ĆWICZENIE NR 4
WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO PRZY POMOCY WAHADŁA MATEMATYCZNEGO I REWERSYJNEGO
- NATĘŻENIE POLA GRAWITACYJNEGO, PRZYSPIESZENIE ZIEMSKIE
Przyciąganie pomiędzy ciałami odbywa się za pośrednictwem pola grawitacyjnego (pola ciężkości), które na równi z innymi polami fizycznymi i substancjami jest jedną z postaci materii. Charakterystyczną właściwością pola grawitacyjnego jest to, że na umieszczony w nim punkt materialny działa siła ciężkości wprost proporcjonalna do masy tego punktu. Wektorowo opisuje się pole grawitacyjne za pomocą natężenia g, które jest równe stosunkowi siły ciężkości G działającej na punkt materialny do wartości jego masy m:
Swobodny spadek jest to ruch ciała, zachodzący pod wpływem tylko jego siły ciężkości. Przyspieszenie ziemskie grawitacyjne, (niekiedy zwane przyspieszeniem spadku swobodnego)
Jest ono jednakowe dla wszystkich ciał i zależy od szerokości geograficznej oraz wysokości nad poziomem morza. Wartość przyspieszenia ziemskiego g (w cm/s2) na niedużych wysokościach h (w metrach) n.p.m. można obliczyć ze wzoru przybliżonego:
Normalna wartość g przyjęta w obliczeniach barometrycznych i przy ustalaniu jednostek wynosi 0,80665 m/s2
W większości obliczeń technicznych pomija się zależność g od ϕ i przyjmuje się g=9,81 m/s2, zaś do wyznaczania zmiany g zachodzącej podczas oddalania się od powierzchni ziemi stosuje się wzór przybliżony:
gdzie M - masa ziemi, R0=6370 km - średni promień Ziemi, zaś g0=9,81 m/s2
- RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE OSCYLATORA HARMONICZNEGO
Drganiami harmonicznymi prostymi nazywamy drgania odbywające się pod wpływem siły F proporcjonalnej do wychylenia x i przeciwnie skierowanej
Współczynnik proporcjonalności k o wymiarze N/m nazywamy siłą kierującą.
(wielkość ω0 nazywa się częstością kołową). Po podstawieniu i przekształceniu, otrzymujemy:
Równanie to nazywa się równaniem ruchu harmonicznego prostego. Jest ono równaniem różniczkowym drugiego rzędu względem zmiennej x.
Funkcja cosinus jest funkcją periodyczną i jej wartości powtarzają się co 2Π. Korzystając z powyższej własności i równania wyznaczyć możemy okres T, tzn. czas, po którym funkcja cosinus wraca do początkowej wartości:
skąd
Podstawiając za ω0 otrzymamy:
- WAHADŁO MATEMATYCZNE, FIZYCZNE, REWERSYJNE
Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m (kulka) zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej nici o długości l. W rzeczywistości każde wahadło musi być zbudowane w ten sposób, że nić jest nieco rozciągliwa i posiada pewną masę, a kulka metalowa zawieszona na tej nici jest większa od punktu matematycznego. Kulka odchylona od położenia równowagi i swobodnie puszczona porusza się ruchem drgającym. Na kulkę działa siła ciężkości.
W położeniu równowagi kierunek g pokrywa się z kierunkiem nici.
W położeniu np. B wektor g rozkładamy na dwie składowe: styczną i normalną
Składowa decyduje o ruchu, składową tę można wyrazić jako:
Na rysunku widać, że gdzie x - odchylenie, l - długość nici, czyli:
g i l to stałe, a więc przyspieszenie jest wprost proporcjonalne do nachylenia. Czyli ruch kulki można uważać za ruch harmoniczny, a przyspieszenie w nim wyraża się wzorem:
czyli -
Jest to prawo drgań wahadła matematycznego. Okres wahadła zależy od długości wahadła i przyspieszenia w danym punkcie Ziemi. Na podstawie tego wzoru można wyznaczyć przyspieszenie ziemskie:
Wahadło rewersyjne to specjalnie skonstruowane wahadło fizyczne, które pozwala na dokładny pomiar l0. Okres drgań wahadła fizycznego wyraża się wzorem:
