Analiza matematyczna I, MIM UW, 2010/11
Kolokwium I, 26 listopada 2010
Uwaga: Rozwiązanie każdego zadania proszę napisać na oddzielnej kartce. Proszę pod-
pisać każdą z oddawanych kartek, umieszczając na nich:
Imię, Nazwisko, nr albumu, nr grupy i potoku, nazwisko prowadzącego ćwiczenia
Czas pracy: 135 minut
" "
1. Rozstrzygnąć, czy liczba 5 + 3 + 5 - 2 jest wymierna.
" "
Wskazówka. Zbadać sumę i iloczyn liczb 5 + 3 ą 5 - 2.
2. Czy zbiór A = {2n/3k, gdzie k, n naturalne i k e" n} jest ograniczony z góry? A z
dołu? Proszę uzasadnić obie odpowiedzi. Jeśli któraś z nich jest twierdząca, wyznaczyć
odpowiedni kres zbioru A.
3. Obliczyć granice następujących ciągów:
"
n
n2 3
"
an = , bn = .
n
n
2
7
4. Udowodnić, że ciąg
2 2
a1 = 3, a2 = 3 - , . . . , an = 3 - , . . .
3 an-1
jest zbieżny i znalez
ć jego granicę.
5. Dane są liczby a, b, c > 0. Obliczyć granicę
ln(an + bn + cn)
lim " .
n"
n2 + 1
6. Dla n " N połóżmy
2
n n
n
an = (-1)n + (-1)(n +n)/2 , bn = an + an+1 .
Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste, które są granicami podciągów ciągu (bn).
Szkice rozwiązań zadań
" " " "
Zadanie 1. Niech a = 5 + 3 + 5 - 2, b = 5 + 3 - 5 - 2. Ze wzoru na
różnicę kwadratów
" "
ab = ( 5 + 3) - ( 5 - 2) = 5
zatem a = 5/b. Są więc tylko dwie możliwości: (1) a, b " Q, albo (2) a, b " R \ Q.
Przypuśćmy, że a i b są wymierne. Wtedy
" "
a + b k
= 5 + 3 " Q , 5 + 3 = dla pewnych k, l " Z.
2 l
"
PodnoszÄ…c obie strony do kwadratu i odejmujÄ…c 3, otrzymujemy 5 = (k2/l2) - 3 " Q.
"
To jednak jest sprzeczność, gdyż 5 jest liczbą niewymierną.1 Zatem, a, b " R \ Q.
Zadanie 2. Dla k e" n e" 1 mamy
n
2n 2n 1 2 2
= · d" d" ,
3k 3n 3k-n 3 3
zatem liczba 2/3 jest ograniczeniem górnym A. Ponieważ 2/3 " A, więc 2/3 = sup A
(żadna liczba M < 2/3 nie może być ograniczeniem górnym A).
Jeśli x " A, to x > 0. Zatem 0 jest ograniczeniem dolnym A. Wykażemy, że 0 jest
kresem dolnym A. Ustalmy dowolne µ > 0. Ponieważ
2n 1 1 2
A = d" < < µ dla każdego n > 2/µ,
n
n
1
3n 1 + n
1 +
2
2
(skorzystaliÅ›my z nierównoÅ›ci Bernoulliego), wiÄ™c µ nie jest ograniczeniem dolnym A,
tzn. 0 = inf A.
Zadanie 3. Ponieważ x = exp ln x dla x > 0, więc ciąg
"
an = exp -(ln 7) n + 2 ln n
"
jest zbieżny do zera, gdyż dla dowolnych a, b > 0 jest a ln n - b n -", gdy n ".
Podobnie dowodzimy, że lim bn = 0.
Zadanie 4. Jeśli ciąg an jest zbieżny, to jego granica g spełnia g = 3 - (2/g), tzn. g = 1
lub g = 2. Wykażemy, że ciąg an jest zbieżny do g = 2.
Niech f(x) = 3 - (2/x) dla x " R, x = 0. Funkcja f jest rosnÄ…ca na (0, ") i nietrudno

się przekonać (szkicując wykres i rozwiązując odpowiednie proste nierówności), że
2 < f(x) < x dla wszystkich x " (2, ").
"
1 k
Można to udowodnić wprost, albo odwołać się do twierdzenia z wykładu: dla k, n " N liczba n jest
albo niewymierna, albo naturalna.
Wykres f(x) = 3 - (2/x) dla x > 0 przecina prostą y = x w dwóch punktach.
Przez indukcję wnioskujemy stąd, że
2 < an+1 = f(an) < an < . . . < a1 = 3
dla każdego n " N. Ciąg (an) jest więc malejący i ograniczony z dołu, a zatem jest zbieżny.
Jego granicą oczywiście nie może być liczba 1, gdyż dla każdego n " N jest |an - 1| > 1.
Zatem lim an = 2.
Zadanie 5. Bez zmniejszenia ogólności załóżmy, że 0 < a d" b d" c = max(a, b, c). Wtedy,
dzięki monotoniczności logarytmu naturalnego,
n ln c ln(cn) ln(an + bn + cn) ln(3 · cn) ln 3 n ln c
" = " d" xn := " d" " = " + " .
n2 + 1 n2 + 1 n2 + 1 n2 + 1 n2 + 1 n2 + 1
Ponieważ
n ln 3
lim " = 1 , lim " = 0 ,
n" n"
n2 + 1 n2 + 1
więc, na mocy twierdzenia o trzech ciągach, (xn) ma granicę ln c = ln max(a, b, c) .
Zadanie 6. Wypełniając (stopniowo, spokojnie i mechanicznie) powiedzmy 8 10 wierszy
tabelki
2
n (n2 + n)/2 (-1)n (-1)(n +n)/2 an (an)n (an)n + (an+1)n bn
1 1
2 3
3 6
. . . . . . . . . . . . . . .
nietrudno zauważyć odpowiednią prawidłowość i znalez
ć odpowiedz
, a następnie krótko
ją uzasadnić. Szczegóły pozostawiamy Czytelnikowi.