1
Narzędzia modelowania niezawodności
Arkusz kalkulacyjny - jest to program zbudowany na schemacie relacyjnych baz danych.
Relacje pomiędzy dwiema (lub więcej) cechami można zapisać na kilka sposobów.
Np. relacja  < w zbiorze liczb: {2, 5, 8, 18}
jest z definicji zbiorem par uporzÄ…dkowanych: (2, 5), (2, 8), (2, 18), (5, 8), (5, 18), (8, 18).
Do zapisu tej relacji można wykorzystać dwa sposoby.
w postaci tabelki w postaci arkusza
A B
2 5 8 18
25
2 x x x
28
5 x x
218
8 x
58
18
518
818
Powyższe formy prezentowania relacji zostały bardzo rozbudowane w praktyce.
Tabelka
Nazwisko Imie Adres Rok urodzenia Data zatrudnienia &
Kowalski Jan Hoża 75 1963 2000.03.18
Nowak Agnieszka Wilcza 15 1986 2005.10.21
&
Arkusz
A B C D & W tabelce zastosowano nieograniczoną liczbę kolumn i nagłówki kolumn
o dowolnym znaczeniu, przyjmując precyzyjne reguły wpisywania
1 2<5 5<18
wartości do poszczególnych pól tabeli.
22<18
W arkuszu na stałe oznakowano wiersze i kolumny a nazwę relacji
3 5<8 2<8
wpisuje się do komórki w dowolnej postaci, gdyż w istocie zawartość
48<18
komórki jest nazwą relacji pomiędzy wierszem a kolumną przecinających
&
się w miejscu komórki.
2
Narzędzia modelowania niezawodności
Przykład 1. Obliczenie niezawodności obiektu
a) szeregowa struktura niezawodnościowa b) równoległa struktura niezawodnościowa
3
Narzędzia modelowania niezawodności
Przykład 2. Obliczenie niezawodności obiektu o strukturze niezawodnościowej  2 z 3 .
a) elementy różne R(2,3) = R1 R2 R3 + (1-R1) R2 R3 +R1 (1-R2) R3 + R1 R2 (1-R3)
(2,3)
n
n
R(k,n) = ìÅ‚ ÷Å‚
"ëÅ‚ öÅ‚ Ri (1- R)n-i
b) elementy jednakowe
ìÅ‚i ÷Å‚
=KOMBINACJE(3;G2)
i=k
íÅ‚ Å‚Å‚
=POT
GA(B7;G2)*POT
GA((1-B7);3-G2)
=G4*G3
(2,3)
4
Narzędzia modelowania niezawodności
Przykład 3. Wyznaczenie funkcji niezawodności elementu o jednostajnym rozkładzie prawdopodobieństwa (0, b)
5
Narzędzia modelowania niezawodności
Przykład 4. Wyznaczenie funkcji niezawodności elementu o rozkładzie prawdopodobieństwa wykładniczym ()
6
Narzędzia modelowania niezawodności
PrzykÅ‚ad 5. Wyznaczenie funkcji niezawodnoÅ›ci elementu o rozkÅ‚adzie prawdopodobieÅ„stwa normalnym (m, Ã)
7
Narzędzia modelowania niezawodności
PrzykÅ‚ad 6. Wyznaczenie funkcji niezawodnoÅ›ci elementu o rozkÅ‚adzie prawdopodobieÅ„stwa Weibulla (Ä…, ²)
8
Narzędzia modelowania niezawodności
Przykład 7. Wyznaczenie funkcji niezawodności obiektu o szeregowej strukturze niezawodnościowej elementów
o rozkładzie prawdopodobieństwa wykładniczym
9
Narzędzia modelowania niezawodności
Przykład 8. Wyznaczenie funkcji niezawodności obiektu o równoległej strukturze niezawodnościowej
elementów o rozkładzie prawdopodobieństwa wykładniczym
10
Narzędzia modelowania niezawodności
n
