Analiza matematyczna 1
I Kolokwium, 29.11.2006
ImiÄ™ i nazwisko studenta:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Numer indeksu:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wydział Elektryczny, I rok
Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Prowadzący ćwiczenia:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 2 3 4 Suma
A
Proszę ponumerować i podpisać wszystkie kartki pracy. Treści zadań proszę nie przepisywać.
Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań prze-
znaczono 60 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. Powodzenia !
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ZADANIA, zestaw A
1. Korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym uzasadnić
zbieżność ciągu

1 1 1
an = 1 - 1 - . . . 1 - .
5 52 5n

Ä„
sin x
2
2. Znalez
ć pionowe asymptoty funkcji f(x) = .
x2 ln(1 + x)

3. Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodną f (x) dla
"
2
f(x) = (arctg x)ln(2x -1), x > 2/2.
4. Określić rodzaje nieciągłości funkcji
Å„Å‚
ôÅ‚ - 8
x3
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
dla |x| = 2,

ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
|x2 - 4|
f(x) =
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 0 dla x = -2,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
1 dla x = 2,
w punktach x1 = 2 oraz x2 = -2.
Analiza matematyczna 1
I Kolokwium, 29.11.2006
ImiÄ™ i nazwisko studenta:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Numer indeksu:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wydział Elektryczny, I rok
Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Prowadzący ćwiczenia:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 2 3 4 Suma
B
Proszę ponumerować i podpisać wszystkie kartki pracy. Treści zadań proszę nie przepisywać.
Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań prze-
znaczono 60 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. Powodzenia !
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ZADANIA, zestaw B
1. KorzystajÄ…c z twierdzenia o trzech ciÄ…gach znalez
ć granicę



2n + 1
n

lim .
n"
3n + 5n
2. Dobrać parametry a, b " R tak, aby funkcja
Å„Å‚
ôÅ‚
a ln(x + e) dla x > 0,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
b - 1 dla x = 0,
f(x) =
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ - 1
e-x
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
dla -Ä„/2 < x < 0
ół
tgx
była ciągła w punkcie x0 = 0.
3. Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia
arc sin(8 - (1.98)3).
"
x - 5 - 2
4. Znalez
ć pionowe i ukośne asymptoty funkcji f(x) = .
x - 9
Analiza matematyczna 1
I Kolokwium, 29.11.2006
ImiÄ™ i nazwisko studenta:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Numer indeksu:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wydział Elektryczny, I rok
Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Prowadzący ćwiczenia:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 2 3 4 Suma
C
Proszę ponumerować i podpisać wszystkie kartki pracy. Treści zadań proszę nie przepisywać.
Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań prze-
znaczono 60 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. Powodzenia !
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ZADANIA, zestaw C
1. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic obliczyć granicę

"
lim 2n - 4n2 + 2n + 1 .
n"
2. Korzystając z definicji zbadać, czy istnieje pochodna funkcji
Å„Å‚
ôÅ‚
x sin x
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
, gdy x = 0;

3x
f(x) = - 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
0, gdy x = 0,
w punkcie x0 = 0.
3. Uzasadnić, że równanie
2 1
ex = + 1
x + 1
ma jednoznaczne rozwiÄ…zanie w przedziale (0, 1).
4. Obliczając granice jednostronne zbadać, czy istnieje granica

