Analiza matematyczna I.
Pula jawnych zadań na kolokwia.
Wydział MIiM UW, 2010/11
wersja z dnia: 7 listopada 2010
Szanowni Państwo,
zgodnie z zapowiedzią, na każdym kolokwium co najmniej 4 zadania zostaną wy-
brane z poniższej jawnej puli.
Wśród zamieszczonych niżej zadań są łatwiejsze i trudniejsze.
Podkreślamy: proszę się nie zrażać, jeśli nie będą Państwo umieli zrobić wszyst-
kich od razu. Materiał jest obszerny i dla większości z Państwa trudniejszy, niż w
szkole, szczególnie na samym początku studiów. Ponadto, w matematyce jest rzeczą
normalną, że człowiek pewnych rzeczy nie potrafi zrobić. Skuteczna nauka wymaga
czasu, regularnego treningu i cierpliwości, a także bieżącego kontaktu z materiałem,
omawianym na wykładzie. Taka inwestycja przynosi praktycznie zawsze pozytywne
skutki.
1 Liczby rzeczywiste. Kresy zbiorów. Indukcja.
1. Udowodnić, że dla wszystkich x e" 1000 zachodzi nierówność
x3 e" 5x2 + 14x + 17.
"
2. Udowodnić, że liczba 7 + 2 jest niewymierna.
3. Wykazać, że równanie x/1 = (1 - x)/x na liczbę złotego podziału x " (0, 1) nie ma
pierwiastków wymiernych.
4. Płaszczyznę parametrów a, b " R podzielić na podzbiory odpowiadające stałej licz-
bie pierwiastków równania
abx2 + (a + b)x + 1 = 0.
" "
5. Rozstrzygnąć, czy liczba 5 + 3 + 5 - 2 jest wymierna.
" "
Wskazówka. Zbadać sumę i iloczyn liczb 5 + 3 ą 5 - 2.
1
6. Niech A ‚" R bÄ™dzie zbiorem ograniczonym i  " R. Zbiór A okreÅ›lamy wzorem
A := {a: a " A} .
Oznaczmy sup A = M i inf A = m. Wyznaczyć kresy zbioru A.
7. Udowodnić, że dla każdego n " N zachodzi nierówność
1 1 1 1
+ + · · · + e" .
n n + 1 2n 2
8. Udowodnić, że dla każdego n " N zachodzi nierówność
1 1 1 7
+ + · · · + e" .
n n + 1 2n 12
9. Wykazać, że dla każdego n naturalnego liczba 13n - 7 jest podzielna przez 6.
10. Wykazać, że jeśli n jest liczbą naturalną parzystą, to liczba n3 + 20n dzieli się
przez 48 (= 3 · 24).
n n
11. Udowodnić, że dla liczb całkowitych 0 d" k < l d" n/2 mamy < .
k l
12. Czy zbiór A = {2n/3k, gdzie k, n naturalne i k e" n} jest ograniczony z góry? A z
dołu? Proszę uzasadnić obie odpowiedzi. Jeśli któraś z nich jest twierdząca, wyzna-
czyć odpowiedni kres zbioru A.
13. Dane są liczby an " [0, 1], gdzie n = 1, 2, . . . . Udowodnić, że zbiór
an
A = : n = 1, 2, . . .
n
jest ograniczony i inf A = 0.
14. Udowodnić, że (n!)2 e" nn+1 dla n e" 7.
15. Udowodnić, że zbiór
nn
: n = 1, 2, . . .
(n!)2
jest ograniczony. Wyznaczyć jego kresy.
16. Wyznaczyć kresy zbiorów
A = {|x - 1| + |x + 1| : x " R oraz |x| < 2} , B = {|x - 1| - |x + 1| : x " R} .
17. Znalez
ć inf A i sup A, gdzie
A = {x + y + z : x, y, z > 0, xyz = 1} .
2
18. Zbiór niepusty A ‚" R ma tÄ™ wÅ‚asność, że dla każdego a " A istnieje element b " A
a
taki, że b d" + 1. Wykazać, że inf A d" 2.
2
19. Wyznaczyć kres górny i dolny zbioru
n - k2
A = : n, k " N .
n2 + k3
20. Wyznaczyć kres górny i dolny zbioru
m2 - n
: n, m " N, m > n .
m2 + n2
1
21. Zbiór niepusty A ‚" (0, ") ma tÄ™ wÅ‚asność, że jeÅ›li a " A, to " A. Wykazać, że
a
jeÅ›li A jest ograniczony z góry, to inf A · sup A = 1.
22. Ciąg (an) jest określony rekurencyjnie:
a1 = 2, a2 = 7, an+2 = 7an+1 - 10an dla n=1,2,. . .
Udowodnić, że an = 2n-1 + 5n-1 dla wszystkich n " N.
23. Wykazać, że dla każdego n " N zachodzi nierówność
1 1 1 1 1
+ + + · · · + d" 2 - " .
14 24 34 n4 n
24. Udowodnić, że prawdziwy jest następujący wzór:
n n n n
+ + + · · · + = 2n-1.
0 2 4 2 [n/2]
25. Wykazać, że
n n n n
02 + 12 + 22 + · · · + n2 = n(1 + n) · 2n-2.
0 1 2 n
Wskazówka. Zauważyć, że k2 = k(k - 1) + k i obliczyć dwie sumy.
26. Załóżmy, że (sk) jest ciągiem liczb rzeczywistych nieujemnych, s1 d" 1, i dla każ-
dego k e" 1 spełniona jest nierówność
k
sk+1 d" 2k + 3 sj .
j=1
Wykazać, że sk < 7k dla wszystkich k naturalnych.
