STATYKA

Aksjomaty statyki:

Aksjomat 1: Jeżeli do ciała przyłożone są dwie siły, to równoważą się one tylko wtedy, gdy mają tę samą linię działania, te same wartości liczbowe i przeciwne zwroty.

Ten aksjomat wykorzystuje się do sprawdzenia, czy ciało jest w równowadze (spoczynku) pod działaniem układu dwóch sił lub układu sił dających się zredukować (zgodnie z aksjomatem 3 - za pomocą kolejnych wypadkowych) do dwóch sił.

Aksjomat 2: Skutek działania dowolnego układu sił przyłożonego do ciała nie zmieni się, jeśli do tego układu dodamy lub odejmiemy dowolny układ równoważących się sił, czyli tzw. układ zerowy. Wynika stąd następujący wniosek: każdą siłę działającą na ciało sztywne można przesunąć dowolnie wzdłuż jej linii działania.

Czasami ułatwia to operację na wektorach sił bez zmiany równowagi ciała, na które one działają. W warunku równowagi sumy rzutów sił na dowolny kierunek, oprócz składników odpowiadających rzutom wyjściowego układu sił, po obu stronach równania wystąpią również składowe odpowiadające dodanym (lub odjętym) siłom. Przeniesienie ich na jedną stronę równania spowoduje ich wyzerowanie, dając równanie identyczne jak dla układu wyjściowego.

Aksjomat 3 (zasada równoległoboku):

Działanie dwóch sił P1 i P2 można zastąpić działaniem jednej siły R, działającej na ten sam punkt, będącej przekątną równoległoboku ABCD zbudowanego na wektorach sił P1 i P2.

Dzięki temu aksjomatowi analizę równowagi układu wielu sił można uprościć do równowagi kilku ich wypadkowych. W przypadku szczególnym składowe są równoległe a ich kierunki nie pokrywają się. Wówczas ich przecięcie znajduje się w punkcie niewłaściwym w nieskończoności a określenie ich wypadkowych jest trudniejsze - prowadzi np. do siły i momentu.

Aksjomat 4 (działania i przeciwdziałania): Każdemu działaniu towarzyszy równe co do wartości, o przeciwnym zwrocie i leżące na tej samej prostej przeciwdziałanie.

Ten aksjomat wykorzystuje się do poszukiwania kierunku, zwrotu, wartości lub punktu przyłożenia siły (np. wypadkowej sił reakcji), która zrównoważy inną, działającą na ciało siłę (lub wypadkową innego układu sił).

Aksjomat 5 (zasada zesztywnienia): Jeżeli ciało odkształcalne znajduje się w równowadze pod działaniem pewnego układu sił, to również pozostanie w równowadze ciało doskonale sztywne (nieodkształcalne), identyczne z poprzednim, pod działaniem tego samego układu sił. Wynika stąd wniosek, że warunek konieczny i wystarczający do równowagi ciała sztywnego jest tylko warunkiem koniecznym, ale nie wystarczającym do równowagi ciała odkształcalnego.

W statyce konstrukcji przyjmuje się tzw. zasadę zesztywnienia. Upraszcza ona badanie równowagi konstrukcji pod działaniem obciążeń, tak, jakby obciążenie nie powodowało odkształceń a konstrukcja pozostawała w tzw. konfiguracji pierwotnej. Stosując takie założenie wyznacza się reakcje podpór i siły wewnętrzne, które dopiero w dalszej kolejności umożliwiają określenie deformacji konstrukcji - jej odkształceń i przemieszczeń.

Przemieszczenia konstrukcji wiążą się także ze zmianą położenia jej obciążeń. Układając dla tak wyznaczonej konfiguracji odkształconej warunki równowagi szacuje się błędy obliczeń konstrukcji jako ciała sztywnego. W większości przypadków konstrukcji - wykonanych z materiałów tak sztywnych jak stal czy beton - uzyskuje się zadowalające wyniki.

Jeżeli jednak błędy są za duże mówi się o konstrukcji nieliniowej geometrycznie a obliczone przemieszczenia traktuje jako pierwsze oszacowanie. Następne, lepsze przybliżenie otrzymuje się z warunków równowagi dla tej pierwszej konfiguracji odkształconej. Wyniki tych obliczeń określają nową konfigurację konstrukcji a iteracyjne powtarzanie czynności pozwala na uzyskanie wymaganej dokładności.