1
lim .
x1
1 - e(x-1)(x-2)
Analiza matematyczna 1
I Kolokwium, 29.11.2006
ImiÄ™ i nazwisko studenta:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Numer indeksu:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wydział Elektryczny, I rok
Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Prowadzący ćwiczenia:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 2 3 4 Suma
D
Proszę ponumerować i podpisać wszystkie kartki pracy. Treści zadań proszę nie przepisywać.
Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań prze-
znaczono 60 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. Powodzenia !
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ZADANIA, zestaw D
1. Korzystając z twierdzenia o dwóch ciagach znalez
ć granicę
lim (7 - 2 cos n)n.
n"
2. Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych obliczyć granicę
ln x
lim .
x1
2(x - 1)
3. Uzasadnić, że równanie
3
3x =
x + 1
ma jednoznaczne rozwiÄ…zanie w przedziale [0, 1].
4. Znalez
ć parametry a, b, c " R, dla których funkcja
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚ x2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ ax + dla x < -1;
ôÅ‚
òÅ‚
2
f(x) =
ôÅ‚
ôÅ‚
bx2 dla -1 x 0;
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
c sin x dla x > 0,
ma pochodnÄ… na R.
Analiza matematyczna 1
I Kolokwium, 29.11.2006
ImiÄ™ i nazwisko studenta:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Numer indeksu:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wydział Elektryczny, I rok
Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Prowadzący ćwiczenia:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 2 3 4 Suma
E
Proszę ponumerować i podpisać wszystkie kartki pracy. Treści zadań proszę nie przepisywać.
Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań prze-
znaczono 60 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. Powodzenia !
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ZADANIA, zestaw E
1. Korzystając z definicji liczby e oraz z twierdzenia o granicy podciągu obliczyć
granicÄ™
2n+5
n + 5
lim .
n"
n + 3

2. Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć (f-1) (6)
dla f(x) = 2x5 + 4x.
3. Wyznaczyć zbiór punktów ciagłości funkcji
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚ x2 - x + 1 dla x > 1,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
1 dla x = 1,
f(x) =
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ - 1
ex-1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
dla x < 1
ół
x2 - 1
ëÅ‚ öÅ‚
1
íÅ‚ Å‚Å‚
4. Uzasadnić, że granica lim sin " nie istnieje.
x0+
x
Analiza matematyczna 1
I Kolokwium, 29.11.2006
ImiÄ™ i nazwisko studenta:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Numer indeksu:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wydział Elektryczny, I rok
Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Prowadzący ćwiczenia:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 2 3 4 Suma
F
Proszę ponumerować i podpisać wszystkie kartki pracy. Treści zadań proszę nie przepisywać.
Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań prze-
znaczono 60 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. Powodzenia !
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ZADANIA, zestaw F
1. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic obliczyć granicę


n

2 · 3n + 1 2

lim 4n2 + .
n"
3n n6
2
2. Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = (2 + 3x5)esin x
w punkcie (Ä„, f(Ä„)).
3. Określić rodzaj nieciągłości funkcji
Å„Å‚
ôÅ‚ arc sin(2x)
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
dla x < 0,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x
ôÅ‚
òÅ‚
f(x) =
0 dla x = 0,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ ex - 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
2 dla x > 0,
x
w punkcie x0 = 0.
4. Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych obliczyć granicę
2
x +1
1
lim 1 + .
x"
x + 2
A
1. " an 0 dla każdego n , więc ciąg (an) jest ograniczony z dołu.

an+1 1
" = 1 - 1 dla każdego n, więc ciąg (an) jest malejący.
an 5n+1
Zatem z tw. o ciągu monotonicznym i ograniczonym (an) jest zbieżny do granicy
właściwej.
2. " Df : x > -1, x = 0, więc f(x) może mieć asymptoty pionowe tylko w x0 = 0

i w x0 = -1.
ëÅ‚ öÅ‚
sin(Ä„x)
2
íÅ‚ Å‚Å‚

Ä„
Ä„ 1 x Ä„ 1 1
2
ëÅ‚ öÅ‚
" lim f(x) = lim · · = · · = "
x0 x0
2 x2 ln(x + 1) 2 0+ 1
íÅ‚ Å‚Å‚
x
Zatem f(x) ma asymptotÄ™ pionowÄ… l : x = 0
sin(Ä„x/2) sin(-Ä„/2) -1
" lim f(x) = lim = = = 0
x-1+ x-1+
x2 ln(x + 1) (-1)2 · (-") -"
Zatem f(x) nie ma asymptoty pionowej w x0 = -1
2
3. " f(x) = eln(2x -1) ln(arctgx)

