Ćwiczenie nr 46

Prawa Ohma i Kirchhoffa

I Wstęp teoretyczny.

Do pomiaru prądu, napięcia, rezystancji i mocy służą odpowiednie mierniki, dzielące się ze względu na przeznaczenie na: amperomierze, woltomierze, omomierze i watomierze. W większości opierają się one na zjawisku elektromagnetyzmu. Główną część takiego miernika stanowi jego ustrój pomiarowy, skłądający się z części nieruchomej i ruchomego organu miernika. Organ ruchomy, połączony ze wskazówką, wykonuje z reguły ruch obrotowy pod wpływem działających na niego sił, np. w wyniku oddziaływania pola magnetycznego na prąd w cewce organu ruchomego. Do organu ruchomego przyczepiona jest sprężyna, która przeciwdziała jego ruchowi. Wskazówka miernika ustawia się w położeniu, w którym moment napędowy miernika równoważy się z momentem zwrotnym sprężyny, a ponieważ jej moment zwrotny jest proporcjonalny do kąta jej skręcenia, kąt odchylenia organu ruchomego jest proporcjonalny do momentu napędowego. Aby wytłumić niepożądane wielokrotne wahnięcia wskazówki, stosuje się tłumiki, magnetyczne i powietrzne.

Pod względem budowy, mierniki korzystające z sił magnetycznych dzielą się na magnetoelektryczne, elektromagnetyczne, elektrodynamiczne, i ferrodynamiczne. Zasada działania miernika magnetoelektrycznego polega na oddziaływaniu pola magnesu trwałego na umieszczoną w tym polu cewkę, przez którą płynie prąd. Miernik elektromagnetyczny składa się z cewki, przez którą płynie prąd, i jednego lub kilku rdzeni ze stali magnetycznie miękkiej. Mierniki elektrodynamiczne działają dzięki oddziaływaniu elektrodynamicznemu dwóch cewek, przez które płyną prądy. Ze względu na wysoką cenę, są używane wyłącznie jako mierniki laboratoryjne do dokładnych pomiarów. Podobnym miernikiem jest miernik ferrodynamiczny. Istnieją także inne mierniki, np. cieplne i termoelektryczne, jak i elektrostatyczne. Najnowsze mierniki cyfrowe, oparte na tranzystorach, są jednak dokładniejsze niż wszelkie pozostałe mierniki, ze względu na brak części ruchomych i precyzyjność układów scalonych.

Wartość wskazana przez dowolny miernik może się różnić od wartości rzeczywistej mierzonej wartości. Różnica ta nazywa się błędem bezwzględnym miernika; zaś jej stosunek do maksymalnej wartości zakresu pomiarowego nazywa się błędem względnym, podawanym zwykle w procentach. Dokładność (błąd względny) wszystkich mierników pozwala na zaliczenie ich do odpowiedniej klasy dokładności. W Polsce stosuje się następujące klasy dokładności: 0.1, 0.2, 0.5, 1, 1.5, 2.5. Liczba oznaczająca klasę dokładności miernika określa największy dopuszczalny błąd względny miernika. Stąd widać, że im mniejsze odchylenie wskazówki, tym większy może być błąd procentowy pomiaru. Mierniki laboratoryjne zwykle są klasy 0.1, 0.2 i 0.5 i służą do dokładnych pomiarów w laboratoriach, jak i sprawdzania mierników technicznych, o pozostałych klasach dokładności.

Przy pomiarach obwodów elektrycznych rozgałęzionych poza miernikami przydaje się m.in. znajomość prawa Kirchhoffa. Pierwsze prawo Kirchhoffa mówi że suma agebraiczna prądów schodzących się w dowolnym węźle obwodu elektrycznego (jeżeli prądom dopływającym do węzła przypisze się znak “+”, a prądom odpływającym znak “-“) jest równa zeru. Jest to tzw. bilans prądów w węźle obwodu elektrycznego. Wg. drugiego prawa Kirchoffa, w dowolnym oczku obwodu elektrycznego prądu stałego suma spadków napięć na elementach rezystancyjnych oczka jest równa sumie działających w tym oczku sił elektromotorycznych, gdzie oczkiem nazywamy zbiór gałęzi tworzących jedną zamkniętą drogę dla przepływu prądu:

Przyjąwszy dowolny obieg oczka, np. zgodny z obiegiem wskazówek zegara, to suma napięć źródłowych i odbiorczych w oczku jest równa zeru.

Korzystając bezpośrednio z prawa Kirchhoffa można także udowodnić zasadę, że natężenia prądu w gałęziach oporowych połączonych równolegle są proporcjonalne do ich przewodności albo odwrotnie proporcjonalne do ich oporów.

