
1. Niech f(x) = ln(x2 - 1) dla x " [3, 7] .
(5 pt.) Znalez
ć d wykresu funkcji f .
lugość
(5 pt.) Znalez
ć odleg środka masy tego wykresu od osi OY .
lość
Zak lożona
ladamy, że masa jest roz równomiernie, tzn. że jest masa dowolnego luku
jest proporcjonalna do jego d
lugości

7
2x
Rozwia zanie. D tego wykresu to 1 + (f (x))2 dx . Ponieważ f (x) = , wiec
lugość
3 x2-1
(x2+1)2
4x2 x4-2x2+1+4x2 x4+2x2+1 x2+1
1 + (f (x))2 = 1 + = = = , zatem 1 + (f (x))2 = .
(x2-1)2 (x2-1)2 (x2-1)2 (x2-1)2 x2-1

7 7 7
x2+1 2 1 1
Wobec tego d jest równa dx = 1 + dx = 1 + - dx =
lugość
3 x2-1 3 x2-1 3 x-1 x+1

7
3
= x + ln(x - 1) - ln(x + 1) = (7 + ln 6 - ln 8) - (3 + ln 2 - ln 4) = 4 + ln .
2
3
Odleg środka masy od osi OY , to po prostu pierwsza wspó tego środka, wiec
lość lrzedna

7

7 7
7
x2+1 2x 1
x dx x + dx
x 1 + (f (x))2 dx x2 + ln(x2 - 1)
3 x2-1 3 x2-1 2
3 3
= = = =

7 3 3 3
4 + ln 4 + ln 4 + ln
1 + (f (x))2 dx
2 2 2
3
49 9
+ ln 48 - - ln 8
20 + ln 6
2 2
= = H" 4,95 .
3 3
4 + ln 4 + ln
2 2
Ostatnie przybliżenie to już nie jest cześć zadania, ale informacja dla tych których mog by to
lo
zainteresować.

2x
Ca dx oczywiście nie obliczamy, bo rozwia zanie zaczelo sie od równości
lki
x2-1
2x
ln(x2 - 1) =  pozdrawiam tych, którzy jednak obliczali.
x2-1
2. (10 pt.) Rozwia zać równanie z6 + 2z4 + 8z2 - 32 = 0 , tzn. znalez
ć wszystkie zespolone
rozwia zania tego równania.
Rozwia zanie. Niech w = z2 . Wtedy 0 = w3+2w2+8v-32 = (w-2)(w2+4w+16) = =(w-
" " "
2) (w+2)2+12 . Wobec tego w = 2 lub w+2 = -12 = Ä…2 3i , czyli w = -2Ä…2 3i . Wynika

" " " " "
sta d, że z1 = - 2 , z2 = 2 , z3 = -2 - 2 3i , z4 = - -2 - 2 3i , z5 = -2 + 2 3i ,
"
" "
1 3 4Ä„ 4Ä„
z6 = - -2 + 2 3i . Mamy -2 - 2 3i = 4 - - i = 4 cos + i sin , zatem z3 =
2 2 3 3
"
" "
2Ä„ 2Ä„ 1 3
=2 cos + i sin = 2 - + i = -1 + i 3 . Analogicznie z4 = 1 - i 3 . Ponieważ
3 3 2 2
"
" "
1 3 2Ä„ 2Ä„ Ä„ Ä„
-2 + 2 3i = 4 - + i = 4 cos + i sin , wiec z5 = 2 cos + i sin = 1 + i 3 . Sta d
2 2 3 3 3 3
"
z6 = -z5 = -1 - i 3 .
Uwaga. Trygonometria nie jest w ostatniej fazie konieczna. Można posta pić tak. Jeśli z2 =
"
" "
3
= - 2 - 2i 3 i z = x + iy , x, y " R , to x2 - y2 = -2 oraz 2xy = -2 3 , wiec y = - . Sta d
x
3
x2- = -2 , czyli x4+2x2-3 = 0 . Wobec tego (x2+1)2-4 = 0 , zatem x2 = 1 (przypominamy,
x2
" "
że x2 e" 0 , bo x " R ). Wobec tego z = 1 - i 3 lub z = -1 + i 3 . Podobne rozumowanie
" "
można przeprowadzić w przypadku z2 = -2 + 2i 3 , Otrzymujemy wtedy z = 1 ą i 3 .
3. Niech C oznacza czworościan (ostros trójka tny) o wierzcho (0, 0, 0) , (4, 0, 0) ,
lup lkach
(0, 4, 0) i (0, 0, 4) . Niech Cg bedzie zbiorem z
lożonym z tych punktów (x, y, z) czworościanu
C , dla których z e" 2 , Cd  zbiorem z
lożonym z tych punktów (x, y, z) czworościanu C ,
dla których z d" 2 , a T  trójka tem o wierzcho (0, 0) , (a, 0) i (0, a) , a > 0 .
lkach
(2 pt.) Znalez
ć środek masy (jednorodnego) trójka ta T .
(4 pt.) Znalez
ć środek masy (jednorodnego) czworościanu C .
(1 pt.) Znalez
ć środek masy (jednorodnego) czworościanu Cg .
(3 pt.) Znalez
ć środek masy (jednorodnego) pieciościanu Cd .
Rozwia zanie. Na wyk udowodniono, że środek masy jednorodnego trójka ta, to punkt
ladzie
znany ze szko jako środek cieżkości trójka ta. czyli punkt przeciecia środkowych, tzn. punkt
ly

