Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechniki Warszawskiej - Zakład Mechaniki
Projekt nr 2
Charakterystyki aerodynamiczne płata
W projekcie tym należy wyznaczyć dwie podstawowe symetryczne charakterystyki
aerodynamiczne płata nośnego samolotu istotne do obliczeń osiągów samolotu:
" Cx(ą) - współczynnik oporu aerodynamicznego,
" Cz(ą) - współczynnik siły nośnej
jako funkcje kąta natarcia płata ą.
Wielkości te wyznaczyć należy wychodząc z danych profilu płata uzyskanych z badań
tunelowych i wykorzystując zaproponowane dalej uproszczone metody obliczeniowe.
1. Geometria płata
Poprawne wykonanie obliczeń charakterystyk aerodynamicznych płata nośnego wymaga
znajomości niektórych podstawowych wielkości geometrycznych płata, w szczególności
(rys.2.1, przykład najbardziej popularnego obrysu trapezowego płata):
" rozpiętości płata b ,
" cięciwy na osi symetrii samolotu (cięciwy przykadłubowej) c0,
" cięciwy końcowej ck,
" pola powierzchni płata S
" średniej cięciwy aerodynamicznej ca ,
" zbieżności płata ,
" wydłużenia geometrycznego �.
xN
ck
x(y)
y
ca
c/2
c(y)
ck c0
c/2
c0
x
b
Rys. 2.1
Wielkości te są na ogół zamieszczone w danych technicznych samolotu. Można je również
odczytać z rysunku sylwetki samolotu w znanej skali oraz wyznaczyć z podanych dalej
zależności.
Wartość średniej cięciwy aerodynamicznej płata ca oraz położenie początku (noska) średniej
cięciwy aerodynamicznej względem początku cięciwy przykadłubowej xN należy wyznaczyć
z zależności (oznaczenia zmiennych pod całkami wg. rys. 2.1):
Zbigniew Paturski - Przewodnik po projektach z Mechaniki Lotu, wydanie 5.0 II-1
Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechniki Warszawskiej - Zakład Mechaniki
b b
2 2
2
+"(c(y)) dy +"c(y)�" x(y) dy
b b
- -
2 2
ca = , xN = .
(2.1), (2.2)
b b
2 2
+"c(y) dy +"c(y) dy
b b
- -
2 2
Dla płata trapezowego wartości ca oraz xN można wyznaczyć z konstrukcji geometrycznej
pokazanej na rys 2.1 lub z zależności [7]:
ca = 2*c0*(1++2)/(3*(1+)) , xN = b*tg(�x 0)*(1+2*)/(6*(1+)) . (2.3)
W powyższych wzorach �x 0 to kąt skosu krawędzi natarcia płata, zaś � oraz  to
odpowiednio wydłużenie i zbieżność, które wynoszą:
� = b2/S ,  = ck/c0 .
(2.4), (2.5)
Uwaga: Jeżeli płat samolotu ma bardziej złożony obrys, inny niż prostokątny lub trapezowy (por. płaty
samolotów PZL P-7 i PZL P-11 lub Westland Lysander), to do obliczenia cięciw c0 i ck zastępujemy taki płat
obrysem trapezowym, dopasowując go odpowiednio do obrysu rzeczywistego płata, zachowując przy tym to
samo pole powierzchni nośnej i tę samą rozpiętość płata. Dla płatów o obrysie eliptycznym lub zbliżonym do
eliptycznego (Supermarine Spitfire) zbieżności nie wyznacza się.
2. Charakterystyki profilu płata.
2.1. Zebranie danych dla charakterystyk profilu z uwzględnieniem wpływu liczby Reynoldsa
Posługując się danymi samolotu należy ustalić, jaki profil miał płat samolotu. Zwykle typ
profilu jest podany w opisie technicznym samolotu. Jeżeli płat posiada profil zmienny wzdłuż
rozpiętości (tzw. skręcenie aerodynamiczne płata), to w porozumieniu z prowadzącym
projektowanie należy przyjąć do obliczeń jeden z profili zakładając, że jest on stały wzdłuż
rozpiętości. W przypadku, gdy dane samolotu nic nie mówią o typie profilu płata lub gdy nie
są dostępne dane profilu, wówczas w porozumieniu z prowadzącym należy do obliczeń
przyjąć profil o właściwościach zbliżonych do profilu oryginalnego. W obu tych przypadkach
zaleca się przyjmować do obliczeń profil o gorszych własnościach: większym współczynniku
oporu i momentu podłużnego oraz mniejszym Cz max. Musi to być profil, dla którego są
dostępne charakterystyki aerodynamiczne dla trzech różnych liczb Reynoldsa [4], [8].
