Aksjomaty statyki 1:3 i Podst. prawa 1. Jeżeli do układu sil działających na c.s. będące w równowadze dodamy lub odejmiemy dwie siły przeciwne lezace na jednej prostej to rownowaga ciala zostanie nie naruszona.przekształcenie α 2. Jeżeli do układu sil działających na c.s. dodamy lub odejmiemy skończony układ sil zbieżnych o sumie rownej 0 to rownowaga ciała nie zostanie naruszona- przekształcenie β 3. Jeżeli na c.s. dziala zerowy układ sił to ciało może być w równowadze (lub poruszac się ruchem jedn. prostolin.) 4. dowolne dwie sily P1 i P2 przylozone do jednego punktu można zastąpić wypadkowa R przylozona da tego pkt. i przedstawiona jako wektor bedacy przekatna równoległoboku ABCD zbudowanego na wektorach sil 5. Kazdemu dzialaniu towarzyszy =co do wart. i przeciwnie skierowane przeciwdziałanie 6.kazde cialo nieswobodne można myślowo oswobodzic od więzów zastapujac przy tym ich dzialanie odpowiednimi reakcjami. Dalej cialo to można rozpatrywac jako swobodne podlegające dzialaniu sil czynnych (ociazen) i sil biernych (reakcji) Baze mnogości trójwymiarowej stanowia 3 dowolne niekomplanearne wektory a,b,c, każdy czwarty wektor tej mnogości d można w jednoznaczny sposo przedstawic jako kombinacje liniowa wektorow bazowych: d=αa+βb+γc, gdzie αa βb γc- składowe wektora, α β γ- współrzędne wektora d w tej bazie (a,b,c) Ciało sztywne- układ mechaniczny bardzo dużej liczby p.m.wypełniających pewna ograniczona część przestrzeni. C.S. jest w równowadze jeśli jest w spoczynku w danym układzie odniesien. O układzie sił działających na ciało sztywne mowimy ze jest w równowadze jeżeli ciało to pod działaniem tego układu sił może być w równowadze, czyli pozostawać w spoczynku. Definicja podstawowa równoważności układu sił- dane układy sil (A) i (B) nazywamy równoważnymi piszac (A)=(B) wtedy i tylko wtedy gdy wykonując na jednym z nich skonczona liczbe przekształceń elementarnych typu α i β w wyniku otrzymamy układ drugi. Relacja ta jest zwrotna (A)=(A), dymetr. (A)=(B) to (B)=(A), przechodnia (A)=(B) i (B)=(C) to (A)=(C). Macierz transformacji ortogonalnej R: -jest macierza nieosobliwa o właści. detR=1, R^-1=R^T, suma kwadratow elementow każdego wiersza o kazdej kolumny rowna się 1, np. ci1^2+ci2^2+ci3^2=1, suma iloczynow odpowiednich elementow dwoch kolumn lub wierszy jest rowna zero np. c11c21+c12c22+c13c23=0 [cosα sinα, -sinα cosα] -R dla ukł. plas. Moment układu sił względem bieguna- jest równy sumie momentów wszystkich sil tego układu względem tego bieguna- MQ(ai/Ai)=ΣQAix ai=ri xai Moment siły względem osi- moment siły (a/A) względem osi l nazywamy moment wektora rzutu sily na plaszcz. πl prostopadla do osi l obliczony względem punktu przebicia płaszcz. πl przez oś l. moment ten jest rowny zero gdy: - wektor sily jest równoległy do osi, -prosta działania siły przecina oś l Moment statyczny figury plaskiej względem osi jest rowny iloczynowi powierzchni tej figury do osi. Moment statyczny wzg osi przechodzodzacy przez srodek figury jest rowny 0. Sx= Ai·yi , Sy=Ai ·xi Momentem statyczny c.s. względem płaszczyzny nazywami iloczyn masy m (dm) p.m i jego odległości r od tej płaszczyzny Sπ=m·r [kg·m] dla u.p.m: Sπ=Σmr, dla c.s Sπ=∫r dm, gdzie dla bryly ∫∫∫rγdV, dla tarczy ∫∫rμdA, dla preta ∫r λdL Momenty statyczne względem płaszczyzn układu współrzędnych: Sπx =Syz=∫xdm, Sπy =Sxz=∫ydm, Sπz= Sxy=∫zdm, ogolnie S=∫r dm gdzie S={ Sπx, Sπy, Sπz}, r={x,y,z} Po krzywew Sx=∫yudl Sy=∫xudl Masowy moment statyczny- jest rowny iloczynowi masy c.s. i odległości srodka