Aksjomat 6 ( oswobodzenia z więzów): Każde ciało nieswobodne można myślowo oswobodzić z więzów, zastępując ich działanie reakcjami, a następnie rozważać jako ciało swobodne znajdujące się pod działaniem sił czynnych i biernych (reakcji więzów).

W statyce konstrukcji ten aksjomat wykorzystuje się do wyznaczenia sił reakcji więzów, jako sił biernych, powstałych w więzach podporowych i wewnętrznych na skutek działania sił czynnych - obciążeń.

Stopniem swobody nazywa się możliwość wykonania ruchu ciała niezależnego od innych ruchów. Punkt materialny ma na płaszczyźnie dwa, a w przestrzeni trzy stopnie swobody.
Ciało doskonale sztywne ma na płaszczyźnie trzy, a w przestrzeni sześć stopni swobody.
Trzy stopnie swobody ciała sztywnego na płaszczyźnie oznaczają możliwość dwóch przesunięć niezależnych w kierunku osi x i y oraz możliwość obrotu ciała w płaszczyźnie Oxy. Sześć stopni swobody ciała w przestrzeni oznaczają możliwość trzech niezależnych przesunięć w kierunku osi x, y i z oraz możliwość niezależnego obrotu ciała wokół tych osi.

Więzami nazywamy warunki ograniczające ruch ciała w przestrzeni. Wprowadzenie więzów jest równoznaczne z działaniem na ciało sił biernych, czyli reakcji. Najczęstszymi sposobami podparcia ciał sztywnych są: przegub walcowy, przegub kulisty, podpora przegubowa stała, zawieszenie na cięgnach wiotkich, oparcie o gładką i chropowatą powierzchnię, utwierdzenie całkowite, podparcie na prętach zamocowanych przegubowo na obu końcach.

Iloczyn skalarny wektorów a i b oznaczamy symbolicznie a ^. b. Iloczyn skalarny dwóch wektorów jest skalarem, którego wartość liczbowa jest równa iloczynowi wartości liczbowych danych wektorów przez cosinus kąta zawartego między nimi, czyli:

a ^. b = ab cos α

iloczyn wektorowy
Iloczyn wektorowy wektorów a i b oznaczamy symbolicznie a x b. Iloczyn ten jest nowym wektorem o określonej umownie wartości liczbowej i kierunku.
a x b = c. Wartość liczbowa wektora c równa się iloczynowi wartości wektorów a przez b przez sinus kąta zawartego między nimi:

c = ab sin α

Rzutem siły (wektora) na dowolną oś l nazywamy wektor (na rysunku jest to odcinek skierowany A_lB_l ) łączący rzut początku i rzut końca danego wektora na tę oś.

Rzut siły na osie układu kartezjańskiego - w układzie współrzędnych prostokątnych wektor może być rozłożony na trzy składowe o kierunkach osi układu współrzędnych.

Redukcja płaskiego układu sił zbieżnych: Płaski układ sił zbieżnych przyłożonych do punktu O można zastąpić siłą wypadkową równą sumie geometrycznej tych sił i przyłożoną w punkcie O

Równowaga płaskiego układu sił zbieżnych (czynnych i reakcji więzów) brzmi następująco: aby siły zbieżne leżące w jednej płaszczyźnie były w równowadze, sumy rzutów tych sił na osie układu współrzędnych muszą być równe zeru
                       

Redukcja przestrzennego układu sił zbieżnych: przestrzenny układ sił zbieżnych przyłożonych do punktu O można zastąpić siłą wypadkową równą sumie geometrycznej tych sił i przyłożoną w punkcie O

Równowaga przestrzennego układu sił zbieżnych sprowadza się do trzech równań rzutów sił na dowolne trzy nierównoległe do jednej płaszczyzny osie. Po przyjęciu rzutowania na osie prostokątnego układu współrzędnych Oxyz otrzymamy następujące równania równowagi
                       


 jest spełniony, gdy wypadkowa tych sił będzie równa zeru. Wielobok sił jest wtedy zamknięty i ma zgodny obieg wektorów sił.

