1. Obliczam pochodną po l₁:

2. Obliczam pochodną po l₂:

3. Obliczam niepewność całkowitą i rozszerzoną:

Lp.	U(l1) [m]	U(l2) [m]	U(R)										U(X)	UR(X)	Wynik
1	0,00057735	0,00057735	0,230941	4767,6		-1192					1		2,846671395	5,693342789	829,86667
2	0,00057735	0,00057735	0,029445	712		-178					1		0,424746403	0,849492807	123,76667
3	0,00057735	0,00057735	0,017786	392		-98					1		0,233963582	0,467927164	69,15556
4	0,00057735	0,00057735	0,012437	287		-71,75					1		0,171251295	0,342502589	22,66667
Poł. Szeregowe	0,00057735	0,00057735	0,288852	6274		-1569					1		3,744931494	7,489862988	1065,2222
Poł. Równoległe	0,00057735	0,00057735	0,005888	131		-32,75					1		0,078182588	0,156365176	23,03333

Ćwiczenie 22

1. Tabela wyników :

Lp.	l [cm]	UV	UV	Lp.	d [qm]
1	50	1,35	1,3	1	33
2	48	1,3	1,25	2	34
3	46	1,25	1,2	3	34
4	44	1,2	1,15	4	33
5	42	1,15	1,1	5	33
6	40	1,1	1,05	6	34
7	38	1,05	1	7	33
8	36	1	0,95	8	34
9	34	0,95	0,9	9	33
10	32	0,9	0,85	10	34
11	30	0,85	0,8	Średnia	33,5
12	28	0,8	0,75
13	26	0,75	0,7
14	24	0,7	0,65
15	22	0,65	0,6
16	20	0,6	0,55




gdzie:

I_A - natężenie prądu odczytane na amperomierzu

U_AV - spadek napięcia odczytany na woltomierzu

R_V - rezystancja wewnętrzna woltomierza

R_A - rezystancja wewnętrzna miliamperomierza

d -średnica drutu oporowego

2. Teoria :

Drugie ćwiczenie polega na pomiarach oporu właściwego przewodnika metodą techniczną. Są dwa układy, w których można dokonywać pomiarów: układ poprawnie mierzonego napięcia

Lp.	l [cm]	UV	UA	Rp [UV]	Rp [UA]
1	50	1,35	1,3	6,768225	6,35
2	48	1,3	1,25	6,5169	6,1
3	46	1,25	1,2	6,265625	5,85
4	44	1,2	1,15	6,0144	5,6
5	42	1,15	1,1	5,763225	5,35
6	40	1,1	1,05	5,5121	5,1
7	38	1,05	1	5,261025	4,85
8	36	1	0,95	5,01	4,6
9	34	0,95	0,9	4,759025	4,35
10	32	0,9	0,85	4,5081	4,1
11	30	0,85	0,8	4,257225	3,85
12	28	0,8	0,75	4,0064	3,6
13	26	0,75	0,7	3,755625	3,35
14	24	0,7	0,65	3,5049	3,1
15	22	0,65	0,6	3,254225	2,85
16	20	0,6	0,55	3,0036	2,6

3. Niepewność pomiarowa :

a) Gdy dwie wartości x i y związane są ze sobą równaniem liniowym postaci y=ax+b,

analizę niepewności pomiarowej opiera się na metodzie regresji liniowej. Wykonując pomiary tych dwu wielkości x i y uzyskujemy pary liczb (x_i, y_i) i naszym zadaniem jest znaleźć równanie linii prostej (tzn. parametry a i b w równaniu prostej), najlepiej "pasującej" do nich. Niech równanie to będzie miało postać .

a "dopasowanie" zgodnie z metodą najmniejszych kwadratów oznacza, że




gdzie a i b są empirycznymi współczynnikami regresji liniowej.

Jak łatwo zauważyć, wyrażenie w nawiasie w tym równaniu jest odchyleniem punktu eksperymentalnego(liczonym wzdłuż osi y)od odpowiadającej mu wartości wynikającej z równania prostej.Poszukując ekstremum związanego powyższego równania udowadnia się, że





gdzie i = 1,2,3,...,n, czyli n jest ilością par punktów (x_i, y_i).

b) Stąd otrzymujemy równanie prostej określającej zależność pomiędzy wartościami x i y. Za pomocą tego równania możemy dokonać analizy niepewności pomiarowej badanej wielkości. W naszym ćwiczeniu zależnością liniową charakteryzują się długość przewodnika l i opór R_x. Postępując zgodnie z wyżej opisaną metodą otrzymaliśmy równanie prostej dla dokładnego pomiaru napięcia (równanie a) i dla dokładnego pomiaru natężenia (równanie b)

a) R_x = 7,21191336 * l - 0,02304672 b) R_x = 7,833499 * l - 0,00549 Współczynnik kierunkowy a w równaniu jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej o danym równaniu do osi l, czyli stosunkowi R_x do l. Jeśli więc współczynnik a pomnożymy przez przekrój przewodnika S to otrzymamy oporność właściwą przewodnika ρ -
.

d) Całkowita niepewność oporności właściwej wynosi więc :




e) Po podstawieniu wzoru na ρ i obliczeniu odpowiednich pochodnych cząstkowych otrzymujemy
.

f) Niepewność pomiarowa przekroju poprzecznego przewodnika S wynika z zastosowania do pomiaru średnicy d przyrządu o określonej dokładności wzorcowania. W naszym przypadku zastosowaliśmy przyrząd, którego najmniejsza działka wynosiła
, więc


g) Niepewność pomiarowa współczynnika kierunkowego jest określona następującym wzorem




gdzie - t_nα -odpowiedni współczynnik Studenta-Fishera zależny od liczby pomiarów n oraz poziomu ufności α (dla 16 pomiarów i poziomu ufności 0,95 t_nα=2,3),


-średnia arytmetyczna długości przewodu ;
-poszczególne wartości długości przewodu


-określona jest wzorem


,

gdzie R_xi -opór otrzymany doświadczalnie w danej próbie


-opór teoretyczny otrzymany z równania prostej ,n -liczba pomiarów.

h) Podstawiwszy dane doświadczalne do wzorów otrzymujemy.

Dla dokładnego pomiaru napięcia

- oporność właściwa -


- niepewność rozszerzona oporności właściwej -


- oporność właściwa -


Dla dokładnego pomiaru natężenia

- oporność właściwa -


- niepewność rozszerzona oporności właściwej -


- oporność właściwa -


4. Wnioski :

Metoda techniczna poprawnie mierzonego napięcia jest w tym przypadku bardziej odpowiednią metodą pomiaru, gdyż służy ona do pomiaru małych rezystancji. Jednak znając wartości rezystancji wewnętrznych przyrządów można obliczyć faktyczną wartość badanej wielkości. Z wyników obliczeń widać, że właściwości przyrządów pomiarowych można obie metody uznać za jednakowo dokładne. W przypadku pomiarów mostkiem Wheatstone'a należy dążyć do sytuacji, w której stosunek
będzie bliski jedności. Wówczas pomiar będzie najbardziej dokładny.

1

3

---