Jeżeli mamy jakąś masę i szukamy np. okresu drgań wahadła względem punktu O i A to zgodnie z prawem Steinera moment bezwładności względem O:
,
gdzie C- środek masy układu, BC - moment bezwładności względem C
Okres wahań względem O można zapisać:
,
a względem A:
Korzystając z równości okresów można wyznaczyć BC:
czyli:
CZĘŚĆ PRAKTYCZNA
1. WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO PRZY POMOCY WAHADŁA MATEMATYCZNEGO
|
Położenie |
|
|
L.P. |
Dolne [mm] |
Górne [mm] |
l[mm] |
1 |
21.45 |
521.50 |
500.05 |
2 |
21.80 |
520.75 |
498.95 |
3 |
21.45 |
521.20 |
499.75 |
4 |
21.60 |
521.00 |
499.40 |
5 |
21.45 |
521.60 |
500.15 |
6 |
21.65 |
521.65 |
500.00 |
7 |
21.95 |
521.25 |
499.30 |
8 |
21.15 |
521.30 |
500.15 |
9 |
21.70 |
521.20 |
499.50 |
10 |
21.50 |
521.35 |
499.85 |
|
21.57 |
521.28 |
499.71 |
Długość wahadła l [mm]
Dokładność katetometru = 0,05 mm
[mm][m]
Okres T [s]
L.P. |
t[s] |
Δt |
1 |
14.10 |
0.01 |
2 |
14.22 |
0.11 |
3 |
13.81 |
0.30 |
4 |
14.12 |
0.01 |
5 |
14.15 |
0.04 |
6 |
14.16 |
0.05 |
7 |
14.13 |
0.02 |
8 |
14.31 |
0.20 |
9 |
13.91 |
0.20 |
10 |
14.22 |
0.11 |
|
14.11 |
0.10 |
[s]
Π ≈ 3.141592653589
Błąd wyznaczymy stosując metodę pochodnej logarytmicznej:
2. WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO PRZY POMOCY WAHADŁA REWERSYJNEGO
|
Pryzmat |
|
L.P. |
Dolny |
Górny |
1 |
35.00 |
610.10 |
2 |
34.50 |
610.70 |
3 |
34.65 |
610.40 |
4 |
34.50 |
610.15 |
5 |
34.25 |
610.35 |
6 |
35.20 |
610.50 |
7 |
34.90 |
610.45 |
8 |
33.25 |
610.30 |
9 |
35.20 |
610.65 |
10 |
34.95 |
609.60 |
|
34.64 |
610.32 |
Długość wahadła l [mm] (odległość między pryzmatami)
Dokładność katetometru = 0,05 mm
[mm][m]
Grubość soczewki s[mm]
Dokładność suwmiarki = 0,1 mm
s= 9.5 ± 0,1 [mm] =0.0095 ± 0,0001[m]
Obliczenia poszczególnych czasów i odległości soczewek:
L.P. |
h1[mm] |
T11[s] |
|
T12[s] |
|
h2[mm] |
T21[s] |
|
T22[s] |
|
1 |
543.20 |
15.00 |
0.06 |
15.29 |
0.07 |
456.65 |
14.60 |
0.11 |
14.84 |
0.10 |
2 |
543.50 |
14.87 |
0.07 |
15.41 |
0.05 |
456.60 |
14.35 |
0.14 |
14.87 |
0.15 |
3 |
543.20 |
15.00 |
0.06 |
15.38 |
0.02 |
456.60 |
14.50 |
0.01 |
14.76 |
0.15 |
4 |
543.55 |
15.03 |
0.09 |
15.35 |
0.01 |
456.85 |
14.60 |
0.11 |
14.77 |
0.10 |
5 |
543.45 |
15.12 |
0.18 |
15.34 |
0.02 |
456.70 |
14.47 |
0.02 |
15.09 |
0.05 |
6 |
542.95 |
15.00 |
0.06 |
15.32 |
0.04 |
456.70 |
14.50 |
0.01 |
15.09 |
0.05 |
7 |
543.15 |
14.81 |
0.13 |
15.47 |
0.11 |
457.00 |
14.47 |
0.02 |
15.00 |
0.25 |
8 |
543.15 |
14.85 |
0.09 |
15.34 |
0.02 |
456.70 |
14.40 |
0.09 |
14.97 |
0.05 |
9 |
543.15 |
14.90 |
0.04 |
15.43 |
0.07 |
456.80 |
14.38 |
0.11 |
15.10 |
0.05 |
10 |
543.60 |
14.85 |
0.09 |
15.28 |
0.08 |
456.90 |
14.60 |
0.11 |
14.88 |
0.15 |
|
543.29 |
14.94 |
0.09 |
15.36 |
0.05 |
456.75 |
14.49 |
0.07 |
14.94 |
0.11 |
± 0,15 [mm] = 0,1145 ± 0,00015 [m]
± 0,15 [mm] = 0,20105 ± 0,00015 [m]
Ponieważ soczewka oddalona o x od jednego pryzmatu jest jednocześnie oddalona o l-x od drugiego możemy obliczyć jeszcze h3 i h4.
[m]
[m]
[s]
Obliczenie przyspieszenia ziemskiego:
Błąd wyznaczymy stosując metodę pochodnej logarytmicznej:
Jak widać po przeprowadzonych badaniach przyspieszenie ziemskie jest wartością zbliżoną do 10 m/s2. Wartości tablicowe wskazują iż ma ono wartość 9,81 m/s2. Odchylenie wyniku od rzeczywistej wartości jest dość duże , aczkolwiek przy mało dokładnych obliczeniach można by te wyniki wykorzystać. Różnica wynikła prawdopodobnie z pominięcia oporów powietrza, ale najmniej dokładnym pomiarem był pomiar czasu, ze względu na trudność uchwycenia momentu maksymalnego wychylenia i to prawdopodobnie zaważyło na wyniku.
Piotr Zięba Laboratorium fizyczne
-7-
Piotr Zięba Laboratorium fizyczne
-1-