Twierdzenie o trzech siłach: Trzy siły są w równowadze, jeżeli ich proste działania przecinają się w jednym punkcie, leżą w jednej płaszczyźnie i trójkąt sił jest trójkątem zamkniętym.

Wypadkowa sił równoległych: Siły nazywamy równoległymi, gdy ich proste działania są do siebie równoległe. Siły te nie różniące się linią działania dodają się jak skalary lub liczby algebraiczne. Wypadkowa sił równoległych jest sumą algebraiczną tych sił i ma ich kierunek działania.

Moment siły (moment obrotowy) siły F względem punktu O jest to iloczyn wektorowy promienia wektora r, o początku w punkcie O i końcu w punkcie przyłożenia siły, oraz wektora siły F:

Jednostką momentu siły jest Nm (niutonometr).

Momentem siły względem osi nazywamy rzut na oś wektora momentu tej siły względem dowolnego punktu na osi

Twierdzenie Varignona: Moment wypadkowej układu sił względem dowolnego punktu jest równy sumie momentów sił składowych względem tego samego punktu.

Para sił jest to układ sił równoległych o równych wartościach lecz przeciwnych zwrotach

Moment pary sił jest to wektor (rys. 5.3) prostopadły do płaszczyzny działania pary, jego wartość równa się iloczynowi wartości jednej z sił pary i odległości między siłami (ramienia pary)

                                                                                     

Twierdzenie o równoległym przesunięciu siły jest podstawą redukcji układu sił dowolnie zorientowanych w przestrzeni. Siłę możemy przesuwać równolegle w płaszczyźnie jej działania dodając parę sił.

Płaskim układem sił nazywamy układ którego siły leżą w jednej płaszczyźnie

Redukcja płaskiego dowolnego układu sił: Dowolny układ sił działających na ciało sztywne można zastąpić układem równoważnym składającym się z jednej siły W przyłożonej w dowolnie obranym biegunie redukcji O oraz pary sił o momencie M_O równym sumie momentów danych sił względem punktu O

Równowaga płaskiego dowolnego układu sił: Płaski dowolny układ sił znajduje się w równowadze jeśli sumy rzutów wszystkich sił na osie układu są równe zero i moment wszystkich sił względem dowolnego punktu płaszczyzny działania sił jest równy zeru.

Redukcja przestrzennego dowolnego układu sił: przestrzenny dowolny układ sił działający na ciało sztywne można zastąpić siłą R przyłożoną do dowolnie wybranego środka redukcji O równą sumie geometrycznej wszystkich sił układu oraz parą o momencie Mo równym sumie geometrycznej momentów tych sił względem środka redukcji

Równowaga przestrzennego dowolnego układu sił: przestrzenny dowolny układ sił znajduje się w równowadze jeśli jego wektor główny R jest równy zero i moment wszystkich sił względem dowolnego punktu O jest równy zeru.

 

Tarciem nazywa się zjawisko powstawania sił stycznych do powierzchni styku dwóch ciał.

Prawa tarcia:

1) siła tarcia zależy od rodzaju powierzchni obu stykających się ciał oraz nie zależy od wielkości powierzchni styku ciał.
2) siła tarcia jest zawsze skierowana przeciwnie do kierunku ruchu i jest mniejsza od granicznej wartości
3) siła tarcia jest wprost proporcjonalna do siły nacisku normalnego: może zmieniać się od zera do granicznej wartości.
Tarcie ślizgowe - z tym rodzajem tarcia będziemy mieć do czynienia najczęściej.



Na ciało poruszające się z prędkością v dzięki sile napędzającej F, działa siła tarcia (dynamicznego) T skierowana przeciwnie do kierunku ruchu. Jak wiemy, zależy ona od siły nacisku N i wyrażamy ją wzorem:


gdzie:
f - współczynnik tarcia (dynamicznego).
Współczynnik tarcia określa tutaj proporcjonalność siły tarcia do siły nacisku. Nie ma on tutaj żadnej jednostki, jest to tylko wartość liczbowa.

Tarcie toczne - załóżmy że jakaś bryła toczy się po równym podłożu.



Podobnie jak wyżej, działa tu siła napędzająca F oraz siła nacisku N. Pojawia się tu jednak nowa siła - siła tarcia tocznego T, wyrażana wzorem:

gdzie:
R - promień koła będącego przekrojem poprzecznym toczącej się bryły (np. walca lub kuli),
f_T - współczynnik tarcia tocznego.
Współczynnik tarcia tocznego wyrażany jest w metrach (jednostkach długości).

