KATEDRA TERMODYNAMIKI I MECHANIKI PA
YNÓW
LABORATORIUM MECHANIKI PA
YNÓW
Ćwiczenie nr 6
Temat:
Nieustalony wypływ gazu ze zbiornika
opracowała: dr inż. M.Kołodziejczyk
1 Wprowadzenie
1.1 Podstawowe wiadomości z dynamiki gazów
Gaz jest czynnikiem ściśliwym. W przypadku przepływów gazu jego ściśliwość manifestuje
się jednak dopiero wtedy, gdy prędkość przepływu jest porównywalna z prędkością dz
więku.
Zwykle przyjmuje się, że jeśli liczba Macha:
V
Ma = < 0.3 ÷ 0.4
a
(gdzie: V  to prędkość przepływu, a  prędkość dz
więku), to wpływ ściśliwości jest zni-
komy i w stosunku do gazu stosuje się prawa wyprowadzone dla cieczy doskonałej. Jeżeli
jednak liczba Macha przekroczy tę granicę  ruch gazu staje się jakościowo różny od ruchu
cieczy. Powstają w nim zjawiska falowe: fale zgęszczeniowe lub rozrzedzeniowe, nieobecne
przy przepływach czynnika nieściśliwego.
W większości przypadków praktycznych gaz traktuje się jako nielepki. Lepkość gazu po-
mija się ze względu na to, że wpływ ściśliwości jest dużo większy od wpływu lepkości.
Z tego też względu przepływy gazu traktuje się najczęściej jako przepływy izentropowe
o ile odbywają się one bez wymiany ciepła, bez wytwarzania ciepła i bez dużych niecią-
głości parametrów typu fala uderzeniowa. Oznacza to, że w takich przepływach entropia S
indywidualnego elementu gazu pozostaje stała:
dS
= 0; (t - czas).
dt
W związku z tym parametry gazu powiązane są równaniem izentropy:
p
= const., (1)
Ák
gdzie:
p  oznacza ciśnienie,
Á  gÄ™stość,
cp
k =  wykładnik izentropy,
cv
cp  ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu,
cv  ciepło właściwe przy stałej objętości.
Charakterystyczną cechą przepływów gazu ściśliwego jest skończona prędkość roz-
chodzenia się drobnych zaburzeń ciśnienia, gęstości, temperatury i innych para-
metrów gazu, zwana prędkością dz
więku. Tak więc zmiany parametrów gazu rozchodzą
się względem gazu ze skończoną (ograniczoną) prędkością.
Dla przepływów izentropowych:


"
dp p
a = = k = k R T , (2)
dÁ Á
gdzie:
R  stała gazowa,
T  temperatura gazu.
Prędkość dz
więku jest funkcją jedynie temperatury. W przypadku powietrza, gdy
m2
k = 1.4, R = 287 ,
(s2K)
prędkość dz
więku jest równa:
"
a = 20.1 T . (3)
1.2 Ustalone przepływy gazu przewodami
Ustalony ruch gazu przewodem o zmiennym przekroju opisuje równanie Bernoulliego:

2
V dp
+ = const. (4)
2 Á
Po uwzględnieniu zależności (1) i (2) równanie Bernoulliego można zapisać przy wyko-
rzystaniu różnych parametrów gazu w następujacej postaci:
2 2 2
V k p V k R T V a2
+ = + = + = const. (5)
2 k - 1 Á 2 k - 1 2 k - 1
Stałą w powyższym równaniu wyznacza się w oparciu o wartości parametrów gazu w
pewnych charakterystycznych punktach przepływu. Mogą to być np. parametry odpowia-
dające spoczynkowi (V = 0), czyli panujące w tzw. punktach siętrzenia (np. w punkcie
całkowitego zahamowania przepływu na profilu lotniczym lub parametry spoczynkowe gazu
w zbiorniku).
Analiza równania Bernoulliego (5) pokazuje, że przy wzroście prędkości przepływu pręd-
kość dz
więku maleje. W przepływie mogą istnieć miejsca, w których prędkość gazu w pewnym
momencie zrówna się z prędkością dz
więku:
V = a = a" = V". (6)
Taką prędkość przepływu nazywamy prędkością krytyczną, a parametry gazu odpowia-
dające tej prędkości parametrami krytycznymi
Prędkość przepływu nie może rosnąć nieograniczenie. Granicę wzrostu wyznacza rów-
nanie Bernoulliego (5). Wynika z niego, że gaz osiągnie swą maksymalną prędkość, gdy
prędkość dz
więku zmaleje do zera. Taka sytuacja może się zdażyć przy rozprężaniu gazu do
próżni.
Tak więc stałą w równaniu Bernoulliego można przedstawić jako:
2
k p0 a2 k R T0 Vmax k + 1
0
= = = = a2 = const., (7)
"
k - 1 Á0 k - 1 k - 1 2 2 (k - 1)
gdzie:
p0, Á0, T0, a0  parametry spiÄ™trzenia,
a"  krytyczna prędkość dz
więku,
Vmax  maksymalna prędkość przepływu gazu.
Uwzględniając te zależności równanie izentropy (dla powietrza) można przedstawić w
postaci:
k

