Aksjomaty statyki 1:3 i Podst. prawa
1. Jeżeli do układu sil działających na c.s. będące w równowadze dodamy lub odejmiemy dwie siły przeciwne lezace na jednej prostej to rownowaga ciala zostanie nie naruszona.przekształcenie α
2. Jeżeli do układu sil działających na c.s. dodamy lub odejmiemy skończony układ sil zbieżnych o sumie rownej 0 to rownowaga ciała nie zostanie naruszona- przekształcenie β
3. Jeżeli na c.s. dziala zerowy układ sił to ciało może być w równowadze (lub poruszac się ruchem jedn. prostolin.)
4. dowolne dwie sily P1 i P2 przylozone do jednego punktu można zastąpić wypadkowa R przylozona da tego pkt. i przedstawiona jako wektor bedacy przekatna równoległoboku ABCD zbudowanego na wektorach sil
5. Kazdemu dzialaniu towarzyszy =co do wart. i przeciwnie skierowane przeciwdziałanie
6.kazde cialo nieswobodne można myślowo oswobodzic od więzów zastapujac przy tym ich dzialanie odpowiednimi reakcjami. Dalej cialo to można rozpatrywac jako swobodne podlegające dzialaniu sil czynnych (ociazen) i sil biernych (reakcji)
Baze mnogości trójwymiarowej stanowia 3 dowolne niekomplanearne wektory a,b,c, każdy czwarty wektor tej mnogości d można w jednoznaczny sposo przedstawic jako kombinacje liniowa wektorow bazowych:
d=αa+βb+γc, gdzie αa βb γc- składowe wektora, α β γ- współrzędne wektora d w tej bazie (a,b,c)
Ciało sztywne- układ mechaniczny bardzo dużej liczby p.m.wypełniających pewna ograniczona część przestrzeni. C.S. jest w równowadze jeśli jest w spoczynku w danym układzie odniesien. O układzie sił działających na ciało sztywne mowimy ze jest w równowadze jeżeli ciało to pod działaniem tego układu sił może być w równowadze, czyli pozostawać w spoczynku.
Definicja podstawowa równoważności układu sił- dane układy sil (A) i (B) nazywamy równoważnymi piszac (A)=(B) wtedy i tylko wtedy gdy wykonując na jednym z nich skonczona liczbe przekształceń elementarnych typu α i β w wyniku otrzymamy układ drugi. Relacja ta jest zwrotna (A)=(A), dymetr. (A)=(B) to (B)=(A), przechodnia (A)=(B) i (B)=(C) to (A)=(C).
Macierz transformacji ortogonalnej R: -jest macierza nieosobliwa o właści. detR=1, R-1=RT, suma kwadratow elementow każdego wiersza o kazdej kolumny rowna się 1, np. ci12+ci22+ci32=1, suma iloczynow odpowiednich elementow dwoch kolumn lub wierszy jest rowna zero np. c11c21+c12c22+c13c23=0
[cosα sinα, -sinα cosα] -R dla ukł. plas.
Moment układu sił względem bieguna- jest równy sumie momentów wszystkich sil tego układu względem tego bieguna- MQ(ai/Ai)=ΣQAix ai=ri xai
Moment siły względem osi- moment siły (a/A) względem osi l nazywamy moment wektora rzutu sily na plaszcz. πl prostopadla do osi l obliczony względem punktu przebicia płaszcz. πl przez oś l. moment ten jest rowny zero gdy: - wektor sily jest równoległy do osi, -prosta działania siły przecina oś l
Moment statyczny figury plaskiej względem osi jest rowny iloczynowi powierzchni tej figury do osi. Moment statyczny wzg osi przechodzodzacy przez srodek figury jest rowny 0.
Momentem statyczny c.s. względem płaszczyzny nazywami iloczyn masy m (dm) p.m i jego odległości r od tej płaszczyzny Sπ=m·r [kg·m]
dla u.p.m: Sπ=Σmr, dla c.s Sπ=∫r dm, gdzie dla bryly ∫∫∫rγdV, dla tarczy ∫∫rμdA, dla preta ∫r λdL
Momenty statyczne względem płaszczyzn układu współrzędnych:
Sπx =Syz=∫xdm, Sπy =Sxz=∫ydm, Sπz= Sxy=∫zdm, ogolnie S=∫r dm gdzie S={ Sπx, Sπy, Sπz}, r={x,y,z}
Po krzywew Sx=∫yudl Sy=∫xudl
Masowy moment statyczny- jest rowny iloczynowi masy c.s. i odległości srodka masy od płaszczyzny. Moment. bezwł. p.m. względem płaszczyzny- nazywamy iloczyn masy tego punktu m i kwadratu jego odległości od tej płaszczyzny. Iπ=m·r2 [kg·m2]
Moment bezwładności względem osi jest rowny sumie momentow wzgledem 2 wzajemnie prostopadłych płaszczyzn przecinających się wzdłuż tej osi.
