Akademia Techniczno-Humanistyczna w Bielsku-Białej

Wydział: Nauk o Materiałach i Środowisku

Kierunek: Inżynieria Środowiska

Semestr: II

Ćwiczenie nr 13

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego a pomocą wahadła rewersyjnego

Grupa nr 207

Izabela Wykręt

Michał Paździora

Michał Pękala

Część teoretyczna:

Pojęcie przyspieszenia ziemskiego.

Przyspieszeniem ziemskim (przyspieszenie spadku swobodnego na Ziemi) g nazywamy przyspieszenie (w próżni) nadawane przez siłę grawitacyjną Ziemi ciału znajdującemu się na jej powierzchni. Zatem jest to przyśpieszenie swobodnego spadku ciał pod wpływem ich ciężaru Q.

Z drugiej zasady dynamiki Newtona mamy:

Gdzie: g - przyspieszenie ziemskie

m - masa ciała

Q - ciężar ciała

Zmienność ciężaru powoduje , że przyspieszenie ziemskie zmienia się w niewielkim zakresie w różnych punktach powierzchni. Siła ciężkości jest wypadkową siły grawitacji , która jest skierowana do środka ziemi oraz odśrodkowej siły bezwładności , która jest spowodowana ruchem obrotowym Ziemi wokół jej osi .Zatem:

Wartość siły bezwładności oraz jej kierunek względem siły grawitacji są zależne od szerokości geograficznej. To zatem powoduje , że ciężar ciała jest wielkością zmienną , która zależy od miejsca na ziemi , w którym znajduje się ciało.

Ponieważ siła odśrodkowa nie występuje na biegunach , dlatego ciężar ma tam największą wartość równą sile grawitacyjnej działającej na ciało. Natomiast na równiku ciężar jest najmniejszy , gdyż siła odśrodkowa choć ma ten sam kierunek co siła grawitacji , lecz jej zwrot jest przeciwny. Drugi czynnik, który wpływa na zmienność ciężaru to spłaszczenie powierzchni ziemi na biegunach. Ziemia swoim kształtem przypomina spłaszczoną elipsoidę obrotową. Jej krótsza półoś , która przechodzi przez biegun ma długość R_B=6356,91[km] , zaś półoś równikowa ma długość R_R=6378,79[km].To w jeszcze większym stopniu zwiększa różnicę pomiędzy ciężarem na biegunach i na równiku.

Została sformułowana następująca zależność:

gdzie: kąt α jest szerokością geograficzną.

Zatem najmniejsza i największa wartość przyspieszenia ziemskiego g wynosi:

W danym miejscu powierzchni ziemi przyspieszenie spadku swobodnego wszystkich ciał jest takie samo .Jeżeli zaniedbalibyśmy ruch obrotowy ziemi i zmienność jej promienia , to można przyjąć:

Zatem:

gdzie:

G -stała grawitacji,

R -średni promień ziemi,

h -wysokość ponad powierzchnią ziemi,

M - masa ziemi

Wynika stąd , że przyspieszenie ziemskie zależy od wysokości ponad powierzchnią ziemi. Na wysokości 300 km zmniejsza się ono o ok. 1 m/s. Natomiast przy małych wysokościach , które dochodzą do kilku kilometrów ponad ziemią , przyspieszenie ziemskie można uważać z bardzo dobrą dokładnością za stałe.

Wahadło rewersyjne

Wahadło rewersyjne, rodzaj wahadła fizycznego (wahadło) o dwóch równoległych osiach zawieszenia i regulowanym rozkładzie masy (przesuwny obciążnik). Dzięki temu możliwe jest osiągnięcie identyczności okresu drgań przy obu sposobach zawieszenia.

Pozwala to wyznaczyć precyzyjnie wartość przyspieszenia grawitacyjnego g w badanym miejscu, co wykorzystuje się w tzw. wahadłowym aparacie, przyrządzie pozwalającym wyznaczyć g z dokładnością do 0,00001
. Wahadło rewersyjne skonstruował H. Kater w 1818r.

Okres swobodnych drgań dowolnego wahadła fizycznego wynosi:

gdzie:

I - moment bezwładności wahadła względem osi zawieszenia równoległej do osi O,

m - masa wahadła,

d-odległość środka ciężkości S wahadła od osi obrotów.

Zgodnie z twierdzeniem Steinera:

gdzie:

- jest to moment bezwładności wahadła względem osi równoległej do osi O lecz przechodzącej przez środek ciężkości wahadła.

Zatem:

Jednak istnieje inna oś P, która leży po przeciwnej stronie środka ciężkości, o takiej własności, że okres drgań wahadła wokół niej jest taki sam jak dla osi O.

Zatem:

Z porównania tych obu równań wynika , że równość okresów będzie miała miejsce wówczas gdy:

Czyli:

Gdzie r jest to odległość od osi P do środka ciężkości wahadła . Okres drgań wahadła można przedstawić w inny sposób jeżeli podstawiając moment bezwładności wyrażony za pomocą odległości r .Wówczas otrzymujemy:

gdzie:

l - odległością między osiami O i P , dla których okres drgań wahadła jest taki sam.

Ponieważ jak widać jest to wzór na okres drgań wahadła matematycznego o długości l. Długość tę nazywamy długością zredukowaną wahadła.

Jest ona dana wzorem:

Jeżeli zatem wyznaczymy dla wahadła fizycznego odległość między osiami zawieszenia o takim samym okresie drgań oraz zmierzymy wartość tego okresu , to możemy wyznaczyć przyspieszenie ziemskie w następującej postaci :

Pomiary i wyniki doświadczenia:

Obliczenie średniego błędu kwadratowego
:

Tabela nr 1 (wyniki pomiarów)

18,41	18,66	18,61	18,72	18,81	18,69	18,66	18,50	18,42	18,72	18,62	0,14	1,1	0,15

Tabela nr 2 (wyniki pomiarów)

	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
	20,19	19,94	19,66	19,47	19,38	19,25	18,93	18,85	18,79	18,63
	20,19	19,78	19,47	19,07	18,87	18,59	18,28	18,06	17,87	17,65

	55	60	65	70	75	80	85	90	95
	18,71	18,72	18,82	18,86	18,93	19,22	19,72	19,75	20,16
	17,61	17,53	17,35	17,50	17,90	18,03	18,75	19,44	20,04

Z wykresu odczytaliśmy wartości
i

Obliczenie średniego czasu 10 drgań

Obliczenie błędu

Obliczenie okresu drgań wahadła

Obliczenie przyspieszenia ziemskiego

Obliczenie błędu bezwzględnego

Tabela nr 3 (wyniki końcowe)

6

---