TEMAT 2:
Porównanie siatek w odwzorowaniach
azymutalnych ukośnych
Odwzorowania azymutalne
Odwzorowania azymutalne
Odwzorowania azymutalne
DLA KULI:
ëÅ‚ öÅ‚
X = R cos p cos
X = -R cos psin 
p ëÅ‚ öÅ‚

ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
q1p = Yp = R cos psin 
q1 = = R cos p cos
ìÅ‚Y ÷Å‚

ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Z = 0
Z = -Rsin p
íÅ‚ Å‚Å‚
p
íÅ‚ Å‚Å‚
2 2 2
E1 = q1p Å" q1p = X + Yp + Z = R2 (cos2 p cos2  + cos2 psin2  + sin2 p) = R2
p p
F1 = q1p Å" q1 = X X + YpY + Z Z = -R2 cos psin psin  cos + R2 cos psin p cos) = 0
p  p
2 2 2 2 2 2
G1 = q1 Å" q1 = X + Y2 + Z = R2 sin p sin  + R2 sin p cos2 ) = R2 sin p

2 2
ds1 = R2dp2 + R2 sin d2 I forma kwadratowa dla kuli
Odwzorowania azymutalne
DLA PA
ASZCZYZNY:
ëÅ‚ 2 öÅ‚
xp = r ( p)cos
x = -r( p)sin 
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ 2 ÷Å‚
q2 p = yp = r ( p)sin 
q2 = y = r( p)cos
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
z = 0
p z = 0
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
2 2 2 2 2 2
E2 = q2 p Å" q2 p = x2 + y2 + z2 = r ( p)sin2  + r ( p)cos = r ( p)
p p p
2 2
2 2
F2 = q2 p Å" q2 = xp x + y y + z z = -r ( p) Å" r( p)sin  cos  + r ( p) Å" r( p)sin  cos  = 0
F2 = q2 p Å" q2 = xp x + y y + z z = -r ( p) Å" r( p)sin  cos  + r ( p) Å" r( p)sin  cos  = 0
p p
p p
2 2 2 2 2 2 2
G2 = q2 Å" q2 = x + y + z = r ( p)sin  + r ( p) cos  = r ( p)
2 2
2 2
ds2 = r dp2 + r ( p)d2 I forma kwadratowa dla
płaszczyzny
SKALE W ODWZOROWANIU AZYMUTALNYM
r
1 dr
b =
a =
Rsin p
R dp
Odwzorowanie równopolowe Lamberta
(Lambert w 1772 r.)
Zakładamy w tym przypadku, \
e skala pola jest równa jedności
a Å"b = 1
1 dr r
1
2
2
Å" = 1 2
r = -R2 cos p + C
rdr = R2 sin pdp r = -2R2 cos p + C
R dp R sin p
2
0 = -2R2 + C C = 2R2
Stałą C wyznaczymy z warunku, \
e r=0 dla p=0
p
x = 2Rsin cos
Å„Å‚
2
2 p òÅ‚
p
p
r = 2Rsin
r = 2Rsin
r = 2R (1- cos p) = 4R sin
r = 2R2 (1- cos p) = 4R2 sin2 p 2
2
2
2
2
óły = 2Rsin sin 
óły = 2Rsin sin 
skrócenie w kierunku południków
1 dr 1 1
p p
a = = 2R cos Å" = cos d" 1
2 2
R dp R 2
wydłu\
enie w kierunku równole\
ników
p
r 2R sin 1
2
b = = = e" 1
p
R sin p R sin p cos
2
kąty powiększają się
W tym odwzorowaniu mo\
na przedstawić
É cos2 p 2 -1
całą kulę ziemską, obraz półkuli mieści się
²1 - ²2 d" 0
sin = d" 0
2 cos2 p 2 +1
w kole o promieniu 2R
Odwzorowanie równoodległościowe Postela
(Postel 1510-1581, Vespucci 1524, Mercator 1569)
W tym przypadku zało\
ymy, \
e długości w kierunku południków nie ulegają
zniekształceniu
1 dr
Dla p=0 stała C=0, stąd
dr = Rdp r = Rp + C r = Rp
a = 1 = 1
R dp
1 dr r p
a = = 1 b = = e" 1
x = Rp cos
Å„Å‚
R dp Rsin p sin p
òÅ‚y = Rpsin 
ół
óły = Rpsin 
p
p
1-
É cos p sin p - p
sin = = d" 0
