Kopia (2) sprawko nr 9 fiza


Politechnika Wrocławska

Dzień tygodnia: poniedziałek

Godzina: 10:45

Wydział Elektryczny

Andrzej Filipiak 119647

Rok: 2003/2004

Nr ćwiczenia: 9

Wyznaczanie ruchu oscylatorów sprzężonych

Data wykonania: 13-10-2003

Ocena:

1. Cel ćwiczenia.

Celem ćwiczenia jest:

2. Wstęp teoretyczny.

Ruch harmoniczny-ruch punkt materialnego, na który działa siła proporcjonalna do jego wychylenia z położenia równowagi i przeciwnie skierowana

0x08 graphic
równanie ruchu wyraża się równaniem: 0x01 graphic
,

gdzie

m - masa oscylatora,

x - wychylenie z położenia równowagi,

k - współczynnik proporcjonalności (wsp. sprężystości).

Równanie powyższe można zapisać w postaci:

0x01 graphic
,

przyjmując za0x01 graphic
,

gdzie

ω0 - częstość (kołowa) własna oscylatora harmonicznego.

Jeżeli dwa identyczne oscylatory harmoniczne zostaną połączone (sprzężone) w taki sposób, że dodatkowa siła (wynikająca z połączenia) jest proporcjonalna do różnicy wzajemnych wychyleń pojedynczych oscylatorów, to - zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona - równanie ruchu tych oscylatorów przyjmuje postać:

0x01 graphic
(**)

Równanie to można uogólnić na większą liczbę oscylatorów harmonicznych o różnych częstościach własnych, przy czym:

xi - wychylenie i-tego oscylatora z położenia równowagi,

kS - współczynnik proporcjonalności (współczynnik sprzężenia).

Wówczas rozwiązania równań poszukujemy w postaci:

0x01 graphic

Po podstawieniu otrzymujemy:

0x01 graphic

czyli po przekształceniu:

0x01 graphic
(*)

Powyższy układ równań ma rozwiązanie ze względu na A1 i A2 , jeśli wyznacznik tego układu jest równy zeru. Zerowanie się wyznacznika prowadzi do równania:

0x01 graphic

Z powyższego równania otrzymujemy wyrażenie określające częstości (kołowe) własne oscylatorów sprzężonych:

0x01 graphic

czyli

0x01 graphic
lub 0x01 graphic

Wstawiając ωI do jednego z równań układu równań (*) otrzymujemy:

0x01 graphic

czyli kSA1= kSA2 , stąd ostatecznie A1=A2 .

0x01 graphic

Analogicznie wstawiając ωII do jednego z równań układu równań (*) otrzymujemy po uproszczeniu 0x01 graphic
. Obydwa oscylatory sprzężone drgają więc z częstością kołową ωI , jeżeli ich fazy są zgodne lub z częstością ωII , jeżeli ich fazy są przeciwne.

Jeżeli oscylatorami będą wahadła fizyczne, to

0x01 graphic

gdzie

D - moment kierujący,

I - moment bezwładności wahadła.

Miarę wychylenia wahadła z położenia równowagi oznaczymy ϕi . Sytuacje odpowiadające częstościom kołowym własnym ω1 i ω2 są przedstawione na rysunkach. Jeżeli jedno z wahadeł sprzężonych (np. drugi) unieruchomimy ϕ2=0, a pierwsze pobudzimy do drgań, to równanie oscylatora harmonicznego przyjmie postać:

0x01 graphic

i drgania odbywać się będą z częstością kołową:

0x01 graphic

Rozwiązanie równań ruchu dla innych warunków początkowych, np. dla:

0x01 graphic

można otrzymać wprowadzając nowe zmienne:

0x01 graphic

Dodając równania (**) stronami i wykorzystując pierwsze równanie otrzymujemy:

0x01 graphic

Analogicznie z równania drugiego otrzymujemy:

0x01 graphic

Rozwiązania powyższych równań przy warunkach początkowych 0x01 graphic
mają postać:

0x01 graphic

tak więc:

0x01 graphic

Każdy z oscylatorów sprzężonych wykonuje w tym przypadku drgania z częstotliwością kołową

0x01 graphic

zaś amplituda zeruje się z częstością

0x01 graphic

gdzie

0x01 graphic

W omawianym przypadku drgania są więc dudnieniami otrzymanymi przez nałożenie się dwóch drgań własnych o częstościach kołowych ωI i ωII

3.Przebieg pomiarów:

Pomiary wykonujemy dla trzech różnych sprzężeń (trzy różne zawieszenia sprężyny).