1 a a 1
(0, 0) + (a, 0) + (0, a) = ( , ) . Pole tego trójka ta to oczywiście a2 .
3 3 3 2
Czworościan C to oczywiście zbiór z z tych wszystkich punktów (x, y, z) , dla których
lożony
x e" 0 , y e" 0 , z e" 0 i x + y + z d" 4 . Przy ustalonym z otrzymujemy trójka t o wierzcho
lkach
4-z 4-z
(0, 0, z) , (4-z, 0, z) i (0, 4-z, z) . Jego środkiem masy jest punkt , , z z masa 1 (4-z)2 .
3 3 2
Mamy zatem

4 4
4-z 1
(4 - z)2 dz (4
1 - z)3 dz -1 (4 - z)4|4 144
1 1
0
0 3 2 4 4
xS = = · = · = · = 1 .
0
4 4
1
3 3 -1 (4 - z)3|4 143
3
(4 - z)2 dz (4 - z)2 dz
0
3 3
0 2 0
Podobnie przekonujemy sie, że yS = 1 i zS = 1 . Wobec tego środkiem czworościanu C jest
punkt S = (1, 1, 1) .
1
Czworościan Cg jest podobny do czworościanu C w skali . Dok można uzyskać go
ladniej,
2
1
z czworościanu C stosuja c najpierw jednok w skali wzgledem (0, 0, 0) , a potem prze-
ladność
2
1 1 1 1 1 5
suwaja c o wektor [0, 0, 2] . Z punktu (1, 1, 1) otrzymujemy Sg = ( , , ) + [0, 0, 2] = ( , , ) .
2 2 2 2 2 2
Jeśli Sd = (x, y, z) oznacza środek cieżkości pieciościanu Cd , to zachodzi równość:
1 7
Sg + Sd = S .
8 8
Wynika to sta d, że masa czworościanu Cg jest 8 razy mniejsza niż masa czworościanu C i
7 1
wobec tego masa pieciościanu Cd to masy czworościanu C . Sta d mamy równania + 7x = 8,
8
2
1 5 15 11 15 15 11
+ 7y = 8 i + 7x = 8 . Sta d od razu wynika, że x = y = i z = , wiec Sd = , , .
2 2 14 14 14 14 14
Uwaga 1. Oczywiście w celu znalezienia Sg i Sd można też obliczać ca W przy-
lki.