Drugim użytecznym prawem przy badaniu obwodów elektrycznych jest Prawo Ohma. Wg. Ohma, wartość prądu w przewodniku jest wprost proporcjonalna do przyłożonego do jego końców napięcia, a odwrotnie proporcjonalna do rezystancji przewodnika: I=U/R Dalsze badania Ohma wykazały, że opór elektryczny jest proporcjonalny do długości l przewodu, odwrotnie proporcjonalny do przekroju S przewodu, a ponadto zależy od rodzaju materiału z jakiego przewód został wykonany:

Jeden om jest rezystancją gdy róznica napięć jednego wolta wywołuje w przewodzie prąd o wartości jednego ampera.

II. Opis doświadczenia

Celem doświadczenia było zastosowanie praw Ohma i Kirchhoffa, w celu porównania wyników zmierzonych bezpośrednio wartości prądów z wartościami obliczonymi korzystając z ww. praw, dla dwóch układów, zbudowanych wg. schematu (bez i z opornikiem R₅).

Po złożeniu układów wg. odpowiednich schematów, zmierzono opór każdego opornika. Następnie starano się utrzymać stałe napięcie zasilające wynoszące 10 V, podczas gdy mierzono różnice napięć na opornikach, jak i natężenie prądu w gałęziach I₁ do I₅.

III. Opracowanie wyników pomiarów:

Opierając się na zmierzonych wartościach oporu oporników i wartości napięcia wejściowego, można łatwo obliczyć także wartości napięć i natężeń prądów przepływających przez poszczególne oporniki. Schemat pierwszy można rozbić na dwie części, tą z opornikiem R_1, i tą z pozostałymi trzema, z których dwa są połączone szeregowo, a równolegle z trzecim. Wiemy, że opór gałęzi przez którą płynie prąd I₃ wynosi R₃ + R₄, czyli w naszym przypadku 2.94 kΩ. Ponieważ opór opornika R₂ wynosi 0.192 kΩ, ze wzoru 1/R=1/R₁+1/R₂ otrzymujemy opór całego oczka jako 0.180 kΩ. Stąd opór całego obwodu wynosi 0.180+0.868=1.048 kΩ. Korzystając z prawa Ohma, I=U/R, możemy łatwo znaleźć natężenie przepływu prądu przez cały układ: I=10V/1.048kΩ = 9.54 mA. Jest to natężenie prądu w punkcie I₁. Z tego samego wzoru możemy wyliczyć napięcie na oporniku R₁: U = RI = 0.868 kΩ * 9.54 mA = 8.28 V. Stąd też wiemy, jakie napięcie powstaje na dużym oczku: 10V-8.28V=1.72V. Obliczamy wartość prądu płynącego przez opornik R₂: I₂=1.72/0.192=8.96mA, jak i przez oporniki R₃ i R₄: I₃=I₄=1.72/(0.550+2.390)=0.585mA. Z tego samego wzoru też już wiemy jakie napięcia na nich występują: U₃=RI=0.550*0.585=0.322 V, U₄=2.390*0.585=1.40 V

Wstawiamy powyższe wyniki w tabelkę i porównujemy z wynikami otrzymanymi z bezpośrednich pomiarów:

Prąd	Natężenie zmierzone [mA]	Natężenie wyliczone [mA]
I1	9.58	9.54
I2	8.86	8.96
I3	0.564	0.585

Dla drugiego schematu wyliczymy prądy podstawiając zmierzone opory i napięcia do wzoru I=U/R , gdzie otrzymujemy:

Prąd	Natężenie zmierzone [mA]	Natężenie wyliczone [mA]
I1	16.57	8.41
I2	13.88	14.06
I3	5.63	5.69
I4	2.42	2.44

IV. Ocena błędu

Dla ostatniego przykładu (gdzie korzystaliśmy ze wzoru I=U/R), policzymy błąd metodą różniczki zupełnej:

co dając błąd względny rzędu 0.2% jest bardzo niską wartością.

V. Wnioski

Porównując wartości prądu zmierzone bezpośrednio z wyliczonymi, okazuje się, że wyniki są zbieżne, pomijając drobne różnice rzędu 1-2%, które prawdopodobnie wynikały z nieprecyzyjności elementów obwodu i ich połączeń. Poza tym trzeba wziąć pod uwagę możliwość nagrzewania się oporników i co za tym idzie zmiany w ich przewodności. Dodatkowo błędnie zmierzono jedną z wartości natężenia prądu (dla I₁, schemat 2); być może z powodu obluzowania się jednego z połączeń w obwodzie lub źle ustawionego trybu pracy miernika. Niemniej, widać, że prawa Ohma i Kirchhoffa sprawdzają się także w przypadku bardziej skomplikowanych obwodów, a dodanie dodatkowego opornika jedynie zwiększa liczbę wymaganych pomiarów.

---