M.bezwład. wzgl płaszczyzn
Ix= ∫x2dm Iy= ∫y2dm Iz= ∫z2dm
Biegun. M. Bezwl. Io=1/2(Ix+Iy+Iz)
M. Dewiacji Dxy=∫xydm Dyz=∫yzdm
Para sił- ponieważ suma ukłądu sił tworzących parę sił jest wekorem zerowym to moment jest stały i nie zależy od polożenia bieguna. Moment pary sił jest wektorem swobodnym prostopadłym do płaszczyzny pary sił. -dwie pary sil sa rowne gdy maja rowne momenty, -uklad złożony z kilku par jest równoważny parze o momencie rownym sumie momentow par układu.
Postulat o więzach- ruch i polożenie ciała sztywnego nieswobodnego nie zmienia się jeżeli hego więzy zostana usunięte a ich oddziaływanie zastąpimy odpowiednio dobranymi reakcjami
Praca wirtualna- dL=P·ds=P·dr; dL-praca wirtualna, ds- wirtualne przemieszczenie, możliwe ale nie rzeczywiste przemieszczenie zgodne z warunkami kinetycznymi
|
Punkt materialny- w ukł. ciągłych jest to iloczyn gęstości masy z jakiej wykonane jest cialo i rozniczki geometrycznej ciala.
Przekształcenia elementarne-
1. przez PEL typu „α”rozumiemy usunięcie lub dołączenie do udkladu sił (A) układu złożonego z 2 wektorow przeciwnych leżących na jednej prostej.
2.przez PEL typu „β” rozumiemy usunięcie lub dołączenie do układu (A) układu zlozonego z kilku wektorow o wspolnym punkcie alokacji i o sumie rownej wektorowi zerowemu
, s=b1+b2+...+bn=0
Wtóre przekształcenia elementarne-
1.w przypadku CS siłę wolno przesuwac wzdłuż prostej jej działania
2. kilka sił o wspólnym punkcie alokacji można zastąpić ich sumą o tym samym punkcie zaczepienia
Reakcje- są to oddziaływania więzów ciala nieswobodnego i wyznaczamy je z WKW o ukladach sil działających na cialo sztywne nieswobodne
Reakcje wewnętrzne są to sily wzajemnego oddziaływania cial i jako takie tworza układ sil przeciwnych lezacych na jednej prostej
Redukcja układu- zastapienie jednego układu sil np. (A) innym, na ogol prostszym układem (B), ale o identycznym dzialaniu.
Tw o redukcji ukł. płaskiego
- każdy płaksi układ sił jest równoważny układowi złożonemu z 2 wektorow sił których punkty alokacji można obrac w plaszczeznie układu.
-dowolny układ sil jesr rowny układowi złożonemu z sumy tego układu zaczepionej w dowolnie obranym punkcie oraz pary o momencie równy momentowi tego ukł.względem tego pkt
Tw o redukcji ukł przestrzennego- dowolny przestrzenny układ sil jest równoważny układowi pewnych trzech sił, których punkty zaczepienia nie leżą na jednej prostej.
, , k=1,2,3
Równania równowagi statycznej-
1.przestrzenny dowolny układ sil- ;)
2. p. równoległy układ sil ΣPi3=0, ΣMi1=0, ΣMi2=0
3.p. zb. ukł. sił ΣPi1=0, ΣPi2=0, ΣPi3=0
1. plaski dowolny układ sil- np. ΣPix1=0, ΣPix2=0, ΣMiQ=0
2. płaski równoległy układ sil- np. ΣPi2=0, ΣMiQ=0
3. płaski zieżny - np. ΣPi1=0, ΣPi2=0
zał: S(A)=S(B), MQ(A)=MQ(B)
zał: MQ1(A)=MQ1(B), MQ2(A)=MQ2(B), MQ3(A)=MQ3(B) teza: (A)=(B)
Tw o redukcji układu do obranego bieguna- w układzie sil wolno którykolwiek wektor sily przenieść do innego punktu alokacji pod warunkiem dolaczenia do układu pary sil o momencie przeniesionego wektora zaczepionego w starym punkcie alokacji a obliczonego względem nowego punktu zaczepu MQ(ai/Ai)= QA x ai
Tw o redukcji układu sił- dowolny uklad sił jest równoważny układowi złożonemu z wektora sumy tego ukąłdu zaczepionego w dowolnie obranym biegunie oraz pary sił o momencie układu obliczonym względem tego bieguna.