Następnie, posługując się danymi samolotu, należy obliczyć wartość liczby Reynoldsa
odpowiadającej minimalnej prędkości lotu ustalonego VS1 (w pobliżu ziem):
Re1 = V * ca / �0 .
S1 (2.6)
Z danych profilu trzeba teraz wybrać te charakterystyki Cx"(ą") i Cz"(ą"), które są
najbliższe obliczonej wartości Re1 (przykładowo, dla samolotów lekkich o masie startowej
poniżej 2000 kg będą to charakterystyki dla Re=3*106 ) i przenieść do pomocniczej tabeli
obliczeniowej (Tabela 2.1, wielkości w tabeli są przykładowe). Bardzo istotne jest, by
charakterystyki profilu obejmowały cały zakres kątów natarcia ą" od ą"_kryt- aż do ą"_kryt+.
Może się zdarzyć, że na wykresach z
ródłowych brak jest wartości współczynnika oporu Cx"
dla kątów natarcia bliskich krytycznym. W takim przypadku należy odpowiednio
ekstrapolować wykresy Cx"(ą") do ą"_kryt- i ą"_kryt+. Pamiętać również należy o odczytaniu
z wyników badań tunelowych wartości współczynnika momentu podłużnego profilu
Zbigniew Paturski - Przewodnik po projektach z Mechaniki Lotu, wydanie 5.0 II-2
Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechniki Warszawskiej - Zakład Mechaniki
względem środka aerodynamicznego CmSA, położenia środka aerodynamicznego profilu
xS.A. i zSA oraz obliczeniu parametru a" = dCz"/dą" .
Uwaga: Ze względu na właściwości algorytmów następujących dalej obliczeń aerodynamiki i osiągów samolotu
jako zmienną niezależną przy odczytywaniu wartości współczynników aerodynamicznych i do obliczeń należy
przyjąć współczynnik siły nośnej Cz, nie zaś kąt natarcia ą. Ponadto zalecane jest, by przyrost Cz był
nierównomierny, zagęszczony w pobliżu Cz=0 (por. Tabela 2.0).
Tabela 2.0
Lp. Zakres wartości bezwzględnej Cz Przyrost "Cz
1 Czmax e" Cz > 0.85 Czmax 0.1
2 0.85 Czmax e" Cz > 0.6 0.2
3 0.6 e" Cz > 0.3 0.1
4 0.3 e" Cz > 0.1 0.05
5 0.1 e" Cz e" 0.0 0.02
Tabela 2.1
Charakterystyki aerodynamiczne profilu NACA 23012
Profil NACA 23015 Dane wg "Theory of Wing Sections"
-11.2 -7.4 & 16.3 17.5
położenie środka aerodynamicznego
ą [stopnie]
Re1= 3,000,000
Cz" -0.8 -0.6 1.4 1.48 X S.A. 0.246
0.0130 0.0108 0.0210 0.0340 Z S.A. -0.070
Cx"
Uwagi.
1. Wartość Cm_S.A. = -0.065 jest stała dla kątów natarcia -8.4 <ą <+15.3 .
2. Wartość dCz/dą = 6.18 [1/rad], stała dla podanego wyżej zakresu kątów natarcia.
Analiza charakterystyk aerodynamicznych profili lotniczych prowadzi do stwierdzenia, że dla
klasycznych, typowych profili starszej generacji (np. serie cztero- i pięciocyfrowe NACA)
przy prędkościach lotu dalekich od prędkości dz
więku (Ma<0.4) wartości współczynnika siły
oporu Cx" wyraz
nie zależą od liczby Reynoldsa i efekt ten należy uwzględnić.
