ĆWICZENIE NR 4

WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO PRZY POMOCY WAHADŁA MATEMATYCZNEGO I REWERSYJNEGO

- NATĘŻENIE POLA GRAWITACYJNEGO, PRZYSPIESZENIE ZIEMSKIE

Przyciąganie pomiędzy ciałami odbywa się za pośrednictwem pola grawitacyjnego (pola ciężkości), które na równi z innymi polami fizycznymi i substancjami jest jedną z postaci materii. Charakterystyczną właściwością pola grawitacyjnego jest to, że na umieszczony w nim punkt materialny działa siła ciężkości wprost proporcjonalna do masy tego punktu. Wektorowo opisuje się pole grawitacyjne za pomocą natężenia g, które jest równe stosunkowi siły ciężkości G działającej na punkt materialny do wartości jego masy m:

Swobodny spadek jest to ruch ciała, zachodzący pod wpływem tylko jego siły ciężkości. Przyspieszenie ziemskie grawitacyjne, (niekiedy zwane przyspieszeniem spadku swobodnego)

Jest ono jednakowe dla wszystkich ciał i zależy od szerokości geograficznej oraz wysokości nad poziomem morza. Wartość przyspieszenia ziemskiego g (w cm/s²) na niedużych wysokościach h (w metrach) n.p.m. można obliczyć ze wzoru przybliżonego:

Normalna wartość g przyjęta w obliczeniach barometrycznych i przy ustalaniu jednostek wynosi 0,80665 m/s²

W większości obliczeń technicznych pomija się zależność g od ϕ i przyjmuje się g=9,81 m/s², zaś do wyznaczania zmiany g zachodzącej podczas oddalania się od powierzchni ziemi stosuje się wzór przybliżony:

gdzie M - masa ziemi, R₀=6370 km - średni promień Ziemi, zaś g₀=9,81 m/s²

- RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE OSCYLATORA HARMONICZNEGO

Drganiami harmonicznymi prostymi nazywamy drgania odbywające się pod wpływem siły F proporcjonalnej do wychylenia x i przeciwnie skierowanej

Współczynnik proporcjonalności k o wymiarze N/m nazywamy siłą kierującą.

(wielkość ω₀ nazywa się częstością kołową). Po podstawieniu i przekształceniu, otrzymujemy:

Równanie to nazywa się równaniem ruchu harmonicznego prostego. Jest ono równaniem różniczkowym drugiego rzędu względem zmiennej x.

Funkcja cosinus jest funkcją periodyczną i jej wartości powtarzają się co 2Π. Korzystając z powyższej własności i równania wyznaczyć możemy okres T, tzn. czas, po którym funkcja cosinus wraca do początkowej wartości:

skąd

Podstawiając za ω₀ otrzymamy:

- WAHADŁO MATEMATYCZNE, FIZYCZNE, REWERSYJNE

Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m (kulka) zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej nici o długości l. W rzeczywistości każde wahadło musi być zbudowane w ten sposób, że nić jest nieco rozciągliwa i posiada pewną masę, a kulka metalowa zawieszona na tej nici jest większa od punktu matematycznego. Kulka odchylona od położenia równowagi i swobodnie puszczona porusza się ruchem drgającym. Na kulkę działa siła ciężkości.

W położeniu równowagi kierunek g pokrywa się z kierunkiem nici.

W położeniu np. B wektor g rozkładamy na dwie składowe: styczną i normalną

Składowa decyduje o ruchu, składową tę można wyrazić jako:

Na rysunku widać, że gdzie x - odchylenie, l ­- długość nici, czyli:

g i l to stałe, a więc przyspieszenie jest wprost proporcjonalne do nachylenia. Czyli ruch kulki można uważać za ruch harmoniczny, a przyspieszenie w nim wyraża się wzorem:

czyli -

Jest to prawo drgań wahadła matematycznego. Okres wahadła zależy od długości wahadła i przyspieszenia w danym punkcie Ziemi. Na podstawie tego wzoru można wyznaczyć przyspieszenie ziemskie:

Wahadło rewersyjne to specjalnie skonstruowane wahadło fizyczne, które pozwala na dokładny pomiar l₀. Okres drgań wahadła fizycznego wyraża się wzorem:

Jeżeli mamy jakąś masę i szukamy np. okresu drgań wahadła względem punktu O i A to zgodnie z prawem Steinera moment bezwładności względem O:

,

gdzie C- środek masy układu, B_C - moment bezwładności względem C

Okres wahań względem O można zapisać:

,

a względem A:

Korzystając z równości okresów można wyznaczyć B_C:

czyli:

CZĘŚĆ PRAKTYCZNA

1. WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO PRZY POMOCY WAHADŁA MATEMATYCZNEGO

	Położenie
L.P.	Dolne [mm]	Górne [mm]	l[mm]
1	21.45	521.50	500.05
2	21.80	520.75	498.95
3	21.45	521.20	499.75
4	21.60	521.00	499.40
5	21.45	521.60	500.15
6	21.65	521.65	500.00
7	21.95	521.25	499.30
8	21.15	521.30	500.15
9	21.70	521.20	499.50
10	21.50	521.35	499.85
	21.57	521.28	499.71

Długość wahadła l [mm]

Dokładność katetometru = 0,05 mm

[mm][m]

Okres T [s]

L.P.	t[s]	Δt
1	14.10	0.01
2	14.22	0.11
3	13.81	0.30
4	14.12	0.01
5	14.15	0.04
6	14.16	0.05
7	14.13	0.02
8	14.31	0.20
9	13.91	0.20
10	14.22	0.11
	14.11	0.10

[s]

Π ≈ 3.141592653589

Błąd wyznaczymy stosując metodę pochodnej logarytmicznej:

2. WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO PRZY POMOCY WAHADŁA REWERSYJNEGO

	Pryzmat
L.P.	Dolny	Górny
1	35.00	610.10
2	34.50	610.70
3	34.65	610.40
4	34.50	610.15
5	34.25	610.35
6	35.20	610.50
7	34.90	610.45
8	33.25	610.30
9	35.20	610.65
10	34.95	609.60
	34.64	610.32

Długość wahadła l [mm] (odległość między pryzmatami)

Dokładność katetometru = 0,05 mm

[mm][m]

Grubość soczewki s[mm]

Dokładność suwmiarki = 0,1 mm

s= 9.5 ± 0,1 [mm] =0.0095 ± 0,0001[m]

Obliczenia poszczególnych czasów i odległości soczewek:

L.P.	h1[mm]	T11[s]		T12[s]		h2[mm]	T21[s]		T22[s]
1	543.20	15.00	0.06	15.29	0.07	456.65	14.60	0.11	14.84	0.10
2	543.50	14.87	0.07	15.41	0.05	456.60	14.35	0.14	14.87	0.15
3	543.20	15.00	0.06	15.38	0.02	456.60	14.50	0.01	14.76	0.15
4	543.55	15.03	0.09	15.35	0.01	456.85	14.60	0.11	14.77	0.10
5	543.45	15.12	0.18	15.34	0.02	456.70	14.47	0.02	15.09	0.05
6	542.95	15.00	0.06	15.32	0.04	456.70	14.50	0.01	15.09	0.05
7	543.15	14.81	0.13	15.47	0.11	457.00	14.47	0.02	15.00	0.25
8	543.15	14.85	0.09	15.34	0.02	456.70	14.40	0.09	14.97	0.05
9	543.15	14.90	0.04	15.43	0.07	456.80	14.38	0.11	15.10	0.05
10	543.60	14.85	0.09	15.28	0.08	456.90	14.60	0.11	14.88	0.15
	543.29	14.94	0.09	15.36	0.05	456.75	14.49	0.07	14.94	0.11

± 0,15 [mm] = 0,1145 ± 0,00015 [m]

± 0,15 [mm] = 0,20105 ± 0,00015 [m]

Ponieważ soczewka oddalona o x od jednego pryzmatu jest jednocześnie oddalona o l-x od drugiego możemy obliczyć jeszcze h₃ i h₄.

[m]

[m]

[s]

Obliczenie przyspieszenia ziemskiego:

Błąd wyznaczymy stosując metodę pochodnej logarytmicznej:

Jak widać po przeprowadzonych badaniach przyspieszenie ziemskie jest wartością zbliżoną do 10 m/s². Wartości tablicowe wskazują iż ma ono wartość 9,81 m/s². Odchylenie wyniku od rzeczywistej wartości jest dość duże , aczkolwiek przy mało dokładnych obliczeniach można by te wyniki wykorzystać. Różnica wynikła prawdopodobnie z pominięcia oporów powietrza, ale najmniej dokładnym pomiarem był pomiar czasu, ze względu na trudność uchwycenia momentu maksymalnego wychylenia i to prawdopodobnie zaważyło na wyniku.

Piotr Zięba Laboratorium fizyczne

-7-

Piotr Zięba Laboratorium fizyczne

-1-

---