Tw o równowadze układu (c.s.)- WKW, równowagi układu sil działających na cialo sztywne jest aby suma tego układu oraz moment tego układu względem dowolnego bieguna był wektorem zerowym.
Tw o równowadze układu sił (c.s)- wkw na to aby uklad sil działających na c.s był w równowadze jest aby momenty tego układu względem trzech nie lezacych na jednej prostej biegunow były wektorami zerowymi.
Tw o trzech siłach (c.s)- układ trzech sił jest w równowadze jeżeli sily te leza w jednej płaszczyźnie bądź SA rownolegle bądź tworza układ zbieżny o sumie rownej 0.
Tw o geometrycznej niezmienności układu złożonej z 3 tarcz- w.k i w.jest V=3T-p-2b-2≤0 orazpunkt przeciec kierunkow par pretow miedzy tarczami nie mogą lezec na jednej prostej. Układ tarc jest geometrycznie niezmiennym jeżeli można go zastąpić jedna tarcza. Trzy tarcze wzajemnie polaczone za pomoca przegubow tworzących trojkat są układem wewnętrznie geometrycznie niezmiennym.
Tensor momentu bezwładności -
lub
daje nam pelna informacje o rozkładzie masy w rozwazanym c.s., jest to tensor symetryczny, wyznacznik macierzy I jest dodatni, różny od zera.
Rzutem wektora d na prosta l lub płaszczyznę π, nazywamy wektor którego początkiem jest rzut prostokątny początku wektora d a koncem prostokątny rzut konca wektora na prosta l lub płaszczyznę π.
Stopien zmienności mechanizmu- określamy przez liczbe posiadanych przez niego stopni swobody względem dowolnego układu współrzędnych związanego nieruchomo z podłożem
|
Płaski układ sił- proste dzialania wszystkich sil układu leza w 1 płaszcz
Suma- jest to wektor swobodny nie związany z żadnym punktem. Układy równoważne maja rowne sumy jeżeli (A)=(B) to S(A)=S(B) i mowimy ze suma układu jest niezmiennikiem względem przekształceń elementarnych
Układ mechaniczny ciał sztywnych- zbior skończony cial sztywnych które sa ze soba polaczone za pomoca tak zwanych więzów wewnętrznych a z układem odniesienia są polaczone wiezami zewnętrznymi.
Wektory kolinearne są to wektory o tym samym kierunku, a więc wektory równoległe do jednej prostej lub też leżące na jednej prostej. Wektory te tworzą więc kąt 0° albo 180° (zależnie od ich zwrotów). Korzystając z definicji iloczynu wektorowego, stwierdzić można, iż warunkiem kolinearności dwóch wektorów a i b jest zerowanie
Wektory komplan. (współpłaszczyzn.) są to 3 wektory liniowo zależne, równoległe do tej samej płaszczyzny, tzn leżą w tej samej płaszczyźnie.
Więź elementarna(wahacz) podstawowy elem. systemu kontr., ma postać sztywnego pręta łączącego dwa elementy. Reakcja więzu d=const (sztywnego preta) ma jego kierunek.
Więzy dwustronne skleronomiczne- wiezy w których równaniu parametr czasu nie wystepuje w sposób jawny.
Więzy- są to ograniczenia stopni swobody przy czym ograniczenia te matematycznie podajemy w postaci równan uzależniających od siebie współrz. , fizycznie w postaci innych ciał ograniczających swobode ruchu.
Wypadkowa- jeżeli droga przekształceń elementarnych dowolny układ (A) da się zredukowac do układu złożonego z 1 sily o scisle określonym punkcie zaczepienia to ten układ zredukowany nazywamy wypadkowa.
Dokonać podziału wektorów(sił) i ich układów. Dzielimy wektory na: równoległe, równe, równoważne, przeciwne i zerowe układ zbieżny , równoległy i płaski.