4
4-z 1
(4 - z)2 dz
2 3 2
padku pierwszej wspó lyby , a w przypadku Sd :
lrzednej punktu Sg by to

4
1
(4 - z)2 dz
2 2

2
4-z 1
(4 - z)2 dz
0 3 2

2
1
(4 - z)2 dz
0 2
Uwaga 2. W przypadku trójka ta środek masy pokrywa sie ze środkiem masy uk trzech
ladu
punktów materialnych o równych masach, umieszczonych w wierzcho trójka ta. Okaza sie,
lkach lo
że w przypadku tego konkretnego czworościanu zachodzi analogiczne twierdzenie: środek masy
jednorodnego czworościanu pokrywa sie ze środkiem masy uk czterech punktów materialnych
ladu
o równych masach, umieszczonych w wierzcho czworościanu. Można udowodnić ( że
lkach latwe!),
to twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnego czworościanu.
4. (10 pt.) Obliczyć pole powierzchni powsta w wyniku obrotu wykresu funkcji y = tg x ,
lej
Ä„ Ä„
d" x d" wokó osi OX .
l
6 3
Rozwia zanie. Zgodnie z wzorem omówionym na wyk to pole jest równe ca
ladzie lce



y=cos2 x
Ä„/3 Ä„/3
sin x 1
2Ä„ tg x · 1 + ((tg x) )2 dx = 2Ä„ · 1 + dx = = = = = = = =
= = = = = = =
Ä„/6 Ä„/6 cos x cos4 x
dy=-2 cos x sin x dx



y=tg Ä… arctg(3/4)
1/4 3/4
1 1 1 cos2 Ä… 1 1
= -Ä„ 1 + dy = Ä„ y2 + 1dy = = = = = = Ä„ · · dÄ… =
= = = = =
3/4 y y2 1/4 y2 arctg(1/4) sin2 Ä… cos Ä… cos2 Ä…
dy=cos-2 Ä… dÄ…

arctg(3/4) sin(arctg(3/4))
cos Ä… dz
= Ä„ dÄ… = = = = = =
=z=sin Ä… =Ä„
= = =
arctg(1/4) sin2 Ä… cos2 Ä… sin(arctg(1/4)) z2(1-z2)
dz=cos Ä… dÄ…

sin(arctg(3/4)) sin(arctg(3/4))
1 1 1 1 1
= Ä„ + dz = Ä„ + + dz =
sin(arctg(1/4)) z2 1-z2 sin(arctg(1/4)) z2 2(1-z) 2(1+z)

sin(arctg(3/4)) 1 (1+z)2 1
sin(arctg(3/4))
1 1 1
= Ä„ - - ln(1 - z) + ln(1 + z) = Ä„ ln -
=
z 2 2 2 1-z2 z
sin(arctg(1/4))
sin(arctg(1/4))


arctg(3/4) ln 1 + tg2 Ä… + tg Ä… - 1 + 1 arctg(3/4)
1+sin Ä… 1
= Ä„ ln -
= Ä„ =
cos Ä… sin Ä… tg2 Ä…
arctg(1/4) arctg(1/4)

3/4


1
= Ä„ ln 1 + y2 + y - 1 + =

y2
1/4


9 3 16 1 1 16
= Ä„ ln 1 + + - Ä„ 1 + - Ä„ ln 1 + + + Ä„ 1 + =
16 4 9 16 4 1
" "
" "
5 1+ 17 5 1+ 17
= Ä„ ln 2 - - ln + 17 = Ä„ 17 - - ln H" 9,11728 .
3 4 3 8
To by podstawienia, które pokazywa na zajeciach. Jednak to nie jest najprostsza me-
ly lem
toda. W szczególności obliczanie ca wygla da prościej, gdybym oblicza najpierw ca
lki loby l lke
nieoznaczona , a granicami zaja l sie na końcu. Oczywiście ostatnie przybliżenie nie jest cześcia

rozwia zania  to dodatkowa informacja.
Pokaże teraz troche krótsze rozwia zanie za pomoca nieco innych podstawień. Mamy

Ä„/3 Ä„/3

-2
2Ä„ tg x · 1 + ((tg x) )2 dx = 2Ä„ tg x · 1 + cos-4 xdx = = = = = =x= =
= =u=cos= = = =
= =
du=2 cos-3 x sin x dx
Ä„/6 Ä„/6
" "
"

4 4+ 17 t2+1 4+ 17
t2-1
1 + u2 u= , t>0 t2 + 1 Ä„ (t2 + 1)2
2t
2t
= Ä„ du = = = = = = " Ä„ · dt = dt =
= = = = = =
t2-1
1 1
u 2t2 2 t2(t2 - 1)
du=( + ) dt
4/3 3 3
2
2t2 2t
" "