1 1 1
2
" f (x) = eln(2x -1) ln(arctgx) · 4x · ln(arctgx) + ln(2x2 - 1) · ·
2x2 - 1 arctgx 1 + x2
x3 - 8 (x - 2)(x2 + 2x + 4) x2 + 2x + 4
4. " lim f(x) = lim = lim = lim =
x2+ x2+ x2+ x2+
x2 - 4 (x - 2)(x + 2) x + 2
12
= = 3,
4
x3 - 8
lim f(x) = lim = -3
x2- x2-
-(x2 - 4)
" lim f(x) = lim f(x)

x2+ x2-
Zatem f(x) ma w x1 = 2 nieciagłość I rodzaju typu  skok
x3 - 8 -16
" lim f(x) = lim = = -"
x-2 x-2
|x2 - 4| 0+
Zatem f(x) ma w x2 = -2 nieciagłość II rodzaju
B



2n + 1
n

1. " bn =
3n + 5n


"

2 1 2n 2 · 2n 2
n n n

"
" an = · = bn = · 2 = cn
n
5 2 · 5n 5n 5
2
2 1 2
" lim an = · = 0, 4, lim cn = · 1 = 0, 4
n" n"
5 1 5
Zatem z tw. o 3 ciÄ…gach lim bn = 0, 4.
n"
2. " f(0) = b - 1
" lim f(x) = lim a ln(x + e) = a ln e = a
x0+ x0+
ëÅ‚ öÅ‚
e-x - 1
íÅ‚ Å‚Å‚
e-x - 1 -x 1

" lim f(x) = lim = lim (-1) · = -1 · = -1
tgx
x0- x0- x0-
tgx 1
x
f(x) jest ciÄ…gÅ‚a w x0 = 0 Ð!Ò! f(0) = lim f(x) = lim f(x) Ð!Ò! b-1 = a = -1
x0+ x0-
Ð!Ò! a = -1, b = 0
3. " f(x) = arc sin(8 - x3), x0 = 2, "x = 1, 98 - 2 = -0, 02

" f(1, 98) H" f(2) + f (2)"x
1


" f (x) = (-3x2)
1 - (8 - x3)2

" f(2) = 0, f (2) = -12
Odp. arc sin(8 - (1, 98)3) H" 0 + (-12)(-0, 02) = 0, 24
4. " Df : x 5, x = 9, zatem f(x) może mieć tylko asymptotę pionową w x0 = 9

oraz asymptotę ukośną w +"
" " "
x - 5 - 2 ( x - 5 - 2)( x - 5 + 2)
"
" lim f(x) = lim = lim =
x9 x9 x9
x - 9 (x - 9)( x - 5 + 2)
(x - 5) - 4 1 1
" "
= lim = lim =
x9 x9
(x - 9)( x - 5 + 2) x - 5 + 2 4
Zatem f(x) nie ma asymptoty pionowej w x0 = 9

"
1 5 2
x - 5 - 2 - - 0
x x2 x
" lim f(x) = lim = lim = = 0
9
x" x" x"
x - 9 1 - 1
x
Zatem prosta l : y = 0 jest poziomÄ… asymptotÄ… funkcji f(x) w +"
C
" "
"
2n - 4n2 + 2n + 1 2n + 4n2 + 2n + 1
"
1. lim 2n - 4n2 + 2n + 1 = lim =
n" n"
2n + 4n2 + 2n + 1
1
4n2 - (4n2 + 2n + 1) -2n - 1 -2 -
n
" "
= lim = lim = lim =
n" n" n" 2 1
2n + 4n2 + 2n + 1 2n + 4n2 + 2n + 1 2 + 4 + +
n n2
-2 - 0 1
"
= = -
2 + 4 + 0 + 0 2

