I Pracownia Zakładu Fizyki PL

Nazwisko i imię		Maksym Piotr				Wydział Elektryczny Grupa E.D. 2.5
Data wyk. ćwiczenia	06.04.1998	Numer ćwiczenia	3.3	Temat ćwiczenia	Pomiar współczynnika temperaturo­wego oporu metali
Zaliczenie		Ocena		Data		Podpis

1. Zasada pomiaru

Metale charakteryzują się wysoką przewodnością elektryczną. Własność tę można wy­jaśnić na podstawie elektronowej teorii przewodnictwa metali. Traktuje ona metal jako prze­strzeń utworzoną przez jony sieci krystalicznej, w której poruszają się swobodne elektrony (elektrony przewodnictwa). Elektrony walencyjne nie są związane z żadnym atomem co jest spowodowane tym, że elektrony zewnętrznej powłoki atomowej znajdują się pod wpływem działania własnego i sąsiednich jąder. Rozmiary sieci są tego samego rzędu co średnice ato­mów , więc siły działające na elektrony walencyjne równoważą się. W ten oto sposób elek­trony walencyjne tworzą gaz elektronowy, któremu przypisuje się cechy gazu doskonałego. Elektrony swobodne poruszają się chaotycznie, możemy jednak zapisać ich prędkość średnią arytmetyczną zależną od temperatury wzorem:, gdzie m jest masą elektronu, k - stała Bolt­zmanna.

Po przyłożeniu napięcia U do końców przewodnika o długości l, powstaje w nim pole elektryczne o natężeniu:. Pole to powoduje , że chaotyczny ruch elektronów przechodzi w uporządkowany , zachodzący w kierunku przeciwnym do wektora. Natężenie prądu jest równe całkowitemu ładunkowi przenoszonemu przez elektrony w jednostce czasu przez prze­krój poprzeczny S przewodnika:, gdzie n_o jest liczbą swobodnych elektronów w jednostce objętości metalu, u - średnią prędkością ruchu uporządkowanego.

Prawo Ohma dane jest wzorem: , gdzie R jest rezystancją. Opór R jest wielkością charakteryzującą metal pod względem przewodzenia prądu elektrycznego. Dodatkowo wiemy, że opór nie zależy od napięcia oraz płynącego prądu. Jest zależny jedynie od rozmiarów geo­metrycznych i wielkości opisujących stan gazu elektronowego w metalu. Wysoka przewodność elektryczna metali związana jest z bardzo dużą liczbą swobodnych ładunków elektrycznych

2. Schemat pomiaru

Z klasycznej teorii przewodnictwa elektronowego wynika, że opór właściwy metali jest proporcjonalny do pierwiastka kwadratowego z temperatury . W rzeczywistości zależ­ność ta nie jest spełniona (założono sobie, że zbyt uproszczony model ruchu swobodnych elektronów w metalu). Elektrony znajdujące się w metalu podlegają prawom mechaniki kwantowej i posiadają właściwości falowe.

Kwantowa teoria przewodności elektrycznej metali sprawia, że właściwy opór elek­tryczny określony jest zależnością: , gdzie czas relaksacji t jest średnim czasem upływają­cym pomiędzy kolejnymi rozproszeniami fali elektronowej. W metalach koncentracja elektro­nów przewodnictwa n₀ nie zależy od temperatury, zaś czas relaksacji t maleje wraz ze wzro­stem temperatury (rośnie amplituda drgań termicznych węzłów sieci krystalicznej. Energia drgań sieci jest skwantowana, kwanty tych drgań to fony. Możemy teraz powiedzieć, że opór elektryczny będący skutkiem zderzeń elektronów z fonami rośnie wraz ze wzrostem tempera­tury metalu. Reguła Mathiessena opisuje nam opór przewodnika jako sumę oporów R_r i R_t, czyli R = _­R_r + R_t ( R_r - opór resztkowy niezależny od temperatury, R_t - opór związany z rozpraszaniem się fal elektronowych na fonach, czyli rosnący wraz z temperaturą). Gdy tempe­ratura jest dostatecznie wysoka, główną rolę odgrywa R_t. Wielkością, która charakteryzuje nam opór od temperatury metalu jest współczynniki temperaturowy oporu: Względy prak­tyczne przesądzają, że za stan odniesienia przyjmuje się opór R₀ w temperaturze T₀ = 273,15 K. Tak więc nasz wzór przyjmuje postać:, z którego wynika, że opór R w temperaturze T spełnia równanie:. Wzór jest słuszny dla wielu metali jeśli różnica temperatur nie przekra­cza 100 K.