k-1
2
p" = p0 = 0.528 p0, (8)
k + 1
1

k-1
2
Á" = Á0 = 0.634 Á0. (9)
k + 1
1.3 Wypływ gazu ze zbiornika przez dyszę zbieżną
Rysunek 1: Wypływ gazu przez dyszę zbieżną
W zbiorniku o objętości U znajduje się sprężone powietrze pod ciśnieniem p0. Na
zewnątrz panuje ciśnienie pzew = pa . Wypływ powietrza odbywa się do atmosfery przez
przystawkę zbieżną o przekroju wylotowym F .
Pomiędzy ciśnieniami spiętrzenia p0, zewnętrznym pzew i krytycznym p" może zachodzić
zależność:
p0 > pzew > p".
Można ją przedstawić w postaci następującej:
pzew p"
1 > > = 0.528, (10)
p0 p0
wtedy ciśnienie w przekroju wylotowym dyszy zbieżnej pwyl jest równe ciśnieniu zewnętrz-
nemu:
pwyl = pzew = pa.
Taki wypływ nazywamy wypływem podkrytycznym, ponieważ prędkość w przekroju
wylotowym dyszy zbieżnej nie osiąga prędkości krytycznej:
Vwyl < V".
Wypływ gazu zachodzi więc w sposób analogiczny do wypływu cieczy.
W przypadku, gdy zależność pomiędzy ciśnieniem p0 panującym w zbiorniku, ciśnieniem
zewnętrznym pzew oraz ciśnieniem krytycznym p", ma postać:
p0 > p" > pzew,
otrzymujemy:
p" pzew
1 > = 0.528 > . (11)
p0 p0
Jest to warunek wypływu krytycznego. W przekroju wylotowym dyszy ustala się ciśnienie
krytyczne:
pwyl = p",
a prędkość wypływu jest równa prędkości krytycznej dz
więku:
Vwyl = V" = a"
i wtedy żadne zmiany ciśnienia zewnętrznego nie mogą mieć wpływu na zmianę parametrów
w przekroju wylotowym, ponieważ mają prędkość równą zero względem gazu na wylocie.
Prędkość gazu na wylocie i wydatek pozostają stałe przy pzew poniżej p". Dalsze rozprę-
żanie gazu od p" do pzew następuje poza dyszą w swobodnym strumieniu gazu. Następuje to
poprzez kolejne przechodzenie od przepływunadz
więkowego do dodz
więkowego i na odwrót,
jak na Rysunku 2.
Największą możliwą do osiągnięcia prędkością gazu w przekroju wylotowym dyszy zbież-
nej jest więc prędkość dz
więku. Gdybyśmy chcieli rozpędzić gaz do prędkości ponaddz
więko-
wych, musielibyśmy kanał ukształtować w postaci dyszy zbieżnoŻ
rozbieżnej (dysza Lavala),
Rysunek 2: Rozprężanie powietrza w swobodnym strumieniu [Bukowski, Mechanika pły-
nów,PWN,1970]
ponieważ w zakresie nadkrytycznym prędkości kanałem  rozpędzającym jest kanał rozbież-
ny.
Podczas wypływu gazu ciśnienie w zbiorniku będzie się obniżać. Ustalmy zależność p0(t)
między ciśnieniem p0 w zbiorniku a czasem t.
W chwili początkowej t = 0 : p0 = p0p. W przeciągu czasu dt ze zbiornika wypłynie
masa powietrza dm równa:
dm = Ä… ² a" Á" F dt, (12)
gdzie:
a", Á"  prÄ™dkość i gÄ™stość krytyczna,
F  przekrój wylotowy,
Ä… ²  współczynnik wydatku.
Ubytek masy powietrza w zbiorniku w czasie dt wynosi:
dm = -U dÁ0. (13)
Zbiornik ma dużą pojemność cieplną. Możemy więc założyć, że rozprężanie powietrza w
zbiorniku zachodzi izotermicznie, a więc:
p0 p0p
= . (14)
Á0 Á0p
Przyrównując stronami (12) oraz (13) i uwzględniając zależności (7),(8),(9) i (14) oraz przyj-
mujÄ…c Ä…² = 1 otrzymujemy równanie różniczkowe:
"
dp0 T0
= - dt, (15)
p0 A
z warunkiem poczÄ…tkowym:
p0 = p0p dla t = 0, (16)
gdzie: A  stała.
Rozwiązaniem równania (15) jest zależność:

A p0p
"
t = ln . (17)
T0 p0
2 Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest zbadanie nieustalonego wypływu gazu ze zbiornika przez dyszę
zbieżną oraz wyznaczenie w sposób doświadczalny zależności ciśnienia w zbiorniku od czasu
wypływu i porównanie jej z odpowiednią zależnością teoretyczną.
3 Metodyka pomiarów
3.1 Opis stanowiska pomiarowego
Schemat stanowiska pomiarowego przedstawiono na rysunku 1. Składa się ono ze zbior-
nika o objętości U, dyszy zbieżnej o średnicy wylotowej d; ciśnienie p0 wewnątrz zbiornika
mierzone jest manometrem sprężynowym, temperatura - termoparą z miernikiem cyfrowym.
Metodyka pomiarów jest następująca:
 odczytać wskazanie barometru pa;
 odczytać temperaturę gazu w zbiorniku Top;
 otworzyć zawór B;
 uruchomić stoper w chwili, gdy ciśnienie w zbiorniku osiągnie wartość p podaną
0p
przez prowadzącego; należy pamiętać, że manometry wskazują wartość nadciśnienia
(oznaczamy jÄ… p );
0
 odczytać wskazania stopera co 0.5 at,
 odczytać temperaturę w zbiorniku T0k;
3.2 Opracowanie wyników pomiarów
Odczyty z przyrządów pomiarowych należy zapisać w tabeli pomiarów. Obliczenia w ni-
niejszym ćwiczeniu są proste. Na początek należy przeliczyć wartości nadciśnień na ciśnienia
absolutne:
p0p = p + pa;
0p
p0 = p + pa.
0
p0p
Następnie należy wyznaczyć wartość stosunku oraz czas wg zależności (17) (do obliczeń
p0
przyjmujemy wartość T0 = T0p). Wzór na stałą A należy wyprowadzić w sprawozdaniu
powtarzajÄ…c czynnoÅ›ci opisane wzorami (12)÷(17).
Na podstawie uzyskanych obliczeń i danych doświadczalnych należy wykonać wykres za-
leżności p0(t). Sformułować wnioski. Wnioski pawinny dotyczyć charakteru zależności p0(t),
zgodności zależności teoretycznej i doświadczalnej, izotermiczności rozprężania powietrza w
zbiorniku i warunków przeprowadzenia ćwiczenia.
4 Wymagania BHP
Podczas wykonywania badań należy stosować się do poleceń prowadzącego ćwiczenie.
5 Literatura uzupełniająca
1. Prosnak W.: Mechanika płynów  t.I, PWN, W-wa, 1970
2. Bukowski J., Kijkowski P.: Kurs mechaniki płynów  PWN, W-wa,1980
3. Prosnak W.: Ćwiczenia laboratoryjne z mechaniki płynów  Wyd. Polit. W-wskiej, 1977
PROTOKÓA
POMIARÓW
Temat:........................................................... Data: ...............
Wykonujący ćwiczenie: Nr grupy: .......
1. .......................................................
2. .......................................................
3. .......................................................
4. .......................................................
5. .......................................................
6. .......................................................
PrzyrzÄ…dy pomiarowe:
wielkość nazwa przyrządu zakres klasa działka
mierzona
................ .......................... .......... ......... ..........
................ .......................... .......... ......... ..........
................ .......................... .......... ......... ..........
................ .......................... .......... ......... ..........
U =.................... d =.................
pa =....................
T0p =....................
T0k =....................
p =....................
0p
Tabela pomiarów i wyników obliczeń:
p0p
Nr pomiaru p t p0 t
0
p0
[at] [s] [MP a] [s]
1
2
3
4
5
6
7