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW

Siły wewnętrzne to siły występująca między elementami układu. Na podstawie piątej zasady statyki siły wewnętrzne są zawsze parami przeciwne, mają równe wartości i działają wzdłuż tej samej prostej. W celu ujawnienia tych sił stosuje się metodę przecięć, która polega na myślowym przecięciu ciała dowolną płaszczyzną.

Siły zewnętrzne siły, które zastępują działanie sił oddziałujących na rozpatrywane ciało, przy izolowaniu tego ciała od innych, pierwotnie z nim połączonych. Występują one jako tzw. siły czynne obciążające ciało i jako reakcje więzów, tzw. siły bierne.

Typy obciążeń elementu prętowego

• Siły skupione

• Momenty skupione

• Obciążenia liniowo rozłożone

• Obciążenia momentem liniowo rozłożone

naprężenie to miara gęstości powierzchniowej sił wewnętrznych występujących w ośrodku ciągłym. Jest definiowane jako iloraz siły będącej reakcją na obciążenia zewnętrzne i powierzchni, na której ta siła działa.:

gdzie: s - wektor naprężenia, F - wektor sił wewnętrznych w ciele działających w przekroju, A - pole przekroju. Jednostką wektora naprężenia jest 1MPa=1 N/mm².

Wektor naprężenia występujący w dowolnym przekroju można rozłożyć na dwie składowe:


gdzie: σ - składowa normalna (prostopadła do powierzchni), n- wektor normalny do powierzchni, τ- składowa ścinająca (równoległa do powierzchni).

naprężenie normalne to takie gdy obciążenie oddziałuje w kierunku prostopadłym do rozpatrywanego przekroju. Jeżeli zwrot wektora naprężenia normalnego skierowany jest od punktu, naprężenie normalne przyjmuje wartość dodatnią i nazywane jest naprężeniem rozciągającym. W przeciwnym razie jest naprężeniem ściskającym. Naprężenia normalne są zwyczajowo oznaczane symbolem „s” (sigma) wraz z indeksem odpowiadającym rodzajowi naprężeń, zazwyczaj: σr ­- naprężenia rozciągające, σc ­- naprężenia ściskające,
σg ­- naprężenia zginające.

naprężenie styczne to takie gdy obciążenie oddziałuje równolegle do rozpatrywanego przekroju. Naprężenia styczne są naprężeniami, wywołanymi przez płaszczyzny, które „chcą przesunąć się” względem siebie. Naprężenia styczne są zwyczajowo oznaczane symbolem „t” (tau) wraz z indeksem odpowiadającym rodzajowi naprężeń, zazwyczaj:
tt - naprężenia tnące,
ts - naprężenia skręcające. 

Odkształcenia liniowe Możemy wiec powiedzieć, że odkształceniem liniowym w punkcie w wybranym kierunku nazywamy względny przyrost długości w tym punkcie na skutek przyłożonych obciążeń. Odkształcenie liniowe nazywane też są odkształceniami podłużnymi.

Odkształcenia kątowe γ jest granicą ilorazu różnicy kata pomiędzy dwoma dowolnie wybranymi odcinkami w ciele nieobciążonym i obciążonym, gdy długości tych odcinków zmierzają do zera. odkształceniem kątowym nazywać będziemy kąt o jaki zmieni sie w wyniku przyłożonych obciążeń kat prosty miedzy dwoma włóknami przechodzącymi w konfiguracji początkowej przez wspólny punkt.

Zasada de Saint-Venanta -Zasada mówi, że jeśli na sprężyste ciało działa układ sił statycznych przyłożonych na powierzchni małej w stosunku do powierzchni całego ciała i zastąpimy ten układ sił dowolnym innym układem - jednak statycznie mu równoważnym (o równej sumie układu i sumie momentów sił układu względem dowolnego punktu) - to istnieje taki przekrój tego ciała, dostatecznie odległy od miejsca przyłożenia sił, że różnice w naprężeniach, odkształceniach i przemieszczeniach, pochodzących od obu przypadków obciążenia, są dowolnie małe (tzn. wpływ działających sił uśrednia się).