Przykład 9. Wyznaczenie funkcji niezawodności obiektu o strukturze
n
R = ìÅ‚ ÷Å‚
niezawodnościowej  k z n jednakowych elementów
(k,n) "ëÅ‚ öÅ‚ Ri (1- R)n-i
ìÅ‚i ÷Å‚
o wykładniczym rozkładzie prawdopodobieństwa
i=k
íÅ‚ Å‚Å‚
11
Narzędzia modelowania niezawodności
Przykład 10. Wyznaczenie funkcji niezawodności obiektu na podstawie danych empirycznych
1. utworzyć zbiór zawierający chwile uszkodzenia N obiektów,
2. utworzyć szereg rozdzielczy dla obiektu: n i; i = 1, & L,
3. utworzyć skumulowany histogram dla obiektu: Fi = Fi-1+"n i / N, i = 1, & L,
12
Narzędzia modelowania niezawodności
Przykład 11. Wyznaczenie funkcji niezawodności elementów na podstawie danych o uszkodzeniach obiektu
o szeregowej strukturze niezawodnościowej
Obserwujemy użytkowanie obiektów, z których każdy jest złożony z dwóch elementów tworzących szeregową strukturę
niezawodnościową. Na podstawie zaobserwowanych uszkodzeń obiektu należy wyznaczyć charakterystyki elementów.
W chwili uszkodzenia obiektu wiadomo jaki element spowodował uszkodzenie, lecz traci się informację o chwili
uszkodzenia drugiego elementu.
Algorytm
1. na podstawie zarejestrowanych chwil uszkodzeń N obiektów utworzyć dodatkowo dwa zbiory zawierające chwile
uszkodzenia obiektu z powodu elementu 1 i 2,
2. utworzyć szeregi rozdzielcze dla obiektu i elementów:
ne, i; e = 0, 1, 2; i = 1, & L,
3. utworzyć skumulowany histogram dla obiektu względem liczby uszkodzeń obiektu:
F0, i = "n0, i / N, i = 1, & L,
4. utworzyć skumulowane histogramy dla elementów względem liczby uszkodzeń obiektu:
Fe, i = "ne, i / N, e = 1, 2; i = 1, & L,
5. na tej podstawie wyznaczyć funkcję dystrybuanty obiektu i subdystrybuanty elementów i sprawdzić zależność:
F0, i = F1, i + F2, i, i = 1, & L
6. dla każdego z elementów wyznaczyć wartość funkcji niezawodności na końcu kolejnych przedziałów,
jako iloczyn prawdopodobieństwa nieuszkodzenia na końcu poprzedniego przedziału
i prawdopodobieństwa nieuszkodzenia na końcu danego przedziału:
i-1 i-1
N - - - n1,i
"n1, j "n 2, k
k=1
R1, 1 = 1, R1, i = R1,i-1 j=1
, i = 2, & L,
i-1 i-1
N -
"n - "n 2, k
1, j
j=1 k=1
7. sprawdzić zależność:
R0, i = R1,i * R2, i = 1  F0,i
13
Narzędzia modelowania niezawodności
Przykład realizacji algorytmu.
14
Narzędzia modelowania niezawodności
Przykład 12. Wyznaczenie wartości kwantyla rzędu p
a) szeregowa struktura niezawodnościowa elementów o czasie do uszkodzenia wg rozkładu wykładniczego
1-p
1 2
R(t) = e-( +  + 3 )t
15
Narzędzia modelowania niezawodności
Przykład 12. Wyznaczenie wartości kwantyla rzędu p
b) równoległa struktura niezawodnościowa elementów o czasie do uszkodzenia wg rozkładu wykładniczego
1-p
1 2 3 1 2 1 2 1 2
R(t) = e- t + e- t + e- t - e-( +  )t - e-( + 3 )t - e-( + 3 )t + e-( +  + 3 )t