Do jakiego ukł. można zredukować dowolny przestrzenny układ sił: układ sił jest równoważny wtw. - skrętnikowi -R≠0 - wypadkowej - R=0, S≠0
- parze sił - R=0, S=0, M≠0 - układowi zerowemu - R=0, S=0 , M≠0
Omówić sposób wyznaczenia reakcji
w układzie mechanicznym. Co to są
reakcje wewnętrzne? Reakcje
wyznaczamy zauważając że układ mech.
możemy traktować jako niezależny zbiór
CS na które działają siły czynne. Reakcje
wewnętrzne, reakcje zewnętrzne ΣPx=0, ΣPy=0, ΣPz=0
Omówić wyznaczenie sił w kratownicach
Wyznaczamy reakcje zewn.(zakładając że
kratownica tworzy ukł. sztywny) za
pomocą rzutów na osie x, yoraz mom. x, y
Następnie w określonej kolejności
rozważamy równowagę węzłów
(kolejność ustalamy aby w kolejnym węźle
były 2 niewiadome. Gdy chcemy obliczyć
jedynie kilka sił możemy skorzystać z
Podać warunki geometrycznej
niezmienności (sztywności) i statycznej
wyznaczalności kratownicy.
P- liczba prętów W- liczba węzłów muszą
spełniać zależność P= 2*W-3 W wykładzie
jest: W- liczba prętów P.M
P- liczba prętów 2W=P => GN.SW
Na czym polega metoda Rittera
rozwiązywania kratownic.Polega na
dokonaniu przekroju przez 3 nie
równoległe, nie przecinające się w jednym
punkcie. Więzy: każde ciało pozostaje w
równowadze więc korzystając z rzutów na
osie obliczamy wartość sił reakcji wew.
Jak wyznaczyć położenie środka
dowolnej liczby sił równoległych.
Środek ten nosi nazwę „środka masy”
z sposobu:
Co nazywamy przekrojem, co punktem
Rittera dla siły Ni. Przekrojem Rittera
nazywamy przekroj α-α przechodzący
przez 3 nie rownolegle i nie przecinające
się w jednym punkcie prety (wiezy) w
których chcemy wyznaczyc sily osiwe.
Ni- sa to sily osiowe sily reakcji jakimi
prety oddzialywuja na węzły (rekcje
więzów d=const na punkt materialny)
Przekroj rittera może przechodzic przez
wieksza liczbe pretow ale pozostale prety
musza być przecięte parzysta liczbe razy.
Kierunki pozostalych pretow musza
przecinac się w jednym punkcie. Sily w
pozostałych pretach (oprocz 3) musza być
znane. Punktem Rittera dla sily osiowej w
precie - Ni nazywamy punkt w którym
przecinaja się kierunki pozostałych 2
pretow rozciętych przekrojem rittera który
obieramy za biegun w warunkach
momentow z równania ΣMrg=0.
Obliczamy jedna niewiadoma
równania jaka jest szukana sila Ni
Siła-pojęcie pierwotne. Mówiąc o sile działającej na cialo należy pamietac ze musi ona pochodzić od innego ciała mechanicznego. Z pojęciem sily wiąże się koniecznie istnienie dwóch ciał, z których jedno wywiera siłę na drugie
|
Ile wynosi liczba liniowo niezależnych
wektorów w mnogościachM1,M2,M3?
Max. liczba wektorów niezależnych
w przestrzeni n-wymiarowej wynosi n,
zatem w mnogości 1-wymiarowej istnieje
jeden wektor niezależny (bazowy), w
mnogości 2-wymiarowej istnieja, 2
wektory niezależne (niekolinearne-nie
rownolegle do jednej prostej), a w
mnogości 3-wymiarowej istnieja 3
niezalezne wektory ( sa nimi każde 3
niekompenarne - nierownolegle do
jedenj płaszczyzny wektory ).
Co nazywamy wektorami bazowymi
w 3-wymiarowej mnogości wektorów.
Wektorami bazowymi mnogości
3-wymiarowej nazywamy 3 niezalezne
wektory, przez które da się wyrazić jeden
i tylko jeden sposób każdy wektor c^
mnogości 3-wymiarowej.Wektory te
tworzą bazę. Są nimi każde 3
Sprawdź czy wektory a={ax,ay,az}i
b={bx,by,bz} c={cx,cy,cz}
mogą być wektorami bazowymi w M3.
Zbior n- wymiarowych wektorów
a1,a2,…an tworzą bazę n- wymiarowej
przestrzeni gdy: - liczba wektorow ai w
danym układzie wektorow jest identyczna
z wymiarem przestrzeni, z której
pochodzą te wektory (k=n),
- układ wektorow ai jest liniowo
niezależne czyli rząd macierzy jest
równy m, a gdy m=n to wyznacznik ma
być różny od zera.Pierwszy warunek jest
spełniony bo mamy 3 wektory i …
mnogość3-wymiarowa. Sprawdzamy czy
wyznacznik jest różny od zera
Jaką wartość ma praca L=Pq jeżeli
P={Px,Py,Pz}[N] i wektora
q o współrzędnych {qx,qy,qz} [m]?.
Iloczyn skalarny wektorow
a^ i b^ jest równy sumie iloczynów
jednoimiennych ich współrzędnych:
przedstawiając wektory a^=axi+ayj+azj i
a*b=(axi+ayj+azk)(bxi+byj+bzk)=
axbx+ayby+azbz jest to iloczyn skalarny
wyrazony przez współrzędne wektorow.
Na podstawie tego wzoru obliczamy prace
Jaki kąt tworzą ze sobą wektory z
poprzedniego zadania ?Iloczynem
skalarnym dwóch wektorow a^ i b^
nazywamy skalar „c” taki ze :
c=| a^| * |b^| * cos α ,α kat zawarty miedzy
wektorami a i b.Długość wektora
określamy wzorem |a^|=√ax²+ay²+az².
Iloczyn skalarny wyrazamy przez
Współrz. na postaca*b=axbx+ayby+azbz.
Na podstawie powyższych wzorow można
obliczyc kat pomiedzy wektorami P i q :
|P^|=√Px²+Py²+Pz ² |q^|=√qx²+qy²+qz² ;
|P^|*|q^|*cosα=Pxqx+Pyqy+Pzqz, stad
cosα=Pxqx+Pyqy+Pzqz/√Px²+Py²+Pz² *
Jaka postać maja wektorowe i skalarne
podstawowe równania rownowagi
układu (A) w zagadnieniach przestrz.
Na podstawie twierdzenia :WKW na to
aby układ sil dzilajacych na cialo sztywne
był w równowadze jest aby układ ten miał
sume(wektor glowny) i moment względem
dowolnego bieguna (moment glowny)
rowne wektorom zerowym. Mamy dwa
wektorowe równania równowagi
( )=ΣPi^=0^ i Mq^(A)=0^ które
wymagaja spełnienia 6rownan skalarnych
ΣPix=0,ΣPiy=0,ΣPiz=0. ΣMix=0
,ΣMiy=0,ΣMiz=0Sumy momentów sil
względem osi Ox,Oy,Oz musza być =0
oraz sumy momentow sil na poszczególne
osie Ox,Oy,Oz musza być =0
Kiedy układ tarcz sztywnych jest ukł.
geometrycznie niezmiennym WKW dla
układów 2, 3-tarczowych WKW
geometrycznej niezmienności układu
dwutarczowego jest:V<=0 stopień
geometryczne niezmienność
V=3t-p-2b-z-3 musi być <=0 oraz pręty nie
przecinają się w jednym punkcie czyli nie
sa również do siebie równoległe(gdyby
były równoległe posiadały by wspólny
punkt nieskończoność -niewłaściwy).
WKW geometrycznej niezmienności ukł.
3 tarczjest:V<=0 oraz punkty przeciec
kierunków par prętów miedzy tarczami
(przeguby 0,12,0,23,0,31)nie moga lezec
Co nazywamy nieswobodnym ukł. CS
Nieswobodny układ CS jest jest układem
mechanicznym cial sztywnych nazywamy
geometrycznie niezmienny względem
siebie lub względem ostoi ukł.skończonej
liczby tarcz (ciał sztywnych)połączonych
miedzy sobą za pomoca więzów wew.a z
ostoja wiezami podporowymi. Układ
nazywamy nieswobodnym gdy ruch i
przemieszczenie układu jest ograniczony
Postulat o więzach Ruch i polozenie ciala
nieswobodnego nie zmieniaja się jeżeli
jego wiezy usuniemy ich oddziaływanie
zastapimy odpowiednio dobranymi
reakcjami AKSJOMAT STATYKI-
POSTULAT O WIEZACH: kazde cialo
sztywne nieswobodne można myślowo
oswobodzic od więzów, pod warunkiem ze
usunięte wiezy zostana zastapione
odpowiednimi silami przenoszonymi przez
wiezy, zwanymi reakcjami więzów.
1.Reakcje zaczepione są punktach w
których rozwazane cialo styka się z
wiezami 2.Jesli wiezem jest gladka
powierzchnia to kierunek reakcji jest
prostopadly do tej powierzchni 3.Jesli
wiezem jest gladka krzywa, to kierunek
reakcji lezy w płaszczyźnie prostopadlej
|