Politechnika Wrocławska |
Dzień tygodnia: poniedziałek Godzina: 10:45 |
Wydział Elektryczny Andrzej Filipiak 119647 Rok: 2003/2004 |
Nr ćwiczenia: 9 Wyznaczanie ruchu oscylatorów sprzężonych |
Data wykonania: 13-10-2003 |
Ocena: |
1. Cel ćwiczenia.
Celem ćwiczenia jest:
zapoznanie się z opisem ruchu oscylatorów sprzężonych,
określenie związku między parametrami charakteryzującymi układ oscylatorów sprzężonych z parametrami oscylatora harmonicznego,
wyznaczenie częstości własnych, częstości dudnień i współczynnika sprzężenia.
2. Wstęp teoretyczny.
Ruch harmoniczny-ruch punkt materialnego, na który działa siła proporcjonalna do jego wychylenia z położenia równowagi i przeciwnie skierowana
równanie ruchu wyraża się równaniem:
,
gdzie
m - masa oscylatora,
x - wychylenie z położenia równowagi,
k - współczynnik proporcjonalności (wsp. sprężystości).
Równanie powyższe można zapisać w postaci:
,
przyjmując za
,
gdzie
ω0 - częstość (kołowa) własna oscylatora harmonicznego.
Jeżeli dwa identyczne oscylatory harmoniczne zostaną połączone (sprzężone) w taki sposób, że dodatkowa siła (wynikająca z połączenia) jest proporcjonalna do różnicy wzajemnych wychyleń pojedynczych oscylatorów, to - zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona - równanie ruchu tych oscylatorów przyjmuje postać:
(**)
Równanie to można uogólnić na większą liczbę oscylatorów harmonicznych o różnych częstościach własnych, przy czym:
xi - wychylenie i-tego oscylatora z położenia równowagi,
kS - współczynnik proporcjonalności (współczynnik sprzężenia).
Wówczas rozwiązania równań poszukujemy w postaci:
Po podstawieniu otrzymujemy:
czyli po przekształceniu:
(*)
Powyższy układ równań ma rozwiązanie ze względu na A1 i A2 , jeśli wyznacznik tego układu jest równy zeru. Zerowanie się wyznacznika prowadzi do równania:
Z powyższego równania otrzymujemy wyrażenie określające częstości (kołowe) własne oscylatorów sprzężonych:
czyli
lub
Wstawiając ωI do jednego z równań układu równań (*) otrzymujemy:
czyli kSA1= kSA2 , stąd ostatecznie A1=A2 .
Analogicznie wstawiając ωII do jednego z równań układu równań (*) otrzymujemy po uproszczeniu
. Obydwa oscylatory sprzężone drgają więc z częstością kołową ωI , jeżeli ich fazy są zgodne lub z częstością ωII , jeżeli ich fazy są przeciwne.
Jeżeli oscylatorami będą wahadła fizyczne, to
gdzie
D - moment kierujący,
I - moment bezwładności wahadła.
Miarę wychylenia wahadła z położenia równowagi oznaczymy ϕi . Sytuacje odpowiadające częstościom kołowym własnym ω1 i ω2 są przedstawione na rysunkach. Jeżeli jedno z wahadeł sprzężonych (np. drugi) unieruchomimy ϕ2=0, a pierwsze pobudzimy do drgań, to równanie oscylatora harmonicznego przyjmie postać:
i drgania odbywać się będą z częstością kołową:
Rozwiązanie równań ruchu dla innych warunków początkowych, np. dla:
można otrzymać wprowadzając nowe zmienne:
Dodając równania (**) stronami i wykorzystując pierwsze równanie otrzymujemy:
Analogicznie z równania drugiego otrzymujemy:
Rozwiązania powyższych równań przy warunkach początkowych
mają postać:
tak więc:
Każdy z oscylatorów sprzężonych wykonuje w tym przypadku drgania z częstotliwością kołową
zaś amplituda zeruje się z częstością
gdzie
W omawianym przypadku drgania są więc dudnieniami otrzymanymi przez nałożenie się dwóch drgań własnych o częstościach kołowych ωI i ωII
3.Przebieg pomiarów:
Pomiary wykonujemy dla trzech różnych sprzężeń (trzy różne zawieszenia sprężyny).
Wyznaczenie okresu wahań odpowiadającego częstości własnej ω1 (zgodne fazy początkowe ϕ1=ϕ2).