x sin x sin x
- 0
f(x) - f(0) sin x 1
3x - 1 x

2. lim = lim = lim = lim
3x
x0 x0 x0 x0 - 1 =
x - 0 x 3x - 1 ln 3
x
1

Zatem istnieje pochodna właściwa f (0) =
ln 3
1
2
3. " f(x) = ex - - 1 jest ciągła na [0, 1] jako funkcja elementarna
x + 1
1
2
" f(x) jest rosnÄ…ca na [0, 1], bo ex jest rosnÄ…ca, a malejÄ…ca
x + 1
" f(0) · f(1) = (-1) · (e - 1, 5) < 0
Zatem z tw. Darboux o miejscach zerowych istnieje dokładnie jeden punkt
1
2
x0 " (0, 1) taki, że f(x0) = 0, czyli równanie ex = + 1 ma jednoznaczne
x + 1
rozwiÄ…zanie w przedziale (0, 1).

1 1 1 1
4. " lim = = = = "
x1+
1 - e(x-1)(x-2) 1 - e(0+)·(-1) 1 - e0- 0+

1 1 1 1
" lim = = = = -"
x1-
1 - e(x-1)(x-2) 1 - e(0-)·(-1) 1 - e0+ 0-
" lim f(x) = lim f(x)

x1+ x1-
Zatem badana granica nie istnieje
D
1. " an = 5n = (7 - 2)n (7 - 2 cos n)n = bn
" lim an = "
n"
Zatem z tw. o 2 ciÄ…gach lim bn = ".
n"
îÅ‚ Å‚Å‚
y=x-1
ïÅ‚ śł
ln x 1 ln(y + 1) 1 1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
2. lim = x1 = lim = · 1 =
ðÅ‚ ûÅ‚
x1 y0
2(x - 1) 2 y 2 2
y0
3
3. " f(x) = 3x - jest ciągła na [0, 1] jako funkcja elementarna
x + 1
3
" f(x) jest rosnÄ…ca na [0, 1], bo 3x jest rosnÄ…ca, a malejÄ…ca
x + 1
" f(0) · f(1) = (-2) · 1, 5 < 0
Zatem z tw. Darboux o miejscach zerowych istnieje dokładnie jeden punkt
3
x0 " (0, 1) taki, że f(x0) = 0, czyli równanie 3x = ma jednoznaczne
x + 1
rozwiÄ…zanie w przedziale (0, 1).
4. f(x) musi być ciągła na R:
" f(x) jest ciagła na (-", -1), na (-1, 0) i na (0, ") jako funkcja elementarna
" f(x) jest ciÄ…gÅ‚a w x0 = -1 Ð!Ò! f(-1) = lim f(x) = lim f(x) Ð!Ò!
x-1- x-1+
x2
b = lim (ax + ) = lim bx2 Ð!Ò! b = -a + 0, 5 = b
2
x-1- x-1+
" f(x) jest ciÄ…gÅ‚a w x0 = 0 Ð!Ò! f(0) = lim f(x) = lim f(x) Ð!Ò! 0 =
x0- x0+
lim bx2 = lim c sin x Ð!Ò! 0 = 0 = 0
x0- x0+
Zatem f(x) jest ciÄ…gÅ‚a na R Ð!Ò! b = -a + 0, 5
Po wstawieniu b = -a + 0, 5 badamy istnienie pochodnej:
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
a + x dla x < -1;
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
? dla x = -1;
ôÅ‚
òÅ‚

" f (x) = 2(-a + 0, 5)x dla -1 < x < 0;
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
? dla x = 0;
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
c cos x dla x > 0,

" dla x = -1 mamy f-(-1) = a + (-1) = a - 1,

f+(-1) = 2(-a + 0, 5)(-1) = 2a - 1 (ze wzoru wyżej albo z definicji)

Zatem f (-1) istnieje Ð!Ò! a - 1 = 2a - 1 Ð!Ò! a = 0

" dla x = 0 mamy f-(0) = 2(-a + 0, 5) · 0 = 0, f+(0) = c · cos 0 = c

Zatem f (0) istnieje Ð!Ò! 0 = c
PodsumowujÄ…c, f(x) ma pochodnÄ… na R Ð!Ò! a = 0, b = -a + 0, 5 = 0, 5, c = 0
E
ëÅ‚ öÅ‚4
n+3
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚-1