Bezwzględne wydłużenie pręta jest wprost proporcjonalne do siły przyłożonej do pręta, do jego długości i odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju poprzecznego pręta. Współczynnikiem proporcjonalności jest moduł Younga E

gdzie:

F - siła rozciągająca, S - pole przekroju, Δl - wydłużenie pręta, l - długość początkowa.

Moduł Younga wyraża on, charakterystyczną dla danego materiału, zależność względnego odkształcenia liniowego ε materiału od naprężenia σ, jakie w nim występuje w zakresie odkształceń sprężystych.

Jednostką modułu Younga jest paskal, czyli N/m².

Współczynnik Poissona (ν) jest stosunkiem odkształcenia poprzecznego do odkształcenia podłużnego przy osiowym stanie naprężenia. Współczynnik Poissona jest wielkością bezwymiarową i nie określa sprężystości materiału, a jedynie sposób, w jaki się on odkształca.

Prawo Hooke'a Prawo określające zależność odkształcenia od naprężenia. Głosi ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na nie siły jest wprost proporcjonalne do tej siły. Б=ε×E. Zależność ta prawidłowa jest tylko dla niezbyt dużych odkształceń nie przekraczających granicy proporcjonalności i tylko dla niektórych materiałów

statyczne próby rozciągania przeprowadza sie na tzw. maszynach wytrzymałościowych (zrywarkach). Są to maszyny o różnych rozwiązaniach konstrukcyjnych, jednakże spełniające wymagania ujęte w normach. Próbkę umieszcza się w uchwytach maszyny wytrzymałościowej i obciąża quasi statyczna osiowa siła P. W miarę narastania obciążenia P mierzymy ekstensometrem rzeczywista długość L1 oraz obliczamy dla każdej wartości siły P przyrost wydłużenia a następnie odkształcenie względne. Dodatkowo dla każdego odczytu obliczamy naprężenie normalne s przez podzielenie chwilowej siły P przez początkowe pole przekroju poprzecznego. Na podstawie tych danych można wykonać wykres siła - wydłużenie lub naprężenie-odkształcenie inaczej nazywany umownym wykresem rozciagania (liniaOG rys. 2), przyjmujac L lub  jako odcieta oraz P lub σ jako rzedna.

Granica proporcjonalności RH Jest to naprężenie, przy którym występuje jeszcze praktycznie liniowość między odkształceniem a naprężeniem.

Granica sprężystości Rsp Odpowiada naprężeniom, przy których brak jest liniowości między σ i ε , ale po odciążeniu próbka wraca do swojego kształtu pierwotnego (brakwyraźnego odkształcenia trwałego).

Granica plastyczności Re. Jest naprężeniem, przy którym uwidaczniają się znaczne odkształcenia plastyczne (wzrost ε przy praktycznie stałym σ = Re ).

Naprężenie dopuszczalne są miarą wytężenia materiału. Wyznacza się je z zależności:

Gdzie:

σ_nieb - naprężenie niebezpieczne - w zależności od rodzaju materiału jest nim wytrzymałość na rozciąganie (dla materiałów plastycznych) lub naprężenie rozrywające dla materiałów kruchych.

x - współczynnik bezpieczeństwa

Współczynnik bezpieczeństwa x - stosowana w inżynierii liczba niemianowana mówiąca, ile razy naprężenie σ występujące podczas normalnej pracy konstrukcji jest mniejsze od naprężenia niebezpiecznego σ_n.

naprężenie niebezpieczne - w zależności od rodzaju materiału jest nim wytrzymałość na rozciąganie (dla materiałów plastycznych) lub naprężenie rozrywające dla materiałów kruchych.

Warunek wytrzymałościowy naprężeń normalnych na rozciąganie, lub ściskanie ma postać:

gdzie:
σ - naprężenia normalne w [Pa]
F - siła  w [N],
S - przekrój na który działa siła F wyrażony w [m2],

k - naprężenia dopuszczalne na rozciąganie (kr), ściskanie (kc) w [Pa]

Zasada superpozycji - (zasada niezależności działania obciążeń): Skutki jednoczesnego działania wielu sił (obciążeń) na układ (ciało lub ustój) jest prostą sumą skutków działania wszystkich sił (obciążeń) z osobna. Ciało lub ustrój podlegające zasadzie superpozycji nazywamy liniowym.