Sprzężenie |
ilość okresów n |
czas zmierzony t [s] |
okres T [s] |
częstość ω1 [1/s] |
||||||||
1(5cm) |
10 |
12,139 |
10,477 |
10,491 |
11,043 |
1,104 |
5,692 |
|||||
|
|
śr. czas=11,038 |
|
|
||||||||
2(15cm) |
10 |
11,230 |
11,227 |
11,255 |
11,245 |
1,123 |
5,590 |
|||||
|
|
śr. czas=11,239 |
|
|
||||||||
3(25cm) |
10 |
11,251 |
10,628 |
11,260 |
11,251 |
1,109 |
5,661 |
|||||
|
|
śr. czas=11,097 |
|
|
Wyznaczenie okresu wahań odpowiadającego częstości własnej ω2 (przeciwne fazy początkowe ϕ1 = -ϕ2).
Dla pomiarów na wysokości 15 i 20 cm odchylenie od pionu wynosiło
10 o a przy 25 cm odchylenie wynosiło 15 o
Sprzężenie |
ilość okresów n |
czas zmierzony t [s] |
Okres T [s] |
częstość ω2 [1/s] |
|||||||||
1(15cm) |
10 |
7,516 |
7,512 |
7,513 |
7,510 |
0,751 |
8,363 |
||||||
|
|
śr. czas=7,512 |
|
|
|||||||||
2(20cm) |
10 |
7,523 |
7,548 |
7,544 |
7,542 |
0,753 |
8,333 |
||||||
|
|
śr. czas=7,539 |
|
|
|||||||||
3(25cm) |
10 |
6,457 |
6,461 |
6,429 |
6,433 |
0,644 |
9,748 |
||||||
|
|
śr. czas=6,445 |
|
|
Wyznaczenie częstości dudnień ωd (różne fazy początkowe
ϕ1 = 0o,ϕ2 = 10o).
Sprzężenie |
ilość okresów n |
czas zmierzony t [s] |
Okres T [s] |
częstość ωd [1/s] |
||||||||
1(15cm) |
10 |
23,745 |
22,734 |
24,092 |
23,182 |
2,343 |
2,680 |
|||||
|
|
śr. czas=23,438 |
|
|
||||||||
2(20cm) |
10 |
20,212 |
19,322 |
19,349 |
19,769 |
1,966 |
3,195 |
|||||
|
|
śr. czas=19,663 |
|
|
||||||||
3(25cm) |
10 |
15,732 |
15,772 |
15,389 |
15,398 |
1,557 |
4,034 |
|||||
|
|
śr. czas=15,572 |
|
|
Częstość dudnień:
W poniższej tabeli znajduje się zestawienie wyliczonej częstości dudnień oraz zmierzonej w celu porównania różnic.
sprzężenie |
ω1 [1/s] |
ω2 [1/s] |
ωd = ω2 - ω1 [1/s] |
ωd zmierzone [1/s] |
1 |
5,692 |
8,363 |
2,671 |
2,680 |
2 |
5,590 |
8,333 |
2,743 |
3,195 |
3 |
5,661 |
9,748 |
4,087 |
4,034 |
4. Wnioski:
Celem tego ćwiczenia było poznanie zjawiska dudnień. Sama nazwa „dudnienia” wzięła się prawdopodobnie stąd, iż zjawisko to zachodzi również dla fal dźwiękowych. W przypadku dźwięku zmiany amplitudy przejawiają się jako zmiany głośności. Zjawisko to można wykorzystać do nastrojenia dwóch strun na tę samą częstotliwość metodą naciągania jednej z nich w czasie brzmienia obu, aż do momentu, gdy dudnienia znikną.
Przy pomiarach staraliśmy się wyeliminować błędy związane z czasem reakcji mierzącego czas za pomocą stopera(każdy pomiar przeprowadzaliśmy czterokrotnie). Dzięki temu uzyskaliśmy wyniki częstości dudnień zmierzonych zbliżone do wyników wyliczonych ze znajomości ω1 i ω2. Inne błędy, takie jak: błąd zaokrąglenia liczby π, czy tez błąd wyznaczenia kata wychylenia wahadła, możemy pominąć ponieważ maja one bardzo mały lub tez nieistotny wpływ na ostateczne wyniki.
Nie mogliśmy niestety przeprowadzić analizy momentu kierującego i sprzęgającego, ponieważ w instrukcji do ćwiczenia podany moment bezwładności dotyczył innego przyrządu niż ten którego używaliśmy.