2
n + 5 2n+5 ìÅ‚ 1 ÷Å‚ 1
ìÅ‚ Å‚Å‚ ÷Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚
1. lim = lim 1 + 1 + = e4 · 1-1 = e4
íÅ‚ Å‚Å‚
n+3 n+3
n" n"
n + 3
2 2
n + 3
" (an = > 0, an ")
2
2. " f(1) = 6, x0 = 1, y0 = 6
" f(x) jest ciągła i rosnąca na R (albo na otoczeniu x0 = 1)

" f (x) = 10x4 + 4x ln 4, f (1) = 10 + 4 ln 4 = 0

1 1

Zatem z tw. o pochodnej funkcji odwrotnej (f-1) (6) = =

f (1) 10 + 4 ln 4
3. " Df : x = -1

" f(x) jest ciągła na (-", -1), (-1, 1) i na (1, ") jako funkcja elementarna
" f(1) = 1
lim f(x) = lim (x2 - x + 1) = 1
x1+ x1+
îÅ‚ Å‚Å‚
y=x-1
ïÅ‚ śł
ex-1 - 1 ey - 1 1 1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
lim f(x) = lim = x1- śł
= lim = 1 ·
ðÅ‚ ûÅ‚
x1- x1- y0-
x2 - 1 y y + 2 2
y0-
1
f(1) = lim f(x) = 1 = = lim f(x), zatem f(x) nie jest ciągła w x0 = 1

2
x1+ x1-
Odp. Zbiór punktów ciągłości funkcji f(x) to R \ {-1, 1}
ëÅ‚ öÅ‚
1 1

íÅ‚ Å‚Å‚

4. " dla xn = 0+ (bo xn > 0) mamy sin = sin(2nĄ) = 0 0

(2nĄ)2
xn
1

" natomiast dla xn = 0+ (bo xn > 0)
(Ą + 2nĄ)2
2
ëÅ‚ öÅ‚
1
íÅ‚ Å‚Å‚

mamy sin = sin(Ą + 2nĄ) = 1 1 = 0


2
xn
Zatem badana granica nie istnieje.
F


n n
"
2 · 3n + 1 2 1 2
1. lim 4n2 + = lim 2 + 4n2 + = (2+0)"· " + 0 =
n"
3n n6 n" 3n n6
= " · " = "
2 2

2. " f (x) = 15x4esin x + (2 + 3x5)esin x(2 sin x cos x)

" f(Ä„) = 2 + 3Ä„5, f (Ä„) = 15Ä„4
Styczna do wykresu funkcji f(x) w punkcie (Ą, f(Ą)) ma postać

lst : y - f(Ä„) = f (Ä„)(x - Ä„), czyli
Odp. lst : y - (2 + 3Ä„5) = 15Ä„4(x - Ä„)
3. " f(0) = 0
ex - 1
" lim f(x) = lim 2 = 2 · 1 = 2
x0+ x0+
x
arc sin(2x) arc sin(2x)
" lim f(x) = lim = lim 2 = 2 · 1 = 2
x0- x0- x0-
x 2x
lim f(x) = lim f(x) = 2 = 0 = f(0),

x0+ x0-
zatem f(x) ma w x0 = 0 nieciagłość I rodzaju typu  luka
2+1

x2 x+2 x
+1 x+2
1 1
4. lim 1 + = lim 1 + = e" = "
x+2 x+2
x" x"
1
x+
x2+1 "+0
x
" Obl. pom. lim = lim = = "
2
x+2 1+ 1+0
x" x"
x
îÅ‚ Å‚Å‚
y=x+2
y
x+2 ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
1 1
ïÅ‚ śł
lim 1 + = x" = lim 1 + = e
x+2 y
x" ðÅ‚ ûÅ‚ y"
y"