4+ 17 4+ 17
Ä„ t2 + 2 1 Ä„ t2 + 2 1 1
= + dt = + - dt =
2 t2 - 1 t2(t2 - 1) 2 t2 - 1 t2 - 1 t2
3 3
" "

4+ 17 4+ 17
Ä„ 4 1 Ä„ 2 2 1
= 1 + - dt = 1 + - - dt =
2 t2 - 1 t2 2 t - 1 t + 1 t2
3 3

4+"17
Ä„ 1

= t + 2 ln(t - 1) - 2 ln(t + 1) + =

2 t
3

" " " "
Ä„ 1
= 1 + 17 + 2 ln(3 + 17 ) - 2 ln 2 - 2 ln(5 + 17 ) + 2 ln 4 + 17 - 4 - =
2 3
" " "

" "
5 2(3 + 17 ) 5 2(3 + 17 )(5 - 17 )
= Ä„ - + 17 + ln " = Ä„ - + 17 + ln =
3 3 25 - 17
5 + 17
" "

" "
5 2(-2 + 2 17 ) 5 -1 + 17
= Ä„ - + 17 + ln = Ä„ - + 17 + ln
3 8 3 2
 mam nadzieje, że studenci sprawdza , że to jest ten sam wynik, co w poprzednim sposobie.
" " "
t2-1 t2-1
4
*Jeśli =4 i t>0 , to t=4+ 17  równanie kwadratowe; jeśli = i t>0 , to t=3 ; ( 17+4)( 17-4)=1.
2t 2t 3
"
5. (10 pt.) Obliczyć (1 + i 3)15 .

" "
1
1 2
Rozwia zanie. Mamy + i 3 = 12 + 3 = 2 . Jeśli cos ą = i jednocześnie
2
"
"
3 Ä„ Ä„ Ä„
sin Ä… = , to Ä… = . Wobec tego 1 + i 3 = 2(cos + i sin ) , zatem
2 3 3 3
"
15Ä„ 15Ä„
(1 + i 3 )15 = 215(cos + i sin ) = 215(cos(5Ä„) + i sin(5Ä„)) = 32768 · (-1) = -32768 .
3 3
Osoby, które nie pamieta wzoru de Moivre a mog biora c pod uwage to, że liczba 15
ly ly,
jest nieduża, obliczyć kilka pierwszych poteg, przyjrzeć sie wynikom i też obliczyć te potege.
" 2 " " " " 3 " "
2
Mianowicie: 1+i 3 = 1+2i 3+i2 3 = -2+2i 3 , 1+i 3 = -2+2i 3 1+i 3 =
" " " " " 5
2
= - 2 + 2i2 3 + 2i 3 - 2i 3 = -2 - 6 = -8 , zatem (1 + i 3 )15 = (1 + i 3 )3 = (-8)5 =
= - 32768 .
Zagadka. Dlaczego tyle osób wysz kilkadziesia t minut przed końcem kolokwium nie zro-
lo
"
biwszy tego zadania? Co w nim jest trudnego poza spamietaniem, że i2 = -1 oraz ( 3 )2 = 3 ?
A może trzeba też pamietać, że ludzie sa istotami myśla cymi i przed zdecydowaniem sie na
wyjście z sali wzia ć to pod uwage? Dlaczego cześć z Państwa zak że jeśli nie widać od razu
lada,
rozwia zania, to już nie da sie go znalez
ć?
To nie jest tylko zrzedzenie starszego pana. Uda mi sie zatrzymać kilka osób i niektóre z nich
lo
zrobi to lub inne zadanie.
ly
Ciekawostki (któż wie, co sie może przydać): 23 = 8 , 36 = 729 , 29 = 512 , 212 = 4096 ,
112 = 121 , 113 = 1331 , 114 = 14641 , 115 = 161051 , 116 = 1771561 , 117 = 12400927 ,
72 = 49 , 74 = 2401 , 76 = 117649 , 512 = 2601 , 522 = 2704 , 532 = 2809 , 542 = 2916 ,
Ä„ 1 4Ä„
642 = 4096 , 652 = 4225 , 662 = 4356 , 672 = 4489 , 6662 = 443556 , sin = , cos = -1 ,
6 2 3 2
"
5Ä„ 2
sin = - .
4 2