Zagadnienia nazywamy zagadnieniami statycznie niewyznaczalnymi gdy więzów jest więcej niż potrzeba do unieruchomienia danego układu mechanicznego, dany układ jest przesztywniony. Wówczas niewiadomych reakcji jest więcej niż mamy równań równowagi i dlatego niektórych reakcji nie można wyznaczyć metodami stosowanymi w statyce.

Uogólnione prawo Hook'a

Jednoosiowy stan naprężeń- gdy jest tylko jedno naprężenie główne różne od zera

Naprężenia w przekrojach ukośnych

Płaski stan naprężenia gdy są dwa naprężenia główne różne od zera

Aksjomat Boltzmana składowa naprężenia stycznego w kierunku n (równa sumie rzutów

τ_xy,  τ_xz na ten kierunek) musi być równa zero

Transformacja naprężeń - wzory transformacyjne opisują zależność pomiędzy odpowiednimi naprężeniami a kątem obrotu układu współrzędnych. Wartości będą się zmieniały wraz z obrotem osi. Istnieje taki układ w którym naprężenia będą przyjmowały wartości ekstremalne. W celu wyznaczenia takiego układu należy wyznaczyć pochodną naprężeń liniowych względem kąta alfa i przyrównać ją do zera.

Koło Mohra (koło naprężeń) graficzna reprezentacja stanu naprężenia, opracowana przez niemieckiego inżyniera Christiana Mohra. Koło Mohra pozwala znaleźć wykreślnie wartości naprężeń normalnych i stycznych w dowolnym kierunku, a także określić naprężenia główne i kierunki główne. Koło Mohra wykorzystuje się także w transformacji płaskiego stanu odkształcenia oraz do określenia momentu bezwładności po obrocie układu współrzędnych, ze względu na podobieństwo wzorów matematycznych, które opisują te transformacje.

Stan czystego ścinania przekrój, w którym wystąpią tylko naprężenia ścinające (nie ma normalnych są tylko naprężenia styczne). Można to uzyskać przez rozciąganie i ściskanie naprężeniami równymi co do bezwzględnej wartości, działającymi w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach

, gdzie
- naprężenia ścinające,
- odkształcenie postaciowe

Moduł Kirchhoffa (G) (inaczej albo moduł sprężystości poprzecznej) - współczynnik uzależniający odkształcenie postaciowe materiału od naprężenia, jakie w nim występuje. Jednostką modułu Kirchhoffa jest paskal. Jest to wielkość określająca sprężystość materiału.

gdzie
- naprężenia ścinające,
- odkształcenie postaciowe

Moduł Kirchhoffa dla materiałów izotropowych bezpośrednio zależy od modułu Younga i współczynnika Poissona:

gdzie
- współczynnik Poissona,
- moduł Younga

ścinanie technologicznym nazywamy naprężenia odkształcenia materiału spowodowane dwiema siłami tworzącymi parę o bardzo małym ramieniu. W obliczeniach zagadnień ścinania technologicznego uśrednia się naprężenia tnące w całym przekroju ścinanym.

warunek wytrzymałościowy naprężeń stycznych na ścinanie:

, t -naprężenia styczne [Pa}, siła [N],S-przekrój na który działa siła [m2], kt-naprężenia dopuszczalne na ścinanie [Pa]

Zginanie proste: naprężenia redukują się do momentu i sił poprzecznych. W obliczeniach wytrzymałościowych belek rzeczą podstawową jest wyznaczenie rozkładów sił poprzecznych i momentów grących. Maksymalne wartości tych sił wskazują na przekroje najbardziej obciążone, na przekroje niebezpieczne

Moment gnący w dowolnym przekroju belki zginanej to algebraiczna suma momentów sił zewnętrznych działających po jednej stronie rozważanego przekroju względem środka masy tego przekroju

Siła tnąca w danym przekroju poprzecznym belki nazywamy rzut na płaszczyznę tego przekroju wypadkowej wszystkich sił zewnętrznych działających na część belki odciętą tym przekrojem

Warunek wytrzymałościowy naprężeń normalnych na zginanie ma postać:

 gdzie:
s_g - naprężenia normalne zginające w [Pa],
M - moment zginający przekrój  w [Nm],
W_x - wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie [m³],
k_g - naprężenia dopuszczalne na zginanie w [Pa] dostępne

Wx − współczynnik wytrzymałości przekroju na zginanie jest to iloraz momentu bezwładności tego przekroju względem osi obojętnej (przechodzącej przez środek ciężkości przekroju) przez odległość od tej osi najdalszego elementu należącego do przekroju.