2.2. Korekta współczynnika oporu profilu płata związana z liczbą Reynoldsa
Badania tunelowe wielu profili pokazały, że wyraz
ny wpływ Re na współczynnik oporu
profilowego jest obserwowany szczególnie w zakresie małych kątów natarcia (otoczenie
punktu Cz = 0) do liczb Re równych lub większych niż 10*106, a na ogół zanika w pobliżu
Czmax . Można zatem do przeliczeń Cx" zastosować następującą uproszczoną metodę:
 oblicza się minimalną wartości współczynnika oporu aerodynamicznego profilu Cxmin2
dla Cz2=0 (duże prędkości lotu) na podstawie znanych z danych profilu: liczby
Reynoldsa Re1 i Cxmin1 według przybliżonej zależności:
0.11
Re1
�ł �ł
(2.7)
Cx min 2 = Cx min 1 �"
,
�ł �ł
�ł10 �"106 łł
 przyjmując, że współczynniki oporu aerodynamicznego dla profilu płata dla Czmax nie
zależą od Re, poprawkę "CxRe wyznacza się według liniowej zależności (ważnej dla
dodatnich i ujemnych wartości Cz!):
Zbigniew Paturski - Przewodnik po projektach z Mechaniki Lotu, wydanie 5.0 II-3
Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechniki Warszawskiej - Zakład Mechaniki
(2.8)
"CxRe(Cz) = (Cxmin_2 - Cxmin_1)*(1 - |Cz/ Czmax|) ;
(wartość poprawki "CxRe jest ujemna);
 ostatecznie wartości współczynników oporu analizowanego profilu płata dla całego
zakresu kątów natarcia wynoszą:
Cx" (Cz") = Cx"1 + "CxRe . (2.9)
Skorygowane o wpływ liczby Reynoldsa wartości współczynnika oporu profilu Cx"
umieszczamy w trzeciej kolumnie zbiorczej tabeli obliczeniowej 2.2. Tabela ta zawierać
będzie wyniki obliczeń charakterystyk profilu, płata i całego samolotu
3. Charakterystyki płata.
Doświadczalnie i teoretycznie można dowieść [1, 4, 7], że współczynnik oporu dla płata
o skończonym wydłużeniu wyznaczyć można ze związków:
(2.10)
C'xp = Cx"' + "Cxtech + Cxi ,
(2.11)
Cxi = Cz2 * (1 + �) / (Ą*�) ,
gdzie:
"Cxtech - wzrost współczynnika oporu płata wywołany odchyleniami kształtu
profilu na rzeczywistych skrzydłach samolotu od obrysu
teoretycznego, chropowatością materiału, z jakiego wykonane są
skrzydła, nitami itp.
Cxi - współczynnik oporu indukowanego,
� - współczynnik korekcyjny uwzględniający m.in. wpływ obrysu
płata na wartość współczynnika oporu indukowanego Cxi .
Wartość współczynnika "Cxtech można oszacować jedynie w sposób przybliżony przyjmując
na podstawie wyników badań eksperymentalnych wartość z podanego niżej przedziału[2, 3]:
0.15*Cx"' dla samolotów o skrzydłach metalowych lub
min
kompozytowych,
"Cxtech =
0.50*Cx"' dla samolotów o skrzydłach drewnianych
min
krytych płótnem lub o konstrukcji mieszanej.
Uwaga: W obliczeniach wartość współczynnika siły nośnej przyjmujemy takie jak w obliczeniach współczynnika
oporu profilu (por. tab.2.2), czyli Cz = Cz" .
Oczywiście dla współczynnika siły nośnej płata takiego samego, jak dla profilu średni kąt
natarcia jest inny (większy) i wynosi:
(2.12)
ąp =ą" + ąi ,
(2.13)
ąi = Cz * (1+�)/(Ą*�) ,
gdzie:
ąi - indukowany kąt natarcia,
�- współczynnik korekcyjny uwzględniający m.in. wpływ obrysu płata
na wartość współczynnika siły nośnej na płacie.
Uwaga: Kąt natarcia we wzorach (2.12) i (2.13) wyrażony być musi w radianach.
Zbigniew Paturski - Przewodnik po projektach z Mechaniki Lotu, wydanie 5.0 II-4
Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechniki Warszawskiej - Zakład Mechaniki
Tabela 2.2
Charakterystyki aerodynamiczne profilu, płata i samolotu
Profil Płat Samolot
L.p.