masy od płaszczyzny. Moment. bezwł. p.m. względem płaszczyzny- nazywamy iloczyn masy tego punktu m i kwadratu jego odległości od tej płaszczyzny. Iπ=m·r^2 [kg·m^2] Moment bezwładności względem osi jest rowny sumie momentow wzgledem 2 wzajemnie prostopadłych płaszczyzn przecinających się wzdłuż tej osi. M.bezwład. wzgl płaszczyzn Ix= ∫x2dm Iy= ∫y2dm Iz= ∫z2dm Biegun. M. Bezwl. Io=1/2(Ix+Iy+Iz) M. Dewiacji Dxy=∫xydm Dyz=∫yzdm Dzx=∫zxdm Para sił- ponieważ suma ukłądu sił tworzących parę sił jest wekorem zerowym to moment jest stały i nie zależy od polożenia bieguna. Moment pary sił jest wektorem swobodnym prostopadłym do płaszczyzny pary sił. -dwie pary sil sa rowne gdy maja rowne momenty, -uklad złożony z kilku par jest równoważny parze o momencie rownym sumie momentow par układu. Postulat o więzach- ruch i polożenie ciała sztywnego nieswobodnego nie zmienia się jeżeli hego więzy zostana usunięte a ich oddziaływanie zastąpimy odpowiednio dobranymi reakcjami Praca wirtualna- dL=P·ds=P·dr; dL-praca wirtualna, ds- wirtualne przemieszczenie, możliwe ale nie rzeczywiste przemieszczenie zgodne z warunkami kinetycznymi

Punkt materialny- w ukł. ciągłych jest to iloczyn gęstości masy z jakiej wykonane jest cialo i rozniczki geometrycznej ciala. Przekształcenia elementarne- 1. przez PEL typu „α”rozumiemy usunięcie lub dołączenie do udkladu sił (A) układu złożonego z 2 wektorow przeciwnych leżących na jednej prostej. 2.przez PEL typu „β” rozumiemy usunięcie lub dołączenie do układu (A) układu zlozonego z kilku wektorow o wspolnym punkcie alokacji i o sumie rownej wektorowi zerowemu , s=b1+b2+...+bn=0 Wtóre przekształcenia elementarne- 1.w przypadku CS siłę wolno przesuwac wzdłuż prostej jej działania 2. kilka sił o wspólnym punkcie alokacji można zastąpić ich sumą o tym samym punkcie zaczepienia Reakcje- są to oddziaływania więzów ciala nieswobodnego i wyznaczamy je z WKW o ukladach sil działających na cialo sztywne nieswobodne Reakcje wewnętrzne są to sily wzajemnego oddziaływania cial i jako takie tworza układ sil przeciwnych lezacych na jednej prostej Redukcja układu- zastapienie jednego układu sil np. (A) innym, na ogol prostszym układem (B), ale o identycznym dzialaniu. Tw o redukcji ukł. płaskiego - każdy płaksi układ sił jest równoważny układowi złożonemu z 2 wektorow sił których punkty alokacji można obrac w plaszczeznie układu. -dowolny układ sil jesr rowny układowi złożonemu z sumy tego układu zaczepionej w dowolnie obranym punkcie oraz pary o momencie równy momentowi tego ukł.względem tego pkt Tw o redukcji ukł przestrzennego- dowolny przestrzenny układ sil jest równoważny układowi pewnych trzech sił, których punkty zaczepienia nie leżą na jednej prostej. , , k=1,2,3 s(A)=c1+c2+c3 Równania równowagi statycznej- 1.przestrzenny dowolny układ sil- ;) 2. p. równoległy układ sil ΣPi3=0, ΣMi1=0, ΣMi2=0 3.p. zb. ukł. sił ΣPi1=0, ΣPi2=0, ΣPi3=0 1. plaski dowolny układ sil- np. ΣPix1=0, ΣPix2=0, ΣMiQ=0 2. płaski równoległy układ sil- np. ΣPi2=0, ΣMiQ=0 3. płaski zieżny - np. ΣPi1=0, ΣPi2=0 Tw o równoważności 1- zał: S(A)=S(B), MQ(A)=MQ(B) teza: (A)=(B) Tw o równoważności 2: zał: MQ1(A)=MQ1(B), MQ2(A)=MQ2(B), MQ3(A)=MQ3(B) teza: (A)=(B) Tw o redukcji układu do obranego bieguna- w układzie sil wolno którykolwiek wektor sily przenieść do innego punktu alokacji pod warunkiem dolaczenia do układu pary sil o momencie przeniesionego wektora zaczepionego w starym punkcie alokacji a obliczonego względem nowego punktu zaczepu MQ(ai/Ai)= QA x ai Tw o redukcji układu sił- dowolny uklad sił jest równoważny układowi złożonemu z wektora sumy tego ukąłdu zaczepionego w dowolnie obranym biegunie oraz pary sił o momencie układu obliczonym względem tego bieguna. Tw o równowadze układu (c.s.)