0x08 graphic

Wyznaczenie okresu wahań odpowiadającego częstości własnej ω1 (zgodne fazy początkowe ϕ12).

Sprzężenie

ilość okresów n

czas zmierzony t [s]

okres T

[s]

częstość ω1 [1/s]

1(5cm)

10

12,139

10,477

10,491

11,043

1,104

5,692

śr. czas=11,038

2(15cm)

10

11,230

11,227

11,255

11,245

1,123

5,590

śr. czas=11,239

3(25cm)

10

11,251

10,628

11,260

11,251

1,109

5,661

śr. czas=11,097

Wyznaczenie okresu wahań odpowiadającego częstości własnej ω2 (przeciwne fazy początkowe ϕ1 = -ϕ2).

Dla pomiarów na wysokości 15 i 20 cm odchylenie od pionu wynosiło

10 o a przy 25 cm odchylenie wynosiło 15 o

Sprzężenie

ilość okresów n

czas zmierzony t [s]

Okres T

[s]

częstość ω2 [1/s]

1(15cm)

10

7,516

7,512

7,513

7,510

0,751

8,363

śr. czas=7,512

2(20cm)

10

7,523

7,548

7,544

7,542

0,753

8,333

śr. czas=7,539

3(25cm)

10

6,457

6,461

6,429

6,433

0,644

9,748

śr. czas=6,445

Wyznaczenie częstości dudnień ωd (różne fazy początkowe

ϕ1 = 0o2 = 10o).

Sprzężenie

ilość okresów n

czas zmierzony t [s]

Okres T

[s]

częstość ωd [1/s]

1(15cm)

10

23,745

22,734

24,092

23,182

2,343

2,680

śr. czas=23,438

2(20cm)

10

20,212

19,322

19,349

19,769

1,966

3,195

śr. czas=19,663

3(25cm)

10

15,732

15,772

15,389

15,398

1,557

4,034

śr. czas=15,572

Częstość dudnień:

W poniższej tabeli znajduje się zestawienie wyliczonej częstości dudnień oraz zmierzonej w celu porównania różnic.

sprzężenie

ω1 [1/s]

ω2 [1/s]

ωd = ω2 - ω1 [1/s]

ωd zmierzone [1/s]

1

5,692

8,363

2,671

2,680

2

5,590

8,333

2,743

3,195

3

5,661

9,748

4,087

4,034

0x08 graphic

4. Wnioski:

Celem tego ćwiczenia było poznanie zjawiska dudnień. Sama nazwa „dudnienia” wzięła się prawdopodobnie stąd, iż zjawisko to zachodzi również dla fal dźwiękowych. W przypadku dźwięku zmiany amplitudy przejawiają się jako zmiany głośności. Zjawisko to można wykorzystać do nastrojenia dwóch strun na tę samą częstotliwość metodą naciągania jednej z nich w czasie brzmienia obu, aż do momentu, gdy dudnienia znikną.

Przy pomiarach staraliśmy się wyeliminować błędy związane z czasem reakcji mierzącego czas za pomocą stopera(każdy pomiar przeprowadzaliśmy czterokrotnie). Dzięki temu uzyskaliśmy wyniki częstości dudnień zmierzonych zbliżone do wyników wyliczonych ze znajomości ω1 i ω2. Inne błędy, takie jak: błąd zaokrąglenia liczby π, czy tez błąd wyznaczenia kata wychylenia wahadła, możemy pominąć ponieważ maja one bardzo mały lub tez nieistotny wpływ na ostateczne wyniki.

Nie mogliśmy niestety przeprowadzić analizy momentu kierującego i sprzęgającego, ponieważ w instrukcji do ćwiczenia podany moment bezwładności dotyczył innego przyrządu niż ten którego używaliśmy.

0x01 graphic

0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Sprawko 48-fiza, Fizyka
sprawko nr 1 immunologia
sprawko nr 4
Sprawko nr 2
SPRAWKO NR 3
Kopia Zestaw Nr 83
Kopia Zestaw Nr 85
sprawko nr 3
Kopia Zestaw Nr 82
Kopia Zestaw Nr 75
Kopia Zestaw Nr 71
Kopia Zestaw Nr 74
sprawko nr 1
Kopia Zestaw Nr 73
Kopia Zestaw Nr 81
sprawka z mo Sprawko nr 2
sprawko nr 4
Kopia Zestaw Nr 77
sprawka z mo Sprawko nr 4

więcej podobnych podstron