Cxi C' CzH CxH C' Cx C' K= C' /Cx E=C' 3/Cx2
Cz" Cx' ą" ąi ąp "Cz H
xp x_szk z z z
"
-
C
1
Z max
2
3
4
5
6
& .
n-1
+
C
n
Z max
Zbigniew Paturski - Przewodnik po projektach z Mechaniki Lotu, wydanie 5.0 II-5
Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechniki Warszawskiej - Zakład Mechaniki
Wartości współczynników � i � wyznaczymy na podstawie analizy wyników obliczeń
współczynników siły nośnej i siły oporu płatów o różnych profilach oraz o obrysie
prostokątnym i trapezowym przeprowadzonych dokładniejszą metodą opartą o wirowy model
płata nośnego. Pokazać można [1, 7], że dla płatów o obrysie trapezowym i dowolnym profilu
wartości współczynników � i � wyznaczyć można dość dokładnie z następujących wzorów:
�1 �"�
2
� = (2.14)
0.17
gdzie:
3 2
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
� � �
(2.15)
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
�1 = 0.023�ł �ł - 0.103�ł �ł + 0.25�ł �ł
a" a" a"
�ł łł �ł łł �ł łł
(2.16)
�2 = -0.18�"5 +1.52�"4 - 3.51�"3 + 3.5�"2 -1.33�" + 0.17
oraz:
�1 �"�2 �"�3
(2.17)
� =
0.048
gdzie:
�
(2.18)
�1 = 0.0537 - 0.005
a"
(2.19)
�2 = -0.43�"5 +1.83�"4 - 3.06�"3 + 2.56�"2 -  + 0.148
�3 = (- 2.2�"10-7 �" �3 +10-7 �"�2 +1.6�"10-5)�" �253 +1 (2.20)
W związkach (2.15) i (2.18) współczynnik ą" ma wymiar 1/rad, zaś �25 w (2.20) to kąt skosu
płata mierzony w stopniach w 25 % cięciwy.
Uwaga: Dla płatów o obrysie eliptycznym � = � = 0.
Ostatnim punktem obliczeń charakterystyk aerodynamicznych płata będzie skorygowanie
wartości Czmax (dodatniej i ujemnej) i odpowiadających im kątów natarcia o wpływ
skończonego wydłużenia płata. Dla rzeczywistego wartości te są niższe niż wartości Czmax dla
profilu, zaś zmianę tę dla płata trapezowego można opisać zależnością (otrzymaną na
podstawie przebiegu rozkładu Cz wzdłuż rozpiętości płata wyznaczonego metodą Schrenka):
1
Czmax_ plata = Czmax �"
(2.21)
(1+ ) 2 - 2
0.5 +
Ą(2 - 2)
Uwaga: Dla płatów o obrysie eliptycznym Czmax_płata = Czmax * 0.947.
Krytyczne kąty natarcia płata wyznaczamy wg. zależności (2.12) i (2.13) podstawiając
odpowiednio kąt natarcia dla profilu odpowiadający Czmax_płata i obliczając indukowany kąt
natarcia ąi dla Czmax_płata.
Obliczenia wartości współczynników oporu płata oraz kątów natarcia płata wykonujemy
posługując się tabelą obliczeniową (Tabela 2.2), zaś wyniki obliczeń nanosimy na wykres
(rys. 2.2) porównując je z charakterystykami profilu.
Zbigniew Paturski - Przewodnik po projektach z Mechaniki Lotu, wydanie 5.0 II-6
Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechniki Warszawskiej - Zakład Mechaniki
Cz Cz
+
Cz
"
max
Czmax�
"
"
�
�
- -
ą ą ąo ą
, Cx
kr "
kr
+ +
ą ą
"
kr kr
-
Cz
�
max
-
Cz
"
max
Rys. 2.2
4. Przypadki szczególne wyznaczania charakterystyk płata.
4.1 Dane z badań tunelowych tylko dla jednej liczby Reynoldsa
Zdarza się często, że charakterystyki profilu Cx(ą) i Cz(ą) publikowane są tylko dla jednej
liczby Reynoldsa. Ponadto wykresy lub tabele wartości współczynników aerodynamicznych
dane są nie dla profilu, ale dla prostokątnego płata o znanym wydłużeniu (zwykle �=5 lub
�=6). Zazwyczaj sytuacja taka występuje w przypadku korzystania z bardzo starych
materiałów z
ródłowych pochodzących sprzed 1939 roku. Pojawia się zatem problem
przeliczenia wartości współczynników aerodynamicznych na inne wydłużenie i inną liczbę
Reynoldsa. Doświadczenie pokazuje, że racjonalnym postępowaniem w takim przypadku jest
przeliczenie charakterystyk na nowe wydłużenie posługując się związkami na opór
indukowany i indukowany kąt natarcia wyprowadzonymi z teorii linii nośnej Prandtl a-
Glauerta oraz wykonanie uproszczonej korekty współczynnika oporu i wartości
maksymalnego współczynnika siły nośnej według opisanej niżej metody.