- WKW, równowagi układu sil działających na cialo sztywne jest aby suma tego układu oraz moment tego układu względem dowolnego bieguna był wektorem zerowym. Tw o równowadze układu sił (c.s)- wkw na to aby uklad sil działających na c.s był w równowadze jest aby momenty tego układu względem trzech nie lezacych na jednej prostej biegunow były wektorami zerowymi. Tw o trzech siłach (c.s)- układ trzech sił jest w równowadze jeżeli sily te leza w jednej płaszczyźnie bądź SA rownolegle bądź tworza układ zbieżny o sumie rownej 0. Tw o geometrycznej niezmienności układu złożonej z 3 tarcz- w.k i w.jest V=3T-p-2b-2≤0 orazpunkt przeciec kierunkow par pretow miedzy tarczami nie mogą lezec na jednej prostej. Układ tarc jest geometrycznie niezmiennym jeżeli można go zastąpić jedna tarcza. Trzy tarcze wzajemnie polaczone za pomoca przegubow tworzących trojkat są układem wewnętrznie geometrycznie niezmiennym. Tensor momentu bezwładności - lub T'=R·T·R^T daje nam pelna informacje o rozkładzie masy w rozwazanym c.s., jest to tensor symetryczny, wyznacznik macierzy I jest dodatni, różny od zera. Rzutem wektora d na prosta l lub płaszczyznę π, nazywamy wektor którego początkiem jest rzut prostokątny początku wektora d a koncem prostokątny rzut konca wektora na prosta l lub płaszczyznę π. Stopien zmienności mechanizmu- określamy przez liczbe posiadanych przez niego stopni swobody względem dowolnego układu współrzędnych związanego nieruchomo z podłożem

Płaski układ sił- proste dzialania wszystkich sil układu leza w 1 płaszcz Suma- jest to wektor swobodny nie związany z żadnym punktem. Układy równoważne maja rowne sumy jeżeli (A)=(B) to S(A)=S(B) i mowimy ze suma układu jest niezmiennikiem względem przekształceń elementarnych Układ mechaniczny ciał sztywnych- zbior skończony cial sztywnych które sa ze soba polaczone za pomoca tak zwanych więzów wewnętrznych a z układem odniesienia są polaczone wiezami zewnętrznymi. Wektory kolinearne są to wektory o tym samym kierunku, a więc wektory równoległe do jednej prostej lub też leżące na jednej prostej. Wektory te tworzą więc kąt 0° albo 180° (zależnie od ich zwrotów). Korzystając z definicji iloczynu wektorowego, stwierdzić można, iż warunkiem kolinearności dwóch wektorów a i b jest zerowanie Wektory komplan. (współpłaszczyzn.) są to 3 wektory liniowo zależne, równoległe do tej samej płaszczyzny, tzn leżą w tej samej płaszczyźnie. Więź elementarna(wahacz) podstawowy elem. systemu kontr., ma postać sztywnego pręta łączącego dwa elementy. Reakcja więzu d=const (sztywnego preta) ma jego kierunek. Więzy dwustronne skleronomiczne- wiezy w których równaniu parametr czasu nie wystepuje w sposób jawny. Więzy- są to ograniczenia stopni swobody przy czym ograniczenia te matematycznie podajemy w postaci równan uzależniających od siebie współrz. , fizycznie w postaci innych ciał ograniczających swobode ruchu. Wypadkowa- jeżeli droga przekształceń elementarnych dowolny układ (A) da się zredukowac do układu złożonego z 1 sily o scisle określonym punkcie zaczepienia to ten układ zredukowany nazywamy wypadkowa. Dokonać podziału wektorów(sił) i ich układów. Dzielimy wektory na: równoległe, równe, równoważne, przeciwne i zerowe układ zbieżny , równoległy i płaski. Do jakiego ukł. można zredukować dowolny przestrzenny układ sił: układ sił jest równoważny wtw. - skrętnikowi -R≠0 - wypadkowej - R=0, S≠0 - parze sił - R=0, S=0, M≠0 - układowi zerowemu - R=0, S=0 , M≠0 Omówić sposób wyznaczenia reakcji w układzie mechanicznym. Co to są reakcje wewnętrzne? Reakcje wyznaczamy zauważając że układ mech. możemy traktować jako niezależny zbiór CS na które działają siły czynne. Reakcje wewnętrzne, reakcje zewnętrzne ΣPx=0, ΣPy=0, ΣPz=0 Omówić wyznaczenie sił w kratownicach Wyznaczamy reakcje zewn.