Wskazówka. 2k < 1 + 2k d" (1 + 2)k na mocy nierówności Bernoulli ego.
3
2 CiÄ…gi i granice.
27. Obliczyć granice następujących ciągów:
1 + 2 + · · · + n 9 + 16 + · · · + (7n + 2)
an = , bn = .
n2 n2
28. Obliczyć granice następujących ciągów:
" "
3
3 + (-1)n + 9 n - 7n5 - 2[ n ]n
an = ,
(3n - 1)(n - 2)(2n - 3)(n - 4)(4n - 5) + 2-n
1
bn = -3n3 + 9n6 + 7n3 + (-1)n 1 + - 10n2 .
n
29. Obliczyć granicę
1 1 1
lim + + . . . n.
n"
n2 + 2 n2 + 4 n2 + 2n
30. Obliczyć granice następujących ciągów:
"
n
n2 3
"
an = , bn = .
n
7 2n
31. Znalez
ć granicę ciągu
" " "
an = n + 1 - n - 1 2n + 1 .
32. Obliczyć granicę
" "
lim n n + n + 2012 - n + n + 2010 .
n"
33. Obliczyć granicę
" "
n + n + 2012 - n + n + 2010
lim " " .
3 3
n"
n3/2 + 2012 - n3/2 + 2010
34. Niech, dla wszystkich k naturalnych,
2k-1
n
sk = .
2n
n=k
Wykazać, że
(2k + 2)2k - 4k - 2
sk = dla k " N
22k
i obliczyć granicę ciągu (sk).
4
35. Niech, dla wszystkich k naturalnych,
k-1
n
4
sk = n .
3
n=0
Wykazać, że
k
4
sk = 12 + (3k - 12) dla k " N
3
i obliczyć granicę ciągu ck = sk/2k/2.
36. Niech an będzie ciągiem zadanym rekurencyjnie: a1 jest pewną liczbą rzeczywi-
stÄ…, a ponadto
an+1 = a2 - 1 dla n = 1, 2, . . .
n
"
Udowodnić, że gdy |a1| d" (1 + 5)/2, to ciąg (an) jest ograniczony, a gdy |a1| > (1 +
"
5)/2, to ciąg (an) jest rozbieżny (do +".)
37. Udowodnić, że ciąg
2 2
a1 = 3, a2 = 3 - , . . . , an = 3 - , . . .
3 an-1
jest zbieżny i znalez
ć jego granicę.
38. Dany jest ciąg (an)ne"1 taki, że a1 = a2 = 1 oraz 2an+2 = 2an+1 +an dla n = 1, 2, 3 . . ..
Wykazać, że
" "
1 1 + 3 n 1 - 3 n
an = " - .
2 2
3
"
n
Obliczyć limn" an.
39. Obliczyć granicę
(n!)n
lim .
2
n"
nn
40. Obliczyć granicę
ln(3n2 + 20n + 5)
lim .
n" - 3n + 12)
ln(n9
41. Obliczyć granicę
"
n
lim n(1 - ln n) .
n"
42. Obliczyć granicę
"
n
lim n ln(n2 + 1) - 2n(ln n) ln n .
n"
5
43. Obliczyć granicę
bn
n - 1
lim ,
n"
n + 1
" "
gdzie bn = ( n + 1 - n - 1)-2.
44. Ciąg (an) jest określony rekurencyjnie:
1 1 "
a1 = , a2 = 1, an = an-1 + an-2 dla n e" 3.
2 2
Wykazać, że ciąg (an) jest rosnący i ograniczony, a następnie znalez
ć jego granicę.
45. Ciąg (xn) jest określony rekurencyjnie:
x1 = 2, xn+1 = f(f(xn)) dla n = 1, 2, . . . ,
1
gdzie f(x) = 1 + . Wykazać, że xn jest monotoniczny i ograniczony i obliczyć jego
x
granicÄ™.
46. Ciąg {an}" ma wyrazy dodatnie i jest ograniczony. Wykazać, że jeśli ciąg (cn)
n=1
ma granicę równą 0, to ciąg dany wzorem
n
bn := cn ln(1 + a1) · ln(1 + a2) · . . . · ln(1 + an)
też ma granicę równą 0.
Wskazówka. Wykorzystać nierówność ln(1 + x) d" x dla x > 0.
47. Obliczyć granicę
n
"
n
ln n
1 + n
lim .
n"
2
48. Wykazać, że jeśli ciąg liczb rzeczywistych (an) spełnia jednocześnie dwa warunki:
lim (an+1 - an) = 0,
n"
a ponadto
"µ>0 "N"N "n,m>N |a3m - a3n| d" µ,
to (an) jest zbieżny. Podać przykłady świadczące o tym, że żaden z powyższych wa-
runków z osobna nie jest warunkiem wystarczającym zbieżności ciągu an.
49. Wykazać, że jeśli
A = {an : n " N}
jest zbiorem wyrazów zbieżnego ciągu liczb rzeczywistych (an), to sup A " A lub
inf A " A.
Podać przykład takiego ograniczonego ciągu rozbieżnego (bn), dla którego ani
sup B, ani inf B nie są elementami zbioru B wszystkich wyrazów ciągu (bn).
6
50. Obliczyć granicę
1 · 4 · 7 · . . . · (3n + 1)
lim .
n"
2 · 5 · 8 · . . . · (3n + 2)
Wskazówka: przydatne mogą być (ale nie muszą) różne własności logarytmu natu-
ralnego.
7