19. CAŁKOWANIE (RÓŻNICZKOWANIE) SZEREGU FUNKCYJNEGO.

Twierdzenie o różniczkowaniu: jeśli szereg funkcyjny:
jest zbieżny w przedziale P i ponadto każda z funkcji fn jest w nim różniczkowalna, oraz szereg pochodnych:

jest jednostajnie zbieżny w P, to funkcja:

jest różniczkowalna i zachodzi równość:

Twierdzenie o całkowaniu: jeśli szereg funkcyjny :

Jest jednostajnie zbieżny w przedziale P i ponadto każda z funkcji f_n jest w nim całkowalna, to funkcja :

Jest całkowalna i zachodzi równość :

Szereg o wyrazach dodatnich (a_n>o), malejących an = f(n) jest zbieżny lub nie , w zależności od tego czy całka niewłaściwa

jest zbieżna lub nie. Gdzie f(x)- jest to malejąca funkcja ciągła

Kryterium to stosuje się wtedy , kiedy istnieje taka funkcja f(x), że jej wartość dla n naturalnych pokrywają się z wyrażeniami badanego szeregu, czyli a_n = f(n), a która jest określona dla wszystkich x większych od pewnej dodatniej liczby a.

---