(zakładając że kratownica tworzy ukł. sztywny) za pomocą rzutów na osie x, yoraz mom. x, y Następnie w określonej kolejności rozważamy równowagę węzłów (kolejność ustalamy aby w kolejnym węźle były 2 niewiadome. Gdy chcemy obliczyć jedynie kilka sił możemy skorzystać z metody Rittera. Podać warunki geometrycznej niezmienności (sztywności) i statycznej wyznaczalności kratownicy. P- liczba prętów W- liczba węzłów muszą spełniać zależność P= 2*W-3 W wykładzie jest: W- liczba prętów P.M P- liczba prętów 2W=P => GN.SW Na czym polega metoda Rittera rozwiązywania kratownic.Polega na dokonaniu przekroju przez 3 nie równoległe, nie przecinające się w jednym punkcie. Więzy: każde ciało pozostaje w równowadze więc korzystając z rzutów na osie obliczamy wartość sił reakcji wew. w węzłach Jak wyznaczyć położenie środka dowolnej liczby sił równoległych. Środek ten nosi nazwę „środka masy” Obliczamy go z sposobu: Lub z rzutów na osie: Co nazywamy przekrojem, co punktem Rittera dla siły Ni. Przekrojem Rittera nazywamy przekroj α-α przechodzący przez 3 nie rownolegle i nie przecinające się w jednym punkcie prety (wiezy) w których chcemy wyznaczyc sily osiwe. Ni- sa to sily osiowe sily reakcji jakimi prety oddzialywuja na węzły (rekcje więzów d=const na punkt materialny) Przekroj rittera może przechodzic przez wieksza liczbe pretow ale pozostale prety musza być przecięte parzysta liczbe razy. Kierunki pozostalych pretow musza przecinac się w jednym punkcie. Sily w pozostałych pretach (oprocz 3) musza być znane. Punktem Rittera dla sily osiowej w precie - Ni nazywamy punkt w którym przecinaja się kierunki pozostałych 2 pretow rozciętych przekrojem rittera który obieramy za biegun w warunkach momentow z równania ΣMrg=0. Obliczamy jedna niewiadoma równania jaka jest szukana sila Ni Siła-pojęcie pierwotne. Mówiąc o sile działającej na cialo należy pamietac ze musi ona pochodzić od innego ciała mechanicznego. Z pojęciem sily wiąże się koniecznie istnienie dwóch ciał, z których jedno wywiera siłę na drugie

Ile wynosi liczba liniowo niezależnych wektorów w mnogościachM1,M2,M3? Max. liczba wektorów niezależnych w przestrzeni n-wymiarowej wynosi n, zatem w mnogości 1-wymiarowej istnieje jeden wektor niezależny (bazowy), w mnogości 2-wymiarowej istnieja, 2 wektory niezależne (niekolinearne-nie rownolegle do jednej prostej), a w mnogości 3-wymiarowej istnieja 3 niezalezne wektory ( sa nimi każde 3 niekompenarne - nierownolegle do jedenj płaszczyzny wektory ). Co nazywamy wektorami bazowymi w 3-wymiarowej mnogości wektorów. Wektorami bazowymi mnogości 3-wymiarowej nazywamy 3 niezalezne wektory, przez które da się wyrazić jeden i tylko jeden sposób każdy wektor c^ mnogości 3-wymiarowej.Wektory te tworzą bazę. Są nimi każde 3 niekomplanarne wektory Sprawdź czy wektory a={ax,ay,az}i b={bx,by,bz} c={cx,cy,cz} mogą być wektorami bazowymi w M3. Zbior n- wymiarowych wektorów a1,a2,…an tworzą bazę n- wymiarowej przestrzeni gdy: - liczba wektorow ai w danym układzie wektorow jest identyczna z wymiarem