p
2 sin p + p
1+
cos p
p
f = a Å" b = e" 1
sin p
W tym odwzorowaniu mo\
na przedstawić całą kulę ziemską, obraz półkuli mieści się w kole o
promieniu R
Rzut stereograficzny (wiernokÄ…tny)
Hipparch ok. 130 r. p.n.e.
Warunkiem wiernokątności odwzorowania jest równość skal w kierunkach głównych
1 dr r dr dp dp
2
= = ln r = + C
a = b
+"
R dp R sin p r sin p sin p
1 1 1
dp dp
p
p
p
dr dp
cos 2 cos2 p 2
2 ln r = ln tg + lnC r = C tg
2
2
= = =
p p p p
r 2sin cos 2sin tg
2 2 2 2
Stałą C wyznaczymy z warunku by równik odwzorował się jako koło o promieniu 2R
Stałą C wyznaczymy z warunku by równik odwzorował się jako koło o promieniu 2R
p
x = 2R tg cos
Å„Å‚
2
òÅ‚
p
p
r = 2R tg
r(90o ) = 2R C tg 45o = 2R C = 2R
2
2
óły = 2R tg sin 
1 dr 1 1 1 1
a = = Å" 2R Å" = e" 1
R dp R cos2 p 2 2 cos2 p 2
p p
r 2R tg 2 tg 1
2 2
b = = = = e" 1
p p
R sin p R sin p 2sin cos cos2 p 2
2 2
1
f = a Å" b = e" 1
cos4 p 2
Odwzorowanie azymutalne ukośne
Lamberta
ZwiÄ…zek miÄ™dzy współrzÄ™dnymi geograficznymi (Õ,) a azymutalnymi (Ä…,´)
B
B
G
90°
°-p
°
°
90°
°-p0
°
°
P2
90°-p
Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
P
P
´
´
´
´
G
G
cos´ = sin p0 sin p + cos p0 cosÕ cos( - 0)
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚ sin( - 0) cos p
B
ôÅ‚sinÄ… =
ół sin´
Ä…
P(p,)
G(p0,0)
´
r(´) odpowiada funkcji r(p)
´
x = 2R sin cosÄ…
Å„Å‚
2
òÅ‚
2
óły = 2R sin ´ sinÄ…
DANE
Zakres współrzędnych geograficznych w kierunku N, S
wynosi : gr. parzyste 20°, gr. nieparzyste 2°
Zakres współrzędnych geograficznych w kierunku W, E
wynosi : gr. parzyste 30°, gr. nieparzyste 3°
Współrzędne środka:
Szerokość geograficzna
Szerokość geograficzna
40 °+ Ng * 1 ° + Nk * 1
Długość geograficzna
20 °- Ng * 1 ° - Nk * 1
Skale dla map siatek przyjmujemy dla siatki o
największy rozmiarze obrazu tj. Siatki Postela
Wyznaczenie położenia ukośnego
Obliczenie współrzędnych azymutalnych punktów węzłowych
siatki geograficznej
Obliczenie współrzędnych biegunowych na podstawie
współrzędnych azymutalnych dla węzłów siatki
współrzędnych azymutalnych dla węzłów siatki
Obliczenie współrzędnych prostokątnych na płaszczyz
nie
Stereograficzny Postela
Lamberta
´ ´
x = 2Rtg cosÄ… x = R´ cosÄ… x = 2R sin cosÄ…
Å„Å‚ Å„Å‚ Å„Å‚
2 2
òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚
2 2
óły = 2Rtg ´ sinÄ… óły = R´ sinÄ… óły = 2Rsin ´ sinÄ…
Raport
" Współrzędne siatki punktów w ukł. geograficznym
" Obliczenie punktu przyłożenia płaszczyzny (środek)
" Obliczenie współrzędnych azymutalnych i
biegunowych na sferze
biegunowych na sferze
" 3 tabele współrzędnych na płaszczyz
nie
" Mapy siatek w przyjętej skali wraz z legendą
Raport w postaci jednego pliku PDF przesyłamy
za pomocÄ… strony www:
home.agh.edu.pl/koziol