a) przeliczenie na inne wydłużenie
Można łatwo wykazać, że różnice między współczynnikami oporu i kątami natarcia płatów
o dwóch różnych wydłużeniach �1 i �2 dla tej samej wartości współczynnika siły nośnej Cz
dane są zależnościami (kąt natarcia w radianach!):
Cx2 - Cx = (Cz2/Ą)* [(1 + �2)/�2  (1 + �1)/�1], (2.22)
1
ą2 - ą1 = (Cz/Ą)* [(1+�2)/�2 - (1+�1)/�1]; (2.23)
Wartości współczynników Glauerta �1 , �2 , �1 , �2 (które zależą od geometrii płatów oraz
nieznanej wartości współczynnika a" = (dCz/dą)") można w przybliżeniu przyjąć równe
wartościom uzyskanym w sposób opisany wyżej w punkcie 3 przy założeniu �/a" = 1.
Zbigniew Paturski - Przewodnik po projektach z Mechaniki Lotu, wydanie 5.0 II-7
Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechniki Warszawskiej - Zakład Mechaniki
b) wpływ Re na wartość Czmax
Poprawne oszacowanie wpływu zmiany liczby Reynoldsa na wartość Czmax wymaga
wykorzystania wyników obszernych badań tunelowych kilku serii profili. Sposób obliczeń
można znalez
ć np. w książce profesora Władysława Fiszdona  Mechanika Lotu , wydanie I
z 1952 roku, tom I, punkt 2.11 str. 2/72 i następne. Jeżeli natomiast liczba Reynoldsa
odpowiadająca prędkości przeciągnięcia Vmin obliczona dla analizowanego samolotu i płata
(zależność 2.5) jest zbliżona do tej, dla której był badany płat o znanych charakterystykach,
to korektę Czmax można pominąć, przyjmując (Czmax )analizowany = (Czmax )dany oraz pomijając
analizę wpływu skończonego wydłużenia i obrysu płata na Czmax (punkt 3, zależność (2.21)).
c) wpływ Re na wartość Cx
Do przeliczeń Cx można tu zastosować metodę analogiczna do opisanej wyżej w punkcie 2.2:
 obliczyć liczbę Reynoldsa Re2 dla największej prędkości lotu, jaka osiąga samolot (jest to
prędkość VD  dopuszczalna prędkość obliczeniowa lub VNE  prędkość nieprzekra-
czalna, nazywane nieprecyzyjnie w opisach samolotu prędkością nurkowania);
 minimalne wartości współczynnika oporu aerodynamicznego profilu płata danego
(indeks 1) i analizowanego (indeks 2) są związane przybliżoną zależnością:
Cxmin_2 = Cxmin_1 * (Re1/Re2)0.11 ; (2.24)
 przyjmując, że współczynniki oporu aerodynamicznego dla profilu płata danego
i analizowanego są dla Czmax takie same, poprawkę "CxRe obliczamy według liniowej
zależności (ważnej dla dodatnich i ujemnych wartości Cz):
"CxRe(Cz) = (Cxmin_2 - Cxmin_1)*(1 - |Cz/ Czmax|); (2.25)
(oczywiście wartość "CxRe może być dodatnia lub ujemna, por. wzór (2.24))
 ostatecznie wartości współczynników oporu analizowanego płata wynoszą:
Cx2 = Cx2 + "CxRe, (2.26)
gdzie Cx2 obliczono z zależności (2.22).
Oczywiście tak wyznaczoną charakterystykę Cx2 (Cz) należy skorygować dodając składnik
wynikający z tzw. oporu technicznego (punkt 3, wyznaczanie wartości "Cxtech).
d) korekta kąta natarcia
Kąt natarcia ą2 realizujący wartości współczynnika Cz płata danego i analizowanego
obliczamy bezpośrednio z zależności (2.23).
Przykład wyniku przeliczania współczynnika oporu płata dla Re2>Re1 (zaczerpnięty
z cytowanego wyżej podręcznika Mechaniki Lotu, Re2 > Re1 ) pokazano na rys. 2.3.
Zbigniew Paturski - Przewodnik po projektach z Mechaniki Lotu, wydanie 5.0 II-8
Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechniki Warszawskiej - Zakład Mechaniki
"CX Re
CX min_2
CX min_1
Rys. 2.3
(***)
Zbigniew Paturski - Przewodnik po projektach z Mechaniki Lotu, wydanie 5.0 II-9