Skręcanie proste pręta, które różni się od skręcania "czystego" tym, że obciążenie zastępujemy dwójką przeciwnie skierowanych, równych co do wartości skupionych momentów skręcających. Analityczne rozwiązanie tego przypadku jest praktycznie niemożliwe, dlatego stosujemy zgodnie z zasadą de Saint-Venanta rozwiązanie zagadnienia czystego skręcania

jednostkowy kąt skręcenia

, gdzie:

I0 - biegunowy moment bezwładności , Mx - moment skręcający

wskaźnikiem wytrzymałości przekroju na skręcanie

Warunek wytrzymałościowy naprężeń stycznych na skręcanie ma postać:

gdzie:
ts - naprężenia styczne skręcające w [Pa],
M - moment skręcający przekrój  w [Nm],
Wo - wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie [m3], k_s - naprężenia dopuszczalne na skręcanie w [Pa]

Twierdzenie Schwedlera-Żurawskiego

Podczas zginania belki siłą tnącą, w dowolnym przekroju poprzecznym występuje moment gnący M_g i siła tnąca T. Można dowieść, że między momentem gnącym M_g(x), tnącą siłą T(x) oraz obciążeniem ciągłym zachodzą następujące zależności, określane jako twierdzenia Schwedlera-Żurawskiego:

- obciążenie ciągłe z przeciwnym znakiem jest drugą pochodną momentu gnącego w danym przekroju i tym samym pierwszą pochodną siły tnącej:

- siła tnąca w danym przekroju jest pierwszą pochodną momentu gnącego w tym przekroju:

Powyższe wzory stosowane są głównie do obliczania sił tnących, a także przy badaniu ugięcia belek.

Skręcanie prętów o przekroju kolistym - Skręcanie pręta występuje wtedy, gdy dwie pary sił działają w dwóch różnych płaszczyznach prostopadłych do osi pręta.

Hipotezy wytężenia

Hipoteza największych naprężeń normalnych ( σ _max ) -W myśl tej hipotezy, o wytężeniu materiału decyduje największe naprężenie normalne występujące w najbardziej zagrożonym punkcie ciała

Hipoteza największych naprężeń tnących (  _max) - Zgodnie z tą hipotezą, o wytężeniu materiału podczas zwykłej próby rozciągania nie decyduje osiągnięcie przez naprężenia rozciągające granicy plastyczności, lecz osiągnięcie przez naprężenia styczne wartości krytycznej.

Hipoteza Hubera - Zgodnie z tą hipotezą, o wytężeniu próbki decyduje nie ta część energii, która idzie na odkształcenie objętościowe, lecz jedynie ta część, która idzie na odkształcenie postaci. Podobnie otrzymamy:

Stosuje się ją dla materiałów plastycznych i podobnie naprężenie σ ₁ jest większe od granicy plastyczności.

Wyboczenie sprężyste - Wyboczeniem nazywamy zjawisko wyginania się pręta ściskanego siłami osiowymi.
Siłą krytyczną nazywamy graniczną wartość siły, po przekroczeniu której następuje utrata stateczności pręta (nagłej zmiany kształtu konstrukcji). Wartość tej siły zależy od długości pręta, od wielkości i kształtu jego przekroju, od rodzaju materiału i sposobu zamocowania końców pręta.


                 
gdzie l_r - długość zredukowana pręta, E - moduł sprężystości wzdłużnej materiału, I_z - najmniejszy główny środkowy moment bezwładności przekroju pręta.

Wyboczenie niesprężyste
Naprężenia krytyczne obliczamy najczęściej ze wzorów empirycznych:
1. Tetmajera-Jasińskiego
2. Johnsona-Ostenfelda

Wzór Tetmajera-Jasińskiego można przedstawić ogólną zależnością:

                 

gdzie a i b są to stałe wyznaczane doświadczalnie charakteryzujące własności materiału

Wzór empiryczny Johnsona-Ostenfelda ma postać

                 

---