przestrzeni, z której pochodzą te wektory (k=n), - układ wektorow ai jest liniowo niezależne czyli rząd macierzy jest równy m, a gdy m=n to wyznacznik ma być różny od zera.Pierwszy warunek jest spełniony bo mamy 3 wektory i … mnogość3-wymiarowa. Sprawdzamy czy wyznacznik jest różny od zera Jaką wartość ma praca L=Pq jeżeli P={Px,Py,Pz}[N] i wektora q o współrzędnych {qx,qy,qz} [m]?. Iloczyn skalarny wektorow a^ i b^ jest równy sumie iloczynów jednoimiennych ich współrzędnych: przedstawiając wektory a^=axi+ayj+azj i b^=bxi+byj+bzk obliczamy a*b=(axi+ayj+azk)(bxi+byj+bzk)= axbx+ayby+azbz jest to iloczyn skalarny wyrazony przez współrzędne wektorow. Na podstawie tego wzoru obliczamy prace L=P*q =Pxqx+Pyqy+Pzqz. Jaki kąt tworzą ze sobą wektory z poprzedniego zadania ?Iloczynem skalarnym dwóch wektorow a^ i b^ nazywamy skalar „c” taki ze : c=| a^| * |b^| * cos α ,α kat zawarty miedzy wektorami a i b.Długość wektora określamy wzorem |a^|=√ax²+ay²+az². Iloczyn skalarny wyrazamy przez Współrz. na postaca*b=axbx+ayby+azbz. Na podstawie powyższych wzorow można obliczyc kat pomiedzy wektorami P i q : L=P^*q^=|P|*|q|*cos α; L=P^*q^=Pxqx+Pyqy+Pzqz ; |P^|=√Px²+Py²+Pz ² |q^|=√qx²+qy²+qz² ; |P^|*|q^|*cosα=Pxqx+Pyqy+Pzqz, stad cosα=Pxqx+Pyqy+Pzqz/√Px²+Py²+Pz² * √qx²+qy²+qz². Jaka postać maja wektorowe i skalarne podstawowe równania rownowagi układu (A) w zagadnieniach przestrz. Na podstawie twierdzenia :WKW na to aby układ sil dzilajacych na cialo sztywne był w równowadze jest aby układ ten miał sume(wektor glowny) i moment względem dowolnego bieguna (moment glowny) rowne wektorom zerowym. Mamy dwa wektorowe równania równowagi ( )=ΣPi^=0^ i Mq^(A)=0^ które wymagaja spełnienia 6rownan skalarnych ΣPix=0,ΣPiy=0,ΣPiz=0. ΣMix=0 ,ΣMiy=0,ΣMiz=0Sumy momentów sil względem osi Ox,Oy,Oz musza być =0 oraz sumy momentow sil na poszczególne osie Ox,Oy,Oz musza być =0 Kiedy układ tarcz sztywnych jest ukł. geometrycznie niezmiennym WKW dla układów 2, 3-tarczowych WKW geometrycznej niezmienności układu dwutarczowego jest:V<=0 stopień geometryczne niezmienność V=3t-p-2b-z-3 musi być <=0 oraz pręty nie przecinają się w jednym punkcie czyli nie sa również do siebie równoległe(gdyby były równoległe posiadały by wspólny punkt nieskończoność -niewłaściwy). WKW geometrycznej niezmienności ukł. 3 tarczjest:V<=0 oraz punkty przeciec kierunków par prętów miedzy tarczami (przeguby 0,12,0,23,0,31)nie moga lezec na jednej prostej Co nazywamy nieswobodnym ukł. CS Nieswobodny układ CS jest jest układem mechanicznym cial sztywnych nazywamy geometrycznie niezmienny względem siebie lub względem ostoi ukł.skończonej liczby tarcz (ciał sztywnych)połączonych miedzy sobą za pomoca więzów wew.a z ostoja wiezami podporowymi. Układ nazywamy nieswobodnym gdy ruch i przemieszczenie układu jest ograniczony tzw. Wiezami. Postulat o więzach Ruch i polozenie ciala nieswobodnego nie zmieniaja się jeżeli jego wiezy usuniemy ich oddziaływanie zastapimy odpowiednio dobranymi reakcjami AKSJOMAT STATYKI- POSTULAT O WIEZACH: kazde cialo sztywne nieswobodne można myślowo oswobodzic od więzów, pod warunkiem ze usunięte wiezy zostana zastapione odpowiednimi silami przenoszonymi przez wiezy, zwanymi reakcjami więzów. ZAŁOZNENIA O REAKCJACH: 1.Reakcje zaczepione są punktach w których rozwazane cialo styka się z wiezami 2.Jesli wiezem jest gladka powierzchnia to kierunek reakcji jest prostopadly do tej powierzchni 3.Jesli wiezem jest gladka krzywa, to kierunek reakcji lezy w płaszczyźnie prostopadlej do tej krzywej.

---