Przebieg ćwiczenia

W celu wykonania ćwiczenia należy zestawić obwód według schematu przedsta­wionego na rysunku 1, (MW - mostek Whe­atstone'a, M - mieszadełko magnetyczne, T - autotransformator, Gr - grzałka, Ba - zasila­nie mostka, G - wskaźnik równowagi, R_X - rezystancja badanego metalu). Współczynnik temperaturowy metali wyznacza się z do­świadczalnej zależności oporu R_X od tempe­ratury. Pomiar rezystancji R_X wyznacza się przy pomocy mostka Wheatstone'a. Gdy umieścimy badany opór R_X w oleju, należy powoli zwiększać temperaturę oleju i dokonywać pomiaru co pięć stopni. Podczas całego eksperymentu olej musi być mieszany.

3. Wyniki pomiarów

Nr oporu RX	T [K]	DT [K]	RX [W]	RO [W]	b [W K^-1]	a [K^-1]
Fe	293	20	2,8
	298	25	2,8
	303	30	2,8
	308	35	2,86
	313	40	2,9
	318	45	2,93
	323	50	2,98	2,555	0,009	0,0035
	328	55	3
	333	60	3,1
	338	65	3,15
	343	70	3,2
	348	75	3,25
	353	80	3,3

Tab. 1

4. Obliczenia

Dla naszej serii pomiarowej suma kwadratów odchyleń powinna mieć wartość minimalną , gdzie w_i jest wagą pomiaru w naszym przypadku równą 1(wszystkie pomiary są jednakowo dokładne). Nasza funkcja F(a,b) osiągnie minimum, jeżeli jej pierwsze pochodne cząstkowe będą równe zeru:

. Po rozwiązaniu tego układu względem a i b otrzymamy parametry prostej opisującej liniowa zależność między a i b.

Rozwiązując te dwa równania metodą wyznaczników otrzymujemy: (wyznacznik główny) ; oraz (wyznaczniki poboczne). Stąd po przekształceniach otrzymujemy, że oraz .Wyniki pomiarów i obliczeń potrzebnych do rozwiązania wyznaczników zawarte sa w tabeli 2.

Lp.	xi=DTi [K]	yi=Ri [W]	x^2i =DT^2i [K^2]	xiyi =DTiRi [KW]	wi	a [W/K]	b=RO [W]
1	20	2,8	400	56	1
2	25	2,8	625	70	1
3	30	2,8	900	84	1
4	35	2,86	1225	100,1	1
5	40	2,9	1600	116	1
6	45	2,93	2025	131,85	1
7	50	2,98	2500	149	1	0,009	2,555
8	55	3	3025	165	1
9	60	3,1	3600	186	1
10	65	3,15	4225	204,75	1
11	70	3,2	4900	224	1
12	75	3,25	5625	243,75	1
13	80	3,3	6400	264	1

Tab. 2

Z nachylenia prostej można wyznaczyć współczynnik temperaturowy oporu a, który dany jest wzorem:. Należy jeszcze obliczyć błąd jakimi są obarczone wielkości a i b na podstawie wzorów: ; , gdzie y_i^'=ax_i+b oraz Dy= y_i^'-y_i. Aby uprościć obliczenia błędów zestawimy poszczególne wartości liczbowe w tabeli 3.

Lp.	xi=DTi [K]	b=RO [W]	a [W/K]	yi=Ri [W]	yi^'=Ri^' [W]	Dy= yi^'-yi [W]	(Dy)^2*10^-5 [W^2]	wi
1	20			2,8	2,735	-0,065	422,5	1
2	25			2,8	2,78	-0,02	40	1
3	30			2,8	2,825	+0,025	62,5	1
4	35			2,86	2,87	+0,01	10	1
5	40			2,9	2,915	+0,015	22,5	1
6	45			2,93	2,96	+0,03	90	1
7	50	2,555	0,009	2,98	3,005	+0,025	62,5	1
8	55			3	3,05	+0,05	250	1
9	60			3,1	3,095	-0,005	2,5	1
10	65			3,15	3,14	-0,01	10	1
11	70			3,2	3,185	-0,015	22,5	1
12	75			3,25	3,23	-0,02	40	1
13	80			3,3	3,275	-0,025	62,5	1

Tab. 3

Wyniki obliczeń y_i^' :

;

.

Równanie naszej prostej przyjmie postać: . Zatem otrzymujemy: . Błąd względny wyznaczenia współczynnika temperaturowego oporu wynosi: .

Możemy wyrazić ten błąd procentowo d_a=6,2%. Błąd bezwzględny wyniesie:

Współczynnik temperaturowy oporu wyniesie: , czyli .

Błąd względny wyznaczania oporu R_O wynosi: , tzn., że procentowo ten błąd jest równy d_Ro=0,98%. Wartość oporu R_O wynosi: lub zapisując w inny sposób: 2,53 W<R_O